Строительная механика зданий и сооружений. Спецкурс

опускается. При этом сохраняется равновесие между внутренними усилиями и внешней нагрузкой Р. Но может наступить такой момент, когда для увеличения прогиба yС уже не надо увеличивать нагрузку Р, прогиб yС может увеличиваться даже при уменьшении Р.

Зависимость между yС и Р показана на рис. 1.4.

Задачи на потерю устойчивости II рода называют еще за-

дачами предельного равновесия.

В реальных сооружениях возможная потеря устойчивости ближе к явлению потери устойчивости II рода, так как элементы сооружений не имеют идеальной формы, обладают начальными несовершенствами, и нагрузки не приложены идеально точно.

Критическая нагрузка при потере устойчивости II рода обычно меньше, чем при потере устойчивости I рода (рис. 1.5).

Учитывая влияние начальных несовершенств в реальных сооружениях, критическую нагрузку при потере устойчивости I рода снижают, делят на некоторый коэффициент

11

большой единицы – специальный коэффициент безопасности, предусматриваемый нормами.

Для большинства реальных конструкций, однако, вопросы устойчивости не могут быть отделены от вопросов прочности. Это связано с тем, что обычно на систему кроме осевых нагрузок действуют еще поперечные (или искривляющие) факторы, например поперечные нагрузки, эксцентриситеты, искривления оси и т.д. Эти факторы еще задолго до возрастания нагрузки до критического значения вызывают деформации, типичные для потери устойчивости системы. Увеличение осевых нагрузок до критической величины, при наличии таких искривляющих факторов, вызывает несоразмерно высокий рост деформаций.

Обычно еще до достижения сооружением стадии потери устойчивости II рода его деформации становятся настолько большими, что сооружение практически перестает быть пригодным к эксплуатации. Поэтому для практических целей не только важно знать практические значения нагрузки, но

изначения нагрузки, при которых напряжения, деформации

иперемещения системы перестают быть допустимыми. Это

иопределяется в результате расчета сооружения по деформированной схеме равновесия – расчета на прочность и жесткость по действительной форме равновесия в докритическом состоянии загружения системы.

Рассмотрим шарнирно опертый упругий стержень (рис. 1.6). Сила Р приложена в узле без эксцентриситета. Стержень прямолинейный и однородный, имеет постоянную изгибную жесткость EI.

Сообщим стержню незначительную деформацию, т.е. выве- Рис. 1.6 дем стержень из начальной прямолинейной формы равновесия.

12

Определим ту минимальную нагрузку, которая способна удержать стержень в новом положении. Эту нагрузку будем называть критической Pкр. Соответственно, если эта нагрузка спо-

собна удержать стержень в новом положении равновесия, то при каких-то случайных воздействиях она может перевести прямолинейное состояние равновесия стержня в криволинейное. Оба состояния стержня, как прямолинейное, так и криволинейное, являются равновесными состояниями, а момент перехода из одного состояния равновесия в другое называется потерей устойчивости. Понятие о потере устойчивости относится к явлению резкого увеличения прогибов стержня, которое связано с нарушением равновесия между внутренними и внешними силами. Возникает вопрос, что опасного в явлении потери устойчивости, если стержень не разрушился, а приобрел новую форму равновесия. Дело в том, что при первоначальной форме равновесия в сечениях стержня возникали только продольные силы, а в искривленной форме к ним добавляются изгибающие моменты. При незначительном увеличении нагрузки сверх критического значения деформации изгиба будут быстро расти, следовательно, будут расти и напряжения, вызванные изгибом, что может привести к разрушению стержня. Кроме того, сами деформации могут стать больше предельно допустимых и препятствовать нормальной эксплуатации сооружения. Поэтому все конструкции, имеющие сжатые элементы, должны рассчитываться на устойчивость. Первое предельное состояние характеризуется потерей несущей способности сооружения по прочности, устойчивости или выносливости материала. При этом сооружение теряет способность сопротивляться внешним воздействиям или получает недопустимо большие остаточные деформации.

Рассмотрим потерю устойчивости стержня, представленного на рис. 1.6.

13

где A и B – произвольные постоянные.

Для определения А и В используем граничные условия: в точках, где находятся опоры, не может быть перемещения по y, или при x = 0 прогиб y(0) A sin(0) B cos(0), получаем

В = 0.

При x = l прогиб снова обращается в нуль у(l) = 0.

Это уравнение имеет два решения:

1.А = 0. Но при А = 0 прогиб в любом сечении стержня остается постоянным и равным нулю, это решение соответствует прямолинейному состоянию стержня.

2.sin( l) 0. Этот случай соответствует равновесию

стержня в искривленном состоянии.

14

где k Z. Значение k = 0 не представляет интереса, так как соответствует прямолинейному состоянию стержня. Равенства (1.4) и (1.8) приводят к формуле Эйлера

Из соотношения (1.9) вытекает, что Pкр имеет бесконечное множество значений, при которых могут существовать изогнутые формы равновесия стержня (рис. 1.7, k = 1, 2, 3, 5).

Рис. 1.7

Но нас интересует наименьшее значение осевой силы. И критической силой будем называть наименьшую силу, при которой появляется новый тип деформаций. Так,

Pэ P 2 EIk . (1.10)

Мы решали задачу, накладывая на уравнение (1.5) граничные условия. Соответственно, величина критической силы зависит от способа закрепления концов стержня.

15

Таблица 1.1

называется приведенной расчетной длиной стержня. Значения коэффициентов для различных случаев закрепления концов

стержня показаны в табл. 1.1.

Соответственно, для различных случаев закрепления концов справедливы следующие формулы:

Из формулы (1.12) видно, что критическая нагрузка зависит только от способов закрепления стержня, его размеров и модуля упругости материала. Пока стержень остается упругим, критическую нагрузку можно считать предельной ввиду

16

того, что при приближении нагрузки к критическому значению прогибы становятся очень большими. При практических расчетах вводится соответствующий коэффициент запаса прочности, в результате чего допускаемая нагрузка берется значительно меньше критической.

Так, при расчете на устойчивость металлических конструкций, подверженных центральному сжатию силой N, должно выполняться неравенство [1]

где А – площадь поперечного сечения брутто, т.е. без учета местных ослаблений;

– нормальные напряжения в сечениях стержня;с – коэффициент условий работы;

Ry – расчетное сопротивление стали растяжению, сжатию, изгибу по пределу текучести, определяемой с учетом коэффициента неоднородности;

– коэффициент продольного изгиба, зависящий от фи-

зических характеристик материала и от гибкости стержня . Определяется по табл. 1 приложения.

Расчетная длина сжатого стержня l0, отнесенная к минимальному радиусу инерции поперечного сечения стержня ,

называется гибкостью стержня , l0 .

Пример 1.1. Подобрать диаметр круглого стержня из условия центрального сжатия Р = 200 кН (рис. 1.8). Материал Ст. 3.

E = 2,1 · 1011 Па, Ry = 210 МПа.

Для начала найдем расчетную длину стержня. Такой случай не приведен в табл. 1.1.

17

приложения находим = 0,348, следовательно, по форму-

ле (1.14)

0,3480,2 40,062 203МПа Ry γc 210МПа.

Окончательно примем d = 6 см.

Теперь найдем критическую силу, пользуясь формулой

(1.10).

Таким образом, подбирали сечение на силу 200 кН, а теоретически стержень выдерживает 300 кН.

§ 1.2. Задачи и допущения при исследовании устойчивости плоских рам

Первые шаги в исследовании устойчивости форм равновесия упругих систем были сделаны Эйлером. В дальнейшем его подход был развит Лагранжем. По Эйлеру – Лагранжу решение сводится к определению возможных форм равновесия при следующих предпосылках: геометрическая и силовая схемы должны быть доведены до такой степени идеализации, чтобы условия равновесия описывались системой однородных уравнений. В частности, если рассматривается сжатый стержень, то предполагается, что он имеет совершенно прямолинейную форму, материал однороден и изотропен, продольная сжима-

19

ющая сила приложена строго центрально и не вызывает поперечного изгиба стержня. Принимается, что влияние начальных отклонений не существенно. Возмущения, которые налагаются на систему, являются сколь угодно малыми, и по отношению к этим малым возмущениям и рассматривается поведение системы.

Расчет на устойчивость при продольно-поперечном изгибе называется еще деформационным расчетом или расчетом на устойчивость II рода (потеря несущей способности сжатоизогнутой рамы).

В строительной механике стержневых систем рассматривается не устойчивость отдельного стержня, а устойчивость систем, составленных из стержней, жестко или шарнирно соединенных между собой по концам, например рам и ферм.

Стержни систем могут подвергаться или только действию продольных сил (рис. 1.9, а), или одновременному действию продольных сил и поперечных нагрузок (рис. 1.9, б).

Рис. 1.9

При действии нескольких нагрузок, как это показано на рис. 1.9, б, определяется критический параметр нагрузки, т.е. множитель Pкр, на который нужно умножить коэффициенты пропорциональности , , чтобы привести систему в критиче-

ское состояние.

20