Строительная механика зданий и сооружений. Спецкурс

Таким образом, и в данном случае результаты расчета критической силы для двух вариантов жесткости соединения отличаются в 1,37 раза, что свидетельствует о том, что не учет податливости соединений приводит к сильным завышениям результата, в данном примере отличие в 1,35 раза.

Видно, что предложенный новый метод расчета рамных систем на устойчивость дает достоверные результаты и при учете податливости соединения.

Пример 3.4. Определить критическую нагрузку для рамы, представленной на рис. 3.13, с учетом податливости соединения ригеля с колонной. EI – жесткость ригеля.

Рис. 3.13

1. Определим углы поворота ригеля при повороте его конца на 1 (формула (3.9))

91

2. Определим моменты, возникающие при повороте конца ригеля на 1 (формула (3.8)).

M1 1 1 c 1 0,291 4i 2,836i,

M 2 2 c 0,109 4i 0,436i.

3. Если бы соединение было жестким, то M1 4 3i 12i, значит, для дальнейшего решения задачи жесткость ригеля

необходимо уменьшить в 2,83612 4,23 раза.

4. Решим задачу при помощи формулы (3.3).

2 EIl2k 21,6 EIl2k .

Точное решение этой задачи даст 21,8 EIl2k , т.е разница

не превосходит 1 %. Считая узлы абсолютно жесткими, получим

что больше результата при податливом соединении почти на

20 %.

92

§ 3.3. Регулирование устойчивости

При проектировании зданий и сооружений проектировщику необходимо обеспечить их достаточную прочность, устойчивость и жесткость. Не менее важной стороной проектирования является достижение оптимальности, т.е. предельной легкости и экономичности сооружения.

Регулирование устойчивости стержневых систем с цент- рально-сжатыми элементами выражается в регулировании критической силы, а следовательно, и расчетных длин, путем перераспределения сжимающих усилий в системе или изменения длины сжатых элементов. Это может быть достигнуто путем изменения геометрии системы, т.е. усилением отдельных элементов сооружений или постановкой дополнительных связей.

Пример 3.5. Необходимо повысить устойчивость однопролетной балки, загруженной центрально приложенной силой P. Предлагается поставить промежуточную опору с целью уменьшения расчетной длины (рис. 3.14, а). Определить наиболее эффективное положение промежуточной опоры.

а

б

Рис. 3.14

93

Решим задачу методом перемещений. Основная система и единичная эпюра моментов построены на рис. 3.14, в. Составим каноническое уравнение метода перемещений исходя из условия равновесия узла с дополнительной связью.

где v1 a PEIкр , v2 b PEIкр .

При помощи (3.12) построим график зависимости критической силы от положения средней опоры (рис. 3.15).

Рис. 3.15

Для нахождения точного решения воспользуемся надстройкой программы Excel Поиск решения, получим

где l – длина балки.

Данное решение является громоздким. Удобнее воспользоваться приближенным решением, предполагая, что каждый пролет работает отдельно друг от друга. Составим уравнение из условия равноустойчивости пролетов. Первый пролет явля-

94

ется четвертым случаем табл. 1.1, а второй пролет является первым случаем табл. 1.1.

Как видно, погрешность в результатах, полученных по формулам (3.13) и (3.14), не превышает 5 %.

Пример 3.6. На ригель рамы (рис. 3.16) необходимо установить оборудование из условия наибольшей устойчивости сооружения, т.е. выбрать такое положение x силы P, при котором значение критической силы будет наибольшим.

Рис. 3.16

Составим каноническое уравнение метода перемещений исходя из условия равновесия ригеля рамы:

r11 Z1 0 r11 3(EI2h) 1 v1 3(EIh) 1 v2

или по табл. 2 приложения:

95

Ригель рамы прикреплен шарнирно и, следовательно, работает как простая балка. Продольные силы, приходящиеся на стойки рамы, равны реакциям в простой балке. Получим

Изменяя положение груза, по (3.15) составим график зависимости критической силы (рис. 3.17). По графику видно, что рационально располагать груз ближе к более короткой стойке.

Рис. 3.17

Для получения каждой точки данного графика необходимо в уравнение (3.15) подставить v, соответствующее положению груза. Таким образом, мы решаем не одну задачу, а целых десять (десять точек на графике).

Попробуем не решать задачу методом перемещений, а проанализировать ее.

Рассмотрим механизм потери устойчивости. Значение энергии, накапливаемой системой, в целом равняется нулю. Тогда, если разбить систему на несколько отдельных элементов, некоторые из них будут накапливать положительную энергию, а некоторые отрицательную. Чем меньше в алгебраи-

96

ческом смысле величина накапливаемой энергии, тем больше «виновность» элемента в потере устойчивости [11]. Иными словами, элемент как бы начинает терять устойчивость, толкая остальную конструкцию за собой. Наиболее рациональной рама (см. рис. 3.16) будет при одновременной потере устойчивости обеих стоек. Стойки работают как консольные стержни, значение критической силы для каждой из них получим по табл. 1.1.

Pкр1 2 4(EI2h)2 ,

Pкр2 2 4EIh2 4Ркр1 .

Соответственно, наиболее оптимальным распределением сил между стойками будет четыре к одному, что соответствует x 0,8 L. Глядя на рис. 3.17, можно судить о достоверности

полученных результатов.

Вопросы для самоконтроля

1.Как меняется устойчивость многоэтажной рамы с повышением этажности?

2.В чем заключается основной принцип предложенного приближенного способа расчета, в чем его основные преимущества?

3.Как можно учесть податливость соединений при расчете на устойчивость?

4.Как влияет податливость соединения конструкции на ее устойчивость?

5.Как влияет распределение продольных сил между стойками рамы на устойчивость сооружения?

6.В каких пределах меняется устойчивость рамы при изменении изгибной жесткости ее ригелей?

7.Какими способами можно повысить устойчивость конструкции?

97

Приложение

Таблица 1

Коэффициенты продольного изгиба центрально-сжатых элементов

Для элементов из стали с расчетным сопротивлением Ry, МПа (кгс/см2).

98

Таблица 2

Реактивные моменты и поперечные реакции в сжатых стержнях от единичных поворотов и смещений

99

100