Строительная механика зданий и сооружений. Спецкурс

При симметрии рамы с симметричным расположением масс можно сгруппировать неизвестные, как в обычном методе сил для расчета от статической нагрузки. При этом, так как некоторые групповые перемещения будут находиться от парных единичных сил, соответствующая масса должна входить в уравнение с коэффициентом ½.

Пример 6.2 (рис. 6.3). Построить эпюру динамических изгибающих моментов для невесомой балки: m = 200 кг, EI = = 1000 кН·м2, L = 6 м, P = 100 кг, = 14 Гц.

в

Рис. 6.3

1. Найдем перемещения путем перемножения эпюр по правилу Верещагина:

161

амплитудные значения сил инерции.

В случае, если частота возмущающей силы совпадает с какой-либо из частот собственных колебаний, имеем явление резонанса – неограниченного нарастания амплитуд колебаний.

Поэтому расчет системы на вынужденные колебания должен сопровождаться расчетом на собственные колебания для сравнения частот, чтобы удовлетворялось неравенство (6.4).

Найдем собственные колебания, составляя вековое уравнение. Поскольку мы воспользовались группировкой неизвестных и строим эпюру на рис. 6.4, б от двух сил, то соответствующую массу необходимо умножить на ½.

Неравенство (6.4) примет вид

14 0,8 min 0,8 18,18 14,54.

162

3. Условие (6.4) выполняется, переходим к решению (6.6), подставляя найденные перемещения:

Рис. 6.4

Динамический коэффициент

31,,5027 2,18 (см. эпюры Mдин и Mр).

Эпюра M дин является эпюрой, построенной от динамического действия силы P(t) P sin( t). Чтобы получить окончательную эпюру моментов, необходимо к M дин прибавить эпю-

ру от статического действия масс, приложенных к системе. По результатам расчета видно, что X1 X 2. Это связан-

но, во-первых, с тем, что сила инерции тем больше, чем больше масса, а во-вторых, чем масса ближе к вибрационной

163

нагрузке, тем больше ее ускорение и, следовательно, сила инерции.

Интересен тот факт, что при вибрационном действии силы эпюры внутренних усилий не просто увеличатся, а приобретут совершенно другое очертание (см. рис. 6.4).

§6.4. Действие ударной нагрузки на систему

содной степенью свободы

При ударе движущегося тела по упругой системе происходит передача кинетической энергии движения груза конструкции, сопровождаемой деформацией последней и возникновением равных между собой сил взаимодействия груза и конструкции. Каждая из этих сил называется силой удара. Явление удара характеризуется быстрым уменьшением скорости движения ударяющего тела с момента первого соприкосновения груза и конструкции до установления скорости, соответствующей конечной местной деформации в области контакта. Сила удара, период ее действия и закон изменения во времени зависят не только от величины массы тела и скорости его движения, но также и от упругих свойств самого сооружения и его поверхности в месте удара. Поэтому считается, что ударяющее тело является абсолютно жестким, а конструкция не получает локальных деформаций в области контакта. Несмотря на то, что рассматривается абсолютно жесткий удар, само тело считается упругим и работающим в пределах закона Гука. При таком предположении явление удара будет происходить мгновенно, т.е. скорость падающего груза в начальный момент соприкосновения стремительно сменится установившейся скоростью колебаний груза вместе с конструкцией. На самом деле этот вопрос не достаточно изучен, в настоящее время график силы удара можно получить только экспериментальным путем, например с помощью осциллографа. Также считается, что после встречи груза с конструкцией их массы перемещаются, не отделяясь друг от друга.

164

Обозначим m1, v1 – соответственно массу и скорость уда-

ряющего тела, m, v – соответственно массу системы вместе с ударяющим телом, начальную скорость движения системы.

По закону сохранения импульса m1 v1 m v, тогда

Подставим в это выражение (6.7) и получим y yст v1 sing t 1 cos t yст у,

где у – динамический коэффициент при ударе, который, как

видно, переменен во времени.

Наиболее опасным для всех ударных импульсов является мгновенный импульс. Статическая сила, эквивалентная своим импульсом ударному воздействию, зависит не только от величины импульса силы удара, но также и от частоты свободных колебаний системы. Чем жестче и чем менее массивно сооружение, тем больше будет динамический эффект при одном и том же импульсе.

При ударной нагрузке максимальный динамический коэффициент

165

где m2 – масса сооружения. Или в случае невесомой конструк-

Если принять скорость v равной скорости свободного падения груза m1 с высоты h, то из закона сохранения энергии

Пример 6.3. На балку с высоты h = 10 см свободно падает груз массой m1 = 100 кг. Определить силу удара с учетом массы балки и без ее учета (рис. 6.2, данные примера 6.1).

Сила удара будет

Pmg у 100 10 21,1 21,1кН.

2.С учетом массы балки

166

P mg у 100 10 12,2 12,2кН.

Как видно, даже при падении груза с небольшой высоты динамическое действие удара может превзойти в десятки раз статическое действие силы.

Пример 6.4 (заимствован из [4]). Определить силу удара льдины массой m1 = 1000 кг о железобетонную сваю – оболочку, погруженную в дно реки на глубине H = 6 м (рис. 6.5). Скорость течения реки v = 1,5 м/с. Внутренний диаметр оболочки D = 1,5 м при толщине стенки a = 14 см. Модуль упругости первого рода E = 340 000 кг/см2. Защемление сваи в грунт принимается на уровне дна.

Рис. 6.5

Момент инерции кольцевого сечения при радиусе средин-

ной поверхности r D a 0,82м. 2

I r3 a 3,14 0,823 0,14 2,4 107 см4.

Собственный вес оболочки, приведенный к точке удара, принимается равным 0,244m (см. свободные колебания систем с одной степенью свободы).

m2 0,244 2 r a H б

167

Динамический коэффициент удара определим по форму-

ле (6.9):

Сила удара

P m2g у 1000 9,81 26,6 260кН.

§ 6.5. Регулирование колебаний

Регулирование частот собственных колебаний – одна из основных задач динамики упругих стержневых систем. В случае вынужденных колебаний возникает задача регулирования динамических усилий и перемещений. Первая задача сводится фактически к регулированию жесткости сооружения, усиления отдельных элементов наложением дополнительных связей и т.д. Также эффективным приемом может служить изменение значений и положения масс.

Пример 6.5. Посередине невесомой балки расположено оборудование массой m (рис 6.6, а). Необходимо передвинуть оборудование с целью повышения собственной частоты колебаний в полтора раза.

Пользуясь правилом А.Н. Верещагина, найдем единичное перемещение по направлению возможных колебаний груза. Эпюра моментов в балке от единичной силы, приложенной на произвольном расстоянии x, построена на рис. 6.6, б.

168

Из чего получим 6x2 6xL L2 0, найдем корни полученного уравнения относительно x:

Пример 6.6 (заимствован из [8], с. 78). Определить соот-

ношение изгибных жесткостей стойки и ригеля k I1 , при ко-

I2

тором низшая частота колебаний рамы с сосредоточенной массой m (рис. 6.7) равна заданному числу *.

Рис. 6.7

Данная рама с учетом только поперечных колебаний массы m имеет две степени свободы. Вековое уравнение примет вид

Найдем искомые перемещения из анализа эпюр (рис. 6.7,

б, в):

170