Шведенко Начала математического анализа 2011

191

^TO (W SILU \TOGO VE PREDSTAWLENIQ)

x = O(

t) PRI

t

0,

M

M

M

POZWOLQET1 ZAPISATX PRIRA]ENIE My W WIDE

;

;

(

0)

(

0)

( ) +

(

|

{z

}

O(Mt)

=

f 0

x

'0

t

Mt

+

f

0

x

0)

o

Mt

o O Mt

( 0)

( 0)

(

( )+

( ( )) =

|

{z

}

|

{z

}

o(Mt)

o(Mt)

=

f 0 x

0)

'0

t

Mt

+

o Mt

Mt

0.

Q.E.D.

(

(

0)

( )

!

tEOREMA O PROIZWODNOJ OBRATNOJ FUNKCII. eSLI

NEPRERYWNAQ I STROGO MONOTONNAQ NA PROMEVUTKE I FUNK-

CIQ y = f(x) IMEET W TO^KE x0

\TOGO PROMEVUTKA PROIZWOD-

(f

) (y0) = f0

.

( 0)

dOKAZATELXSTWO

. w TO WREMQ KAK FUNKCIQ y = f(x) PO

PRIRA]ENI@ Mx = x ;x0

PEREMENNOJ x (W TO^KE x0) OPREDE-

;1

;

LQET PRIRA]ENIE

My = f

(x)

f

(x0) PEREMENNOJ y, OBRATNAQ

K NEJ FUNKCIQ Mx = f

(y) PO PRIRA]ENI@ My = y

;y0 PERE-

MENNOJ y (W TO^KE y0) WOSSTANAWLIWAET ISHODNOE PRIRA]ENIE

=

;

0

=

( )

;

(

0) .

;1

Mx

x

x

f;1

y

f;1

y

sTROGAQ MONOTONNOSTX I

NEPRERYWNOSTX OBEIH FUNKCIJ y = f(x) I x = f

(y) (SM.

S. 157) POZWOLQET UTWERVDATX, ^TO

A) Mx

6

= 0

My

6

= 0 B) Mx

0

()

My

!

0,

()

M!

A TAK KAK SU]ESTWUET f

0

x

def

y

TO SU]ESTWUET I

( 0) = lim

= 0,

def

M

0

1

1

(f;1) (y0) =Mlim Mxy = Mlim

=

.

Q.E.D.

My

f

0

!

!

x

y

0

x

0

Mx

(

0)

y0 x

def

My

= lim

exp x0(expMx ;1)

= exp

x

0.

(

0) = lim

Mx

Mx!0 Mx

Mx!0

2. fUNKCIQ y = ln x 0 < x < +1, OBRATNAQ PO OTNO[E-

NI@ K NEPRERYWNOJ WOZRASTA@]EJ

(NA DEJSTWITELXNOJ OSI)

FUNKCII x = ey

(SM. S. 162) S PROIZWODNOJ x0(y0) = ey0

6=0

(PREDYDU]IJ PRIMER), PO TEOREME O PROIZWODNOJ OBRATNOJ

FUNKCII IMEET W L@BOJ TO^KE x0 2(0 +1) PROIZWODNU@

y0(x ) =

1

=

1

=

1

.

y0

x

0

x

0

y

e

0

( 0)

wOT DRUGOJ WYWOD PROIZWODNOJ FUNKCII y = ln x. kAKOWY

BY NI BYLI ZNA^ENIQ x0 x > 0, PRIRA]ENI@

Mx = x

x0

x

x0+M;x

OTWE^AET PRIRA]ENIE My = ln x ; ln x0 = ln x0

= ln

x0

, I

PRIMENENIE OSNOWNOGO PREDELA DLQ LOGARIFMA

(S. 163) DAET:

y0(x0) = lim

My

= lim

1

lnx0

+ x = lim

1

ln 1+

x

=

def

M

M

Mx!0 Mx Mx!0 Mx

x0

Mx!0 Mx

;

x0

1

x0

;

Mx

1

= lim

Mx

ln 1+

x0

=

x0

.

Mx!0 x0

193

0

def

My

= lim

xn

;

x n

=1

y

(x0) = lim

Mx

0

Mx!0

Mx!0

Mx

= lim

(x;x0)(xn;1 + xn;2x0 + + xx0n;2 + x0n;1)

= nx0n;1

Mx!0

Mx

OREMA O PROIZWODNOJ OBRATNOJ FUNKCII (S. 191) POZWOLQET

ZAKL@^ITX:

0

1

1

1

1

1 ;1

;1

y

(x0) =

x

0

y

=

n;1 =

n

n;1

= n

(x0)n

= (x0)

ny0

n(px0)

(

0

0

( 0)

0

6= 0

).

DLQ x

>

PRI ^ETNOM n

I DLQ x

PRI NE^ETNOM n

y

(x0) = x0(y0)

= ay0 loga

= x loga .

6. y = sin x.

pRIRA]ENI@ Mx = x ;x0 OTWE^AET PRIRA-

]ENIE My = sin x

;

sin x0 = 2 cos x+x0

sin x;x0 , A PO\TOMU2

W

2

2

L@BOJ TO^KE x0 SU]ESTWUET

y0(x0) = lim

cos x0

def

M

M

Mx!0 Mx

Mx!0 Mx

2

2

7. y = cos x.

pRIRA]ENI@ Mx = x

;x0

OTWE^AET PRIRA-

]ENIE My = cos x cos x0 =

2 sin x+x0

sin x;x0 , PO\TOMU

y0(x0) = lim

M;y

= lim ;2 sin

2

x

2

x

=

sin x0 .

x0 +

sin

def

;

M

M

;

Mx!0 Mx Mx!0 Mx

2

2

BYTX

POLU^ENY1 I NA OSNO-

WE FORMUL |JLERA

sin x =

eix;e;ix

,

cos x =

(SM. S. 122) I

2i

2

PROIZWODNOJ LINEJNOJ KOMBINACII FUNKCIJ:

sin0 x0 =

ieix0 ;(;i)e;ix0

=

eix0 + e;ix0

= cos x0 ,

2i

2

cos0x0 =

ieix0 ;ie;ix0

=

;

eix0 ;e;ix0

=

;

sin x0 .

2

2i

def

e

x

;2e

;x

8. gIPERBOLI^ESKIJ SINUS

sh x =

I GIPERBOLI-

def

x

+ e

;x

^ESKIJ KOSINUS ch x =

e

,2

IME@T PROIZWODNYE

2

sh0 x0 = ex0 ;(;e;x0) = ch x0 ch0 x0 = ex0 +(;e;x0) = sh x0 .

2

2

9. y = tg x.

tAK KAK tg x =

sin x

, PRIMENENIE FORMULY

cos x

PROIZWODNOJ ^ASTNOGO DAET:

y0(x0) =

(cos x0) cos x0 ; sin x0(;sin x0)

=

1

.

(cos x0)2

cos2 x0

10. y = ctg x.

tAK KAK ctg x =

cos x

,

sin x

y0(x0) = (; sin x0) sin x0

; (cos x0) cos x0

=

1

.

(sin x0)2

; sin2 x0

11. fUNKCI@ y = arcsin x OPREDELQ@T NA OTREZKE [;1 1]

KAK OBRATNU@ K FUNKCII x = sin y, RASSMATRIWAEMOJ NA OT-

REZKE

SM

S

tAK KAK

0 x

x

W L@BOJ

2

, 2

(

.

. 159).

sin

0

= cos

0

;

6

= 0

,

, TO PO TEOREME O PROIZWODNOJ

TO^KE

x0

INTERWALA

;;2

OBRATNOJ FUNKCII

2

y0(x0) =

1

=

1

=1

1

=

1

,

0

2

2

x y

p1; sin y0

p1;(x0)

( 0)

cos x0

GDE x

0

| L@BAQ TO^KA INTERWALA

(;1

1)

| MNOVESTWA ZNA

-

;

2

< y <

2

.

KOTORAQ OPREDELENA

INTERWALA (;1 1) PROIZWODNU@

y0(x0) =

1

=

1

= 2

=

1

.

0

( 0)

; sin x0

;p1; cos y0

; p1;(x0)

x

y

2

2

12. dLQ FUNKCII y = arctg x

;1 < x < +1, OPREDELQE-

MOJ KAK OBRATNAQ K FUNKCII x = tg y, RASSMATRIWAEMOJ NA

INTERWALE ;;

,

,

2

2

;1

0

1

1

1

y

(x0) = x0(y0)

= cos2 y0

= 1+tg2 y0

=

1+(x0)2 ,

tAK VE DLQ FUNKCII y = arcctg x

;1

< x <+1, QWLQ@-

]EJSQ OBRATNOJ K FUNKCII x = ctg y, RASSMATRIWAEMOJ NA

INTERWALE (0 ),

1

1

;1

1

1

y0(x0) =

=

=

=

,

0

(y )

y

;

2

;

x

2

x

2

1+ctg

y

0

0

1+( 0)

; sin

0

eSLI TO^KU x0 ,

W KOTOROJ BERETSQ PROIZWODNAQ FUNKCII

2;

1 s U^ETOM TOGO,

^TO cos x>0 DLQ x 2 ;

,

.

2

2

2 s U^ETOM TOGO, ^TO sin x>0 DLQ x

(0 ).

(loga x)0 =

1

sin0

x = cos x

cos0 x =

;

sin x

x ln a

0

0

1

0

1

x = ch x ch

x = sh x

tg

x = cos2 x

ctg

x

= ; sin2 x

0

1

1

0

arcsin

x

= p

1;x2

arccos

x

= ; p

1;x2

0

1

0

1

x =

1+x2

arcctg

x

= ;

1+x2 .

x2

0

1

j j

NOJ FUNKCIEJ PO OTNO[ENI@ K y =

x

QWLQETSQ y = ln

x

, TAK

ln x2 0=

( x2)

1

1

=

1

.

2

2

x