Шведенко Начала математического анализа 2011
.pdf161
eSLI OGRANI^ITXSQ LI[X DEJSTWITELXNYMI ZNA^ENIQ- MI x (T. E. RASSMATRIWATX \KSPONENCIALXNU@ FUNKCI@ NA DEJSTWITELXNOJ OSI), TO K UVE PERE^ISLENNYM SWOJSTWAM NADLEVIT DOBAWITX SLEDU@]IE:
4 |
lim |
exp x = + |
1 |
A |
|
lim |
|
exp x |
= 0.1 |
|
||||||||||||||
|
|
x!+1 |
|
|
|
|
|
|
|
x!;1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
dOKAZATELXSTWO |
. pERWOE SOOTNO[ENIE WYTEKAET WYTEKAET |
||||||||||||||||||||||
IZ TOGO, ^TO DLQ POLOVITELXNYH ZNA^ENIJ x |
||||||||||||||||||||||||
|
|
exp x = lim ;1+ |
x |
+ |
x2 |
|
+ |
|
+ |
xn |
>1+ x, |
|||||||||||||
|
|
1! |
2! |
|
n! |
|||||||||||||||||||
|
|
|
n!+1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
A DLQ DOKAZATELXSTWA WTOROGO DOSTATO^NO ZAMETITX, ^TO |
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
lim exp x = lim |
|
|
|
|
|
= 0. Q.E.D. |
|||||||||||||||
|
|
x!;1 |
|
|
(;x)!+1 exp(;x) |
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
5 nA DEJSTWITELXNOJ OSI FUNKCIQ y = exp x QWLQETSQ |
|||||||||||||||||||||||
WOZRASTA@]EJ I IMEET MNOVESTWOM ZNA^ENIJ PROMEVUTOK |
||||||||||||||||||||||||
(0 +1). |
|
. tAK KAK PRI x >0 |
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
dOKAZATELXSTWO |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
exp x = lim ;1+ |
|
x |
+ |
x2 |
+ |
|
+ |
xn |
>1+ x >1 |
|||||||||||||
|
|
|
1! |
2! |
n! |
|||||||||||||||||||
|
|
|
n!+1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A exp x exp(;x) = exp 0 = 1, FUNKCIQ y = exp x W TO^KAH DEJSTWITELXNOJ OSI PRINIMAET LI[X POLOVITELXNYE ZNA- ^ENIQ, I ESLI x1 < x2 , TO
exp x2 = exp(x2 ;x1 +x1) = exp(x2 ;x1) exp x1 > exp x1,
1 tO^NEE, |
lim exp x = 0+0 (SM. S. 126). eSLI (U^ITYWAQ \TO SWOJ- |
|
x!;1 |
STWO) RASPROSTRANITX OPREDELENIE \KSPONENCIALXNOJ FUNKCII NA WS@
RAS[IRENNU@ SISTEMU DEJSTWITELXNYH ^ISEL (SM. S. 43), POLAGAQ PO
OPREDELENI@ |
exp(+1) = +1 exp(;1) = 0 |
, TO SWOJSTWO PERESTANO- |
||
WO^NOSTI SIMWOLOW \KSPONENCIALXNOJ FUNKCII I PREDELA | RAWENSTWO |
||||
|
lim exp;'(t) = exp; lim '(t) |
| BUDET WYPOLNQTXSQ WSQKIJ RAZ, KOGDA |
||
|
t! |
t! |
|
|
|
|
|
|
|
FUNKCIQ y = '(t) IMEET W (KONE^NOJ ILI BESKONE^NOJ) TO^KE KONE^- NYJ ILI BESKONE^NYJ PREDEL.
162
^TO DOKAZYWAET WOZRASTANIE FUNKCII y = exp x NA DEJST-
WITELXNOJ OSI. w SILU KRITERIQ NEPRERYWNOSTI MONOTONNOJ FUNKCII MNOVESTWO ZNA^ENIJ \TOJ FUNKCII ESTX PROME-
VUTOK, A TAK KAK \TOT PROMEVUTOK SODERVIT LI[X POLO-
VITELXNYE ^ISLA, W TOM ^ISLE (SWOJSTWO 4 ) SKOLX UGODNO BOLX[IE I SKOLX UGODNO BLIZKIE K NUL@, \TIM PROMEVUT-
KOM QWLQETSQ (0 +1). Q.E.D.
w SO^ETANII S TEOREMOJ OB OBRATNOJ FUNKCII TOLXKO ^TO DOKAZANNOE SWOJSTWO \KSPONENCIALXNOJ FUNKCII POZWOLQET SDELATX SLEDU@]IJ WAVNYJ WYWOD:
fUNKCIQ y = exp x, RASSMATRIWAEMAQ NA DEJSTWITELX- NOJ OSI, IMEET OBRATNU@ FUNKCI@, OPREDELENNU@ NA PRO- MEVUTKE (0 +1) I QWLQ@]U@SQ NA NEM NEPRERYWNOJ I
WOZRASTA@]EJ. |TU FUNKCI@ NAZYWA@T LOGARIFMI^ESKOJ
(LOGARIFMOM1) I OBOZNA^A@T x = ln y TAKIM OBRAZOM: ln(exp x) = x DLQ WSEH x 2R exp(ln y) = y DLQ WSEH y >0 .
oPERIRUQ OSNOWNYM TOVDESTWOM DLQ \KSPONENTY (SWOJ-
STWO 1 ), MOVNO WYWESTI PRIWY^NYE SWOJSTWA LOGARIFMA:
dLQ L@BYH ^ISEL a b > 0 SPRAWEDLIWY RAWENSTWA |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
ln(ab) = ln a + ln b |
ln |
1 |
= ;ln b ln |
a |
= ln a ;ln b |
. |
||||
|
|
b |
b |
|||||||||
|
dOKAZATELXSTWO |
. |
|
|
; ;b |
|
|
|
|
|
||
1 |
|
;b ; |
b |
|
b |
|
|
ln a+ln b = ln exp(ln a+ln b) = ln exp(ln a) exp(ln b) = ln(ab) 0 = ln1= ln 1 b = ln1 + ln b ln a = ln a b = lna + ln b. Q.E.D.
lOGARIFMY I SAMO \TO SLOWO (GRE^. o o& o&
NO[ENIQ) WWEL W OBIHOD [OTLADSKIJ BARON nEPER (Neper ILI Napier, John, Laird of Merchiston, 1550{1617) W IZDANNOM W 1614 G. \oPISANII UDIWITELXNYH TABLIC LOGARIFMOW" (\Miri ci Logarithmorum Canonis descriptio"). o nEPERE I EGO LOGARIFMAH (A ONI OTLI^ALISX OT NYNE[- NIH I RAWNQLISX 107 ln(107x;1)) MOVNO PO^ITATX W [6] I [23].
163
wYPOLNQ@TSQ PREDELXNYE SOOTNO[ENIQ: |
|
||||||||||||||||
A) |
lim |
ln x = + |
1 |
, |
B) |
lim |
ln x = |
;1 |
, |
||||||||
|
x!+1 |
|
|
|
|
|
|
|
x!0+0 |
|
|
||||||
T. E. ISTINNY UTWERVDENIQ, |
WYRAVAEMYE FORMULAMI: |
||||||||||||||||
A) 8c >09d>08x x >d ) ln x > c I |
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
B) |
8 |
c >0 |
9 |
>0 |
8 |
x 0 |
< x< |
) |
ln x< c . |
|
|||||||
|
|
|
|
|
; |
|
|
|
|
; |
|
|
dLQ DOKAZATELXSTWA DOSTATO^NO WZQTX W \TIH FORMULAH
d = ec, = e;c I PRIMENITX WOZRASTANIE FUNKCII y = ln x.
oSNOWNOJ PREDEL DLQ LOGARIFMA |
lim ln(1+x) |
= 1 |
. |
|
|
x!0 |
x |
|
|
dOKAZATELXSTWO. uDOBNO PRIMENITX KRITERII (\KWIWA-
LENTNYE OPREDELENIQ) PREDELA I NEPRERYWNOSTI FUNKCII W
TO^KE (SM. S. 109{110). pUSTX fxng | L@BAQ POSLEDOWATELX- |
|
NOSTX DEJSTWITELXNYH ^ISEL xn 6=,0SHODQ]AQSQ K NUL@. pO- |
|
SLEDOWATELXNOSTX f1+xng BUDET TOGDA SHODITXSQ K EDINICE, |
|
I KAVDOE ^ISLO 1 + xn BUDET OTLI^NYM OT EDINICY. wWI- |
|
DU NEPRERYWNOSTI I WOZRASTANIQ (NA PROMEVUTKE (0 |
+1)) |
|
|
FUNKCII y = ln x POSLEDOWATELXNOSTX fyng = ln(1+xn) |
ZNA- |
^ENIJ \TOJ FUNKCII BUDET SHODITXSQ K ln 1 = ln(exp 0) = 0,
PRI \TOM WSE ^ISLA yn = ln(1+ xn) BUDUT OTLI^NY OT NULQ. w SILU OSNOWNOGO PREDELA DLQ \KSPONENTY (SWOJSTWO 3 ) PO-
SLEDOWATELXNOSTX |
exp yn;1 |
BUDET SHODITXSQ K EDINICE, A |
|||||||
|
|
yn |
|
|
|
|
|
|
|
TAK KAK exp yn;1 |
= exp(ln(1+xn));1 = |
xn |
|
|
, TO SHODITXSQ |
||||
ln(1+xn) |
|||||||||
yn |
|
ln(1+xn) |
|
|
|||||
|
|
|
|
ln(1+xn) |
|
||||
K EDINICE BUDET I POSLEDOWATELXNOSTX |
xn |
|
. oSTAETSQ |
||||||
E]E RAZ WOSPOLXZOWATXSQ KRITERIEM (\KWIWALENTNYM OPRE- |
|||||||||
DELENIEM) PREDELA FUNKCII W TO^KE, W SOOTWETSTWII S KO- |
|||||||||
TORYM FUNKCIQ y = ln(1+x) |
IMEET W TO^KE |
x = 0 PREDEL, |
|||||||
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
RAWNYJ EDINICE. |
Q.E.D. |
|
|
|
|
|
|
165
dLQ L@BOGO POLOVITELXNOGO ^ISLA a I L@BYH DEJSTWI-
TELXNYH ^ISEL a b SPRAWEDLIWY RAWENSTWA:
|
|
|
b+c |
|
b |
c |
|
|
b c |
|
|
|
|
bc |
b |
|
1 |
|
|
|||
|
|
a |
|
= a |
a |
|
|
(a ) |
|
= a |
|
a; |
= ab |
. |
||||||||
dOKAZATELXSTWO |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
ab+c = exp (b+c) ln a |
= exp(b ln a) exp(c ln a) = abac |
|||||||||||||||||||||
(ab)c = exp c ln exp(b ln a) = exp(cb ln a) = abc |
||||||||||||||||||||||
b |
; |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
||
a; |
= exp( b ln a) = |
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
b |
. Q.E.D. |
||||||||||
|
; |
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
; |
|
|
|
|
exp(b ln a) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
pOLXZUQSX OPREDELENIEM STEPENI, SWOJSTWOM NEPRERYW-
NOSTI \KSPONENTY1 I OSNOWNYM PREDELOM DLQ LOGARIFMA
(SM. S. 163), MOVNO POLU^ITX PREDELXNOE SOOTNO[ENIE
lim 1+x x = lim exp 1 ln(1+x) = exp;lim ln(1+x) = exp 1 = e, |
||||||||||||||||||||||||||||||
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x!0; |
|
|
x!0 |
; |
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x!0 |
x |
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
2 |
lim |
|
1 |
x |
|
. |
|
|
|
||||||||||||||||
KOTOROE MOVNO PREDSTAWITX |
|
W WIDE |
|
;1+ x = e |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x!0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
oTPRAWNYM PUNKTOM TRADICIONNOGO WYWODA \TOGO SOOTNO[ENIQ (SM., |
||||||||||||||||||||||||||||||
NAPRIMER, [24], n 54) SLUVIT (PREDWARITELXNO USTANAWLIWAEMAQ) SHO- |
||||||||||||||||||||||||||||||
DIMOSTX POSLEDOWATELXNOSTI ;1+ |
1 |
n , PREDEL KOTOROJ PO OPREDELE- |
||||||||||||||||||||||||||||
n |
||||||||||||||||||||||||||||||
NI@ I ESTX ^ISLO e. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
sLEDU@]IJ [AG SOSTOIT W NAPISANII DLQ ZNA^ENIJ x |
2 |
[n n+1) |
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
1 |
n |
|
|
|
|
1 |
x |
|
|
|
|
1 |
n+1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
NERAWENSTW ;1+ |
|
< ;1+ |
|
< |
;1+ |
|
. ~TOBY \TOT [AG BYL LO- |
|||||||||||||||||||||||
n+1 |
x |
n |
||||||||||||||||||||||||||||
GI^ESKI SOSTOQTELXNYM, NEOBHODIMO: A) PREDWARITELXNO DATX WNQTNOE |
||||||||||||||||||||||||||||||
I IS^ERPYWA@]EE OPREDELENIE TOGO, ^TO PONIMAETSQ POD ;1+ |
1 |
x DLQ |
||||||||||||||||||||||||||||
x |
||||||||||||||||||||||||||||||
L@BOGO DEJSTWITELXNOGO ^ISLA x 6=,0B) NA BAZE \TOGO OPREDELENIQ |
||||||||||||||||||||||||||||||
OBOSNOWATX (A NE PROSTO NAPISATX) PRIWEDENNYE NERAWENSTWA. w PRO- |
||||||||||||||||||||||||||||||
TIWNOM SLU^AE | A IMENNO ON QWLQETSQ TIPI^NYM DLQ WUZOWSKIH KURSOW |
||||||||||||||||||||||||||||||
ANALIZA | \TOT I POSLEDU@]IE [AGI WYWODA \ZAME^ATELXNOGO PREDE- |
||||||||||||||||||||||||||||||
LA" lim ;1+ |
1 |
x= e NE IME@T DOKAZATELXNOJ SILY. |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
x |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
x!1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
1 a KONKRETNO | PERESTANOWO^NOSTX@ SIMWOLA \KSPONENTY S SIM- |
||||||||||||||||||||||||||||||
WOLOM PREDELA (SM. S. 161). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
2 pERENOSQ OBOZNA^ENIE x NA PEREMENNU@ |
1 |
, STREMQ]U@SQ K |
1 |
(BEZ |
||||||||||||||||||||||||||
|
||||||||||||||||||||||||||||||
ZNAKA). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
166
sTEPENNAQ FUNKCIQ
|
2 |
|
6 |
=0, |
|
1 |
|
pRI FIKSIROWANNOM |
|
R |
|
STEPENNAQ FUNKCIQ |
|||
|
|
|
|||||
y = x QWLQETSQ NEPRERYWNOJ I STROGO MONOTONNOJ |
|
NA |
|||||
PROMEVUTKE (0 +1) I IMEET MNOVESTWOM ZNA^ENIJ \TOT |
|||||||
VE PROMEVUTOK OBRATNOJ PO OTNO[ENI@ K NEJ (NA \TOM |
|||||||
|
|
|
|
1 |
|
|
|
PROMEVUTKE) SLUVIT STEPENNAQ FUNKCIQ x = y . |
|
|
dOKAZATELXSTWO. nEPRERYWNOSTX FUNKCII y = x NA PRO-
MEVUTKE (0 +1) ESTX PRQMOE SLEDSTWIE NEPRERYWNOSTI NA \TOM PROMEVUTKE LOGARIFMA (SM. S. 162) I SWOJSTWA PERE-
STANOWO^NOSTI SIMWOLOW NEPRERYWNOJ FUNKCII (W DANNOM SLU^AE \KSPONENTY) I PREDELA: KAKOWA BY NI BYLA TO^KA
x0 2 |
(0 +1), |
|
|
|
|
|
lim x = lim exp( ln x) = exp |
lim ( ln x) = |
|
||
|
x!x0 |
x!x0 |
;x!x0 |
x |
x |
|
|
= exp( ln |
0) = |
0 . |
eSLI 0 < x1 < x2 , TO (W SILU WOZRASTANIQ LOGARIFMA)
ln x1 < ln x2 , ESLI >0, I ln x1 > ln x2 , ESLI < 0, TAK
^TO (S U^ETOM WOZRASTANIQ \KSPONENTY) |
|
|
x1 = exp( ln x1) < exp( ln x2) = x2 |
ESLI >0, |
|
x1 = exp( ln x1) > exp( ln x2) = x2 |
ESLI < 0. |
|
tAK KAK PRI 6= 0FUNKCII y = ln x I y = ln x IME@T |
||
NA PROMEVUTKE (0 + |
) OB]EE MNOVESTWO ZNA^ENIJ | WS@ |
|
1 |
def |
|
DEJSTWITELXNU@ OSX, |
| FUNKCIQ y = x |
= exp( ln x) (PRI |
L@BOM 6= 0)IMEET MNOVESTWOM ZNA^ENIJ NA PROMEVUTKE \TOT VE PROMEVUTOK, A POSKOLXKU DLQ L@BOGO x >0 (x )1 = exp;1 ln;exp( ln x) = exp(lnx) = x,
FUNKCIQ x = y 1 SLUVIT OBRATNOJ PO OTNO[ENI@ K y = x .
1 a IMENNO: WOZRASTA@]EJ, ESLI >0, I UBYWA@]EJ, ESLI <0.
168
pOKAZATELXNAQ FUNKCIQ I OBRATNAQ K NEJ
pRI FIKSIROWANNOM a > 0 a 6=,1POKAZATELXNAQ FUNKCIQ y = ax QWLQETSQ NEPRERYWNOJ I STROGO MONOTONNOJ1 NA DEJSTWITELXNOJ OSI I IMEET MNOVESTWOM ZNA^ENIJ PRO- MEVUTOK (0 +1) OBRATNOJ PO OTNO[ENI@ K NEJ (NA \TOM PROMEVUTKE) SLUVIT FUNKCIQ, OBOZNA^AEMAQ x = loga y I NAZYWAEMAQ LOGARIFMOM PO OSNOWANI@ a.
x def
dOKAZATELXSTWO. tO, ^TO FUNKCIQ y = a = exp(x ln a) NA
DEJSTWITELXNOJ OSI QWLQETSQ NEPRERYWNOJ, STROGO MONO-
TONNOJ2, IMEET MNOVESTWOM ZNA^ENIJ PROMEVUTOK (0 +1),
I NA \TOM PROMEVUTKE OPREDELENA OBRATNAQ K NEJ FUNKCIQ,
TAKVE QWLQ@]AQSQ NEPRERYWNOJ I STROGO MONOTONNOJ, NA-
PRQMU@ WYTEKAET IZ TOGO, ^TO \TIMI SWOJSTWAMI OBLADAET
\KSPONENCIALXNAQ FUNKCIQ, I TEOREMY OB OBRATNOJ FUNK-
CII. dOPOLNITELXNO SLEDUET LI[X UKAZATX NA SWQZX MEV- DU LOGARIFMAMI loga I ln. pO OPREDELENI@ loga ax = x DLQ L@BOGO DEJSTWITELXNOGO ^ISLA x. pOLAGAQ ax = y, MOV- NO ZAKL@^ITX, ^TO y = aloga y DLQ L@BOGO POLOVITELXNOGO ^ISLA y. iZ POSLEDNEGO RAWENSTWA, W SWO@ O^EREDX, SLEDU-
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ln y |
ET: ln y = ln exp(loga y ln a) = loga y ln a, TAK ^TO |
loga y = ln a |
||||||||||||||||||
PRI y >0. ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
oSNOWNOJ PREDEL DLQ POKAZATELXNOJ FUNKCII. dLQ |
||||||||||||||||||
L@BOGO ^ISLA a > |
|
a |
|
|
SU]ESTWUET |
|
|
ax |
|
|
1 |
|
|
|
a |
|
|||
0 |
|
|
lim |
|
; |
|
= ln |
. |
|||||||||||
|
|
|
|
6 |
|
|
|
|
|
x!0 |
x |
|
|
|
|
|
|
||
|
dOKAZATELXSTWO |
. lim |
ax;1 |
= lim exp(x ln a);1 |
ln a |
= |
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
x!0 |
|
x |
|
x!0 |
|
x |
|
|
ln a |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
= lim exp(x ln a) |
;1 ln a = ln a. Q.E.D. |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
x!0 |
x ln a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 a IMENNO: WOZRASTA@]EJ, ESLI a >1, I UBYWA@]EJ, ESLI a < 1.
2 wOZRASTA@]EJ PRI a >1 (KOGDA ln a >0), I UBYWA@]EJ, ESLI a < 1 (KOGDA ln a <0).
169
wOT RAS[IFROWKA \TOJ CEPO^KI RAWENSTW.
pUSTX fxng | L@BAQ SHODQ]AQSQ K NUL@ POSLEDOWATELX- NOSTX DEJSTWITELXNYH ^ISEL, OTLI^NYH OT NULQ. tAK KAK
POSLEDOWATELXNOSTX fyng = fxn ln ag TOVE SHODITSQ K NUL@, I |
||||||
PRI \TOM WSE yn |
OTLI^NY OT NULQ, IZ OSNOWNOGO PREDELA DLQ |
|||||
\KSPONENTY lim exp y ;1 = 1 (SM. S. 107) SLEDUET: POSLEDOWA- |
||||||
y!0 |
y |
|
|
|
|
|
|
= exp(x |
|
ln a);1 |
|
|
|
TELXNOSTX exp yn;1 |
n |
SHODITSQ K EDINICE, |
||||
|
||||||
yn |
xn ln ax |
= exp(xn ln a);1 |
|
|||
A POTOMU POSLEDOWATELXNOSTX an;1 |
SHO- |
|||||
|
|
|
|
xn |
xn |
|
DITSQ K ^ISLU ln a. |
pRIMENENIE KRITERIQ (\KWIWALENTNOGO |
OPREDELENIQ) PREDELA FUNKCII \^EREZ POSLEDOWATELXNOSTI"
POZWOLQET ZAKL@^ITX: SU]ESTWUET lim ax;1 = ln a. Q.E.D.
x!0 x
dOKAZANNYM PREDELXNYM SOOTNO[ENIEM ZAWER[AETSQ sPISOK OSNOWNYH PREDELOW DLQ \LEMENTARNYH1 FUNKCIJ:
|
lim |
sin x |
= 1 (S. 122) |
lim ln(1+x) |
= 1 (S. 163) |
|
|||||||
|
|||||||||||||
|
x!0 |
x |
x!0 |
x |
|
|
|
|
|||||
|
lim (1+x) ;1 = (S. 167) lim |
ax;1 |
|
= ln a (S. 168) |
|
||||||||
|
x!0 |
x |
x!0 |
x |
|
|
|
|
|||||
|
1 |
|
1 |
x |
|
|
|
|
|||||
|
|
|
lim ;1+ |
|
|
|
|
||||||
|
lim(1+ x)x = e ILI |
= e (S. 165). |
|
||||||||||
|
x |
||||||||||||
|
x!0 |
|
|
x!1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
sLEDUET POD^ERKNUTX: WSE ONI BYLI WYWEDENY ISHODQ IZ |
|||||||||||||
OSNOWNOGO PREDELA DLQ \KSPONENTY |
lim |
exp z;1 |
= 1 |
, TAK ^TO |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
z!0 |
z |
|
|||||
ESLI UV ISPOLXZOWATX TERMIN \ZAME^ATELXNYJ PREDEL", TO |
|||||||||||||
IMENNO ON BOLX[E WSEH EGO ZASLUVIWAET. |
1 k \LEMENTARNYM PRINQTO OTNOSITX TE FUNKCII (DEJSTWITELXNOJ
I KOMPLEKSNOJ PEREMENNOJ), KOTORYE MOVNO WYRAZITX ^EREZ PEREMENNU@ I KONSTANTY, PROIZWODQ KONE^NOE ^ISLO DEJSTWIJ SLOVENIQ, WY-
^ITANIQ, UMNOVENIQ, DELENIQ, WZQTIQ \KSPONENTY I LOGARIFMA (SM. [4], S. 7).
170
III.11. kAK OPERIRU@T SIMWOLAMI o I O I PONQTIEM \KWIWALENTNOSTI FUNKCIJ
nA PERWYH STRANICAH WTOROGO TOMA \lEKCIJ PO TEORII ^ISEL" [45] (1927 G.) NEMECKIJ MATEMATIK |. lANDAU (Landau Edmund, 1877{1938) WWEL SLEDU@]IE OBOZNA^ENIQ, STAW[IE
OB]EPRINQTYMI POD NAZWANIEM \o I O SIMWOLIKI". |
|
|
|
|
|
|||||
pO OPREDELENI@: |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
ZAPISX f(x) = o(1) x |
! |
x0 ,1 OZNA^AET, ^TO lim f(x) = 0 2 |
|
|||||||
|
|
|
|
x!x0 |
|
|
|
|
|
|
ZAPISX f(x) = o g(x) x ! x0 ,3 |
WYRAVAET TOT FAKT, ^TO |
|||||||||
f(x) |
|
f(x) |
|
|
|
|
|
|
|
|
xlimx0 g(x) = 0, |
T. E. g;(x) = o(1) x!x0 4 |
|
|
|
|
|
||||
! ZAPISX f(x) = O(1) x |
! x0 ,5 |
OZNA^AET, ^TO PRI STREM- |
||||||||
LENII x K x |
0 |
FUNKCIQ y |
= |
f x OSTAETSQ OGRANI^ENNOJ |
, |
T |
. |
E |
. |
|
|
|
( ) |
|
|
|
jf(x)j6h DLQ NEKOTOROGO ^ISLA h > 0 I WSEH x IZ NEKOTOROJ OKRESTNOSTI TO^KI x0
ZAPISX f(x) = O g(x) x ! x0 , WYRAVAET TOT FAKT, ^TO |
||||||||||||||
f(x) |
= |
O |
(1) |
x |
! |
x |
0 |
, |
T |
. |
E |
. |
OTNO[ENIE |
f(x) OSTAETSQ OGRANI- |
g(x) |
|
|
|
|
|
|
g(x) |
|||||||
|
|
|
|
|
|
; |
|
|
|
|
^ENNYM W NEKOTOROJ OKRESTNOSTI TO^KI x0 .
1 ~ITAETSQ: \f(x) ESTX o MALOE OT EDINICY PRI STREMLENII x K x0".
2t. E. FUNKCIQ y = f(x) STANOWITSQ BESKONE^NO MALOJ, KOGDA TO^KA x STREMITSQ K TO^KE x0 . tO^KA x0 MOVET BYTX KAK KONE^NOJ, TAK I BESKONE^NOJ, A STREMLENIE x K NEJ | STREMLENIEM SPRAWA ILI SLEWA
|.lANDAU W [45], WWODQ \TU SIMWOLIKU, OPERIROWAL TO^KOJ x0 = + |
1 |
. |
||
3 |
~ITAETSQ: \f(x) ESTX \o MALOE" OT g(x) PRI STREMLENII |
|
|
|
|
x K x0" |
|||
GOWORQT TAKVE, ^TO \FUNKCIQ y = f(x) QWLQETSQ BESKONE^NO MALOJ OT- |
||||
NOSITELXNO FUNKCII y = g(x) PRI STREMLENII x K x0". |
|
|
|
|
4 |
|TO POZWOLQET PEREPISATX SOOTNO[ENIE f(x) = o;g(x) |
x ! x0 , |
||
W WIDE f(x) = o(1)g(x) x ! x0 , OZNA^A@]EM, ^TO f(x) = (x)g(x), GDE |
||||
(x) = o(1) x!x0 (PRI \TOM DOPUSKAETSQ WOZMOVNOSTX ODNOWREMENNOGO |
||||
OBRA]ENIQ W NULX ZNA^ENIJ f(x) I g(x) WBLIZI TO^KI x0). |
|
|
|
|
5 |
~ITAETSQ: \f(x) ESTX \O BOLX[OE" OT EDINICY PRI STREMLENII x |
K x0".