Строительная механика зданий и сооружений. Спецкурс

по эпюрам на рис. 5.5 и 5.6) раза больше минимальных, что соответствует бесконечно большой жесткости ригелей. Видно, что эпюр на ригелях нет, а эпюры на стойках сместились параллельно самим себе.

Проведя доказательства, аналогичные выводу формулы для определения критической силы (см. раздел «Устойчивость»), получим, что многопролетную раму можно разбить на г-образные (рис. 5.7, а) с длиной ригеля, равной половине длине ригеля исходной рамы. И, соответственно, с погонной жесткостью, в двое большей. Для определения перемещений в раме (см. рис 5.7, а) воспользуемся методом перемещений, основная система для которого представлена на рис. 5.7, б. Построим эпюры от Z1 1 и Z2 1 (рис. 5.7, в и рис. 5.7, г соот-

ветственно). Найдем реакции в наложенных связях и составим систему канонических уравнений (5.1).

Рис. 5.7

141

142

где maxk – максимальное перемещение на выбранной стойке,

т.е. при жесткости всех ригелей, равной нулю; k – номер стойки и ригеля.

Пример 5.1 (рис. 5.8, а). iр1 = 2i, iр2 = 4i, i1 = 1i, i2 = 3i, i3 = I,

высота рамы равна h. Необходимо найти перемещение точки приложения единичной силы.

Рис. 5.8

Как видно из формулы (5.2), для определения перемещений необходимо знать max, т.е. первоначально необходимо построить эпюру моментов при жесткости ригелей, равной ну-

n

лю. Поскольку mi h, а значение моментов распределится

i 1

пропорционально жесткости стоек, получим эпюру, представленную на рис. 5.8, б, ведь по условию жесткость средней стойки в 3 раза больше жесткоти крайних. Получим значения

maxk :

143

значением перемещения.

Теперь перейдем к расчету многоэтажных рам.

Рис. 5.9

По доказанной выше лемме о постоянстве суммы моментов следует, что при единичной нагрузке (рис 5.9) сумма моментов по краям каждого этажа ниже приложения силы равняется h. Следовательно, ij const при j i, где i и j – номера

этажей. Найдем точное значение 11 по (5.2). Для нахожденияjj путем разрезания многоэтажных рам посредине ригелей получены следующие зависимости:

144

Также можно использовать более приближенную зависимость

которая дает малую погрешность при iрср icср, что практически

всегда выполняется.

Здесь k – перемещение на выбранной стойке;

iсср и iрср – средние погонные жесткости этажа стоек и ри-

гелей соответственно.

При использовании зависимости (5.5) матрица перемещений, деленная на 11, примет следующий вид:

…………………………………………………………..

145

Для практических целей часто бывает достаточно найти наименьшую частоту, представляющую наибольшую опасность.

Если задача сводится к определению частоты основного тона, то из работ профессора С.А. Берштейна о двусторонней оценке частот основного тона колебаний можно прийти к следующей формуле (при равенстве масс и жесткостей соответствующих элементов на этаже).

где n – количество этажей (следовательно, и уравнений). Полученная методика позволяет без особых сложностей

определять частоты собственных колебаний.

Пример 5.2. Определить частоту основного тона для шестиэтажной рамы, этаж которой представлен на рис. 5.10. Средняя масса, приходящаяся на колонну, с учетом веса стен 1,66 т/м, средняя масса, приходящаяся на ригель, 4,5 т/м.

EI = 64 MН·м.

Рис. 5.10

1.Находим приведенную массу на уровне ригелей рамы:

M Mp 0,39Mк 4,5 18 0,39(1,66 3 4) 88,8т,

где M p,Mк – массы ригелей и колонн соответственно.

146

2. Находим maxk , при этом принимая жесткости всех ригелей равными нулю. В данном случае, так как жесткости всех

колонн равны между собой, то и max для каждой колонны равны (рис. 5.11).

Рис. 5.11

жесткость крайних ригелей в полтора раза большую погонной жесткости стойки, а среднего ригеля – в три.

зависимостью (5.5) и по (5.7) найти частоту основного тона свободных колебаний рамы.

147

муле (5.7) практически не отличаются. Но вековое уравнение (5.8) составлено на приближенной зависимости (5.5), поэтому еще не известно, какова реальная погрешность вычислений. Для ее оценки составим вековое уравнение, используя «точные» перемещения, полученные в ПК «Лира». Вековое уравнение примет вид

Как видно, «точный» результат (5.10) не отличается от результата с использованием приближенной зависимости (5.5) более чем на 3 %. Это говорит о высокой точности предложенного способа определения частот собственных колебаний многоэтажных и многопролетных рам.

149

§ 5.2. Свободные колебания многопролетных многоэтажных рам со многими степенями свободы при учете податливости соединений ригеля с колонной

Напомним следующие зависимости, выведенные в разделе «Устойчивость» (рис. 5.12):

ригеля при повороте его конца на безразмерную единичку. Рассмотрим определения перемещений на примере

(рис. 5.13, а) железобетонной П-образной рамы (податливость стыка для железобетонных конструкций легко найти, пользуясь рекомендацией [7]) .

EIp 0,875 108Н м2.

EIк 0,64 108Н м2.

150