Строительная механика зданий и сооружений. Спецкурс

Как видно, расчет на устойчивость очень сложен, поэтому также принимается следующий ряд допущений:

1.Стержни испытывают только продольные деформации до момента потери устойчивости. Это допущение будет применяться везде, в том числе и в рамах, где значительны деформации изгиба.

2.В момент потери устойчивости для сплошных стержней учитываются только деформации изгиба.

3.При определении поперечных сил в изогнутых стержнях не учитывается изменение угла наклона сечения за счет изгиба стержня.

4.Применяется приближенное дифференциальное урав-

нение изогнутой оси EIy M (x) (1.1) вместо точного

§ 1.3. Реакции сжато-изогнутого стержня

Для применения метода перемещений к расчету рам на устойчивость выразим изгибающие моменты и поперечные силы по концам стержня через их угловые и линейные перемещения.

До потери устойчивости (при принятых допущениях) рамы не будут испытывать изгиба, при этом изгибающие моменты M и поперечные силы Q равны нулю, а продольные силы N в их элементах определяются, например, способом вырезания узлов. В момент потери устойчивости (имеют место весьма малые выпучивания стержней) рама из сжатой превращается в сжато-изогнутую. Узлы рамы испытывают угловые и линейные перемещения, а в ее элементах возникают дополнительные изгибающие моменты и поперечные силы.

Если на стержень действует осевая сжимающая сила Р, то продольное усилие N = –P (рис. 1.10).

21

Из формулы (1.11) следует

В формуле (1.17) берется абсолютное значение усилия N. Пример 1.2. Рассмотрим стержень, заделанный обоими концами, из которых левый повернулся на угол, равный единице, при одновременном действии продольных сжимающих

сил Р. Требуется определить концевые реакции.

На концах стержня возникают реактивные изгибающие моменты M аb и Mbа и реактивные поперечные силы Qаb

и Qbа, показанные на рис. 1.11 и принимаемые положительными.

Рис. 1.11

22

Дифференциальное уравнение упругой линии стержня, выведенное в курсе сопротивления материалов, остается справедливым и в данном случае:

где EI – жесткость стержня.

Общее решение дифференциального уравнения имеет такой вид:

где – коэффициент передачи момента на противоположный конец стержня, который можно найти из условия, что при x l dydx 0.

Это позволяет получить

23

Эпюра изгибающих моментов в стержне показана на рис. 1.11.

Реактивные поперечные силы находятся из выражения

Пример 1.3. Для того же стержня при единичном линейном перемещении одного конца по отношению к другому (рис. 1.12) определить реакции.

Реактивные моменты можно найти, используя теорему о взаимности реакций и формулу (1.27):

где 4 v определяется по формуле (1.28).

24

M аb и Mbа направлены в разные стороны.

Рис. 1.13

Пример 1.5. Для стержня, один конец которого жестко заделан, а другой оперт шарнирно, при единичном повороте заделанного конца (рис. 1.14) необходимо определить реакции в наложенных связях.

26

Пример 1.6. Для стержня, один конец которого жестко заделан, а другой свободен (рис. 1.16), при единичном повороте заделанного конца определить концевые усилия.

Формулы (1.42, 1.43) остаются справедливыми и в том случае, если правый конец (конец b) стержня оперт шарнирно и вместе с поворотом левого конца получает некоторое линейное перемещение .

Рис. 1.16

Формулы вычисления реакций приведены в табл. 2 приложения. При решении примеров использована подробная таблица значений функций влияния продольных сил, составленная профессором А.Ф. Смирновым. В табл. 4 приложения приведены значения функций от аргумента v, которые иногда использовать удобнее.

Вопросы для самоконтроля

1.Что такое критическая сила?

2.Сколько форм потери устойчивости может существовать у сооружения?

3.Как влияют условия закрепления концов стержня на его устойчивость?

28

4.Что необходимо определить при расчете сооружения на устойчивость?

5.Какие отличия практического и теоретического методов расчета на устойчивость существуют?

6.От чего практически зависит устойчивость сооружения?

7.Что такое расчетная длина?

ГЛАВА 2

§ 2.1. Составление системы уравнений метода перемещений

Основная система расчета рам на устойчивость по методу перемещений выбирается так же, как при обычном статическом расчете, т.е. закрепляются узлы рамы от поворота и линейного смещения, путем введения дополнительных угловых

илинейных связей. В качестве неизвестных принимаются углы

поворота узлов рамы и их линейные смещения Zi.

Для составления каждого разрешающего уравнения приравнивается к нулю реактивное усилие в соответствующей дополнительной связи. Если связью является упругое защемление, то необходимо вырезать узел, удерживаемый этой связью. Если же рассматривается дополнительный стержень, то следует отсечь часть рамы, удерживаемую от смещения этим стержнем. Сечение должно пересекать дополнительный стержень

ивсе стержни рамы, которые перпендикулярны этому дополнительному стержню. К отсеченной части рамы прикладываются действующие на нее нагрузки и внутренние усилия в местах рассечения.

Поскольку рассматривается узловая нагрузка, которая до момента потери устойчивости не вызывает изгиба стержней, то реакции в введенных связях основной системы от нагрузки равны нулю, и система канонических уравнений будет являться однородной:

29

Матрицы коэффициентов этих систем всегда симметричны, и число уравнений равно числу неизвестных перемещений. Коэффициенты канонических уравнений определяются из единичных состояний основной системы с помощью табл. 2, 3 приложения единичных реакций.

Коэффициенты rik – реактивные усилия, возникающие в дополнительных связях основной системы, от единичных перемещений. В отличие от метода перемещений в статике коэффициенты rik в расчете на устойчивость определяются с учетом продольных сил в стержнях, зависящих от внешних узловых нагрузок.

Остается справедливым равенство rik = rki.

§ 2.2. Уравнение устойчивости рамы

Тривиальным решением однородной системы уравнений, соответствующим состоянию рамы до потери устойчивости,

будет Z1 = Z2 = … Zn = 0.

Искомое решение найдется, если составить определитель из коэффициентов при неизвестных и приравнять его нулю, т.е.

30