Шведенко Начала математического анализа 2011

82

=1 + 1!1 + 2!1 1− n1 + · · · + k1! 1− n1 · · · 1− k−n 1 ,

аот них — переходом к пределу при n → +∞ и произволь-

ном, но фиксированном k — к соотношениям

x = lim xn 1+1!1 + 2!1 + · · · + k1! = yk ,

дающим в пределе — на сей раз при k → +∞ — неравенство x y. В соединении с ранее полученным неравенством x y это доказывает, что последовательности {xn} и {yn} сходятся к одному и тому же числу, для которого Эйлер ([29], § 122, с. 120) предложил обозначение e и нашел приближенное значение 2, 71828 18284 59045 23536 028.

Следующее утверждение, дающее оценку разности e − yn, позволяет доказать иррациональность числа e.

При любом натуральном n справедливы неравенства

Переход в них к пределу при k → +∞ (и фиксированном n) дает:

83

II.4. ~TO TAKOE PODPOSLEDOWATELXNOSTX, PREDELXNAQ TO^KA POSLEDOWATELXNOSTI

pODPOSLEDOWATELXNOSTX@ ZADANNOJ POSLEDOWATELXNOSTI

fxng = x1 x2 : : : NAZYWA@T NOWU@ POSLEDOWATELXNOSTX,

OBOZNA^AEMU@ fxnkg, \LEMENTAMI KOTOROJ SLUVAT \LEMENTY ISHODNOJ POSLEDOWATELXNOSTI, NO WZQTYE NE PODRQD, A S PRO- PUSKAMI | SOGLASNO WYBORU WOZRASTA@]EJ POSLEDOWATELX- NOSTI NATURALXNYH ^ISEL (\NOMEROW") fnkg = n1 n2 : : : 1.

pEREBIRAQ WSEWOZMOVNYE WOZRASTA@]IE POSLEDOWATELX-

NOSTI \NOMEROW" fnkg, POLU^A@T WSEWOZMOVNYE PODPOSLEDO- WATELXNOSTI fxnkg POSLEDOWATELXNOSTI fxng.2

nAPRIMER, ESLI fxng = f(;1)ng = ;1 1 ;1 1 ;1 : : : , TO fx2ng = x2 x4 x6 x8 x10 : : : = 1 1 1 1 1 : : : 3

fx3ng = x3 x6 x9 x12 x15 : : : = ;1 1 ;1 1 ;1 : : : fx2ng = x2 x4 x8 x16 x32 : : : = 1 1 1 1 1 : : : 4

fx2n;1g = x1 x3 x7 x15 x31 : : : = ;1 ;1 ;1 ;1 : : : fxn+[ n2 ]g= x1 x3 x4 x6 x7 : : : = ;1 ;1 1 1 ;1 : : : 5

1 |TO OZNA^AET, ^TO fxnkg = xn1 xn2 : : : , T. E. PERWYM \LEMENTOM PODPOSLEDOWATELXNOSTI fxnkg QWLQETSQ \LEMENT POSLEDOWATELXNOSTI fxng S \NOMEROM" n1, EE WTORYM \LEMENTOM | \LEMENT POSLEDOWATELX- NOSTI fxng S \NOMEROM" n2 I T. D. w ^ASTNOSTI, ESLI fnkg = 1 2 : : : , TO PODPOSLEDOWATELXNOSTX fxnkg SOWPADAET S ISHODNOJ POSLEDOWATELX- NOSTX@ fxng.

2 fRAZU NE SLEDUET PONIMATX BUKWALXNO: PEREBRATX (ODNU ZA DRUGOJ) WSE WOZRASTA@]IE POSLEDOWATELXNOSTI CELYH NEOTRICATELXNYH ^ISEL NEWOZMOVNO, POSKOLXKU ONI SOSTAWLQ@T NES^ETNOE MNOVESTWO.

84

eSLI POSLEDOWATELXNOSTX fxng SHODITSQ, TO SHODITSQ (K TOMU VE PREDELU) I L@BAQ EE PODPOSLEDOWATELXNOSTX fxnkg.1 mOVET, ODNAKO, SLU^ITXSQ, ^TO RASHODQ]AQSQ POSLEDOWATELX-

NOSTX fxng IMEET SHODQ]U@SQ PODPOSLEDOWATELXNOSTX fxnkg.2

eSLI POSLEDOWATELXNOSTX fxng IMEET PODPOSLEDOWATELX- NOSTX fxnkg, SHODQ]U@SQ K NEKOTOROMU ^ISLU x, TO \TO ^IS- LO NAZYWA@T PREDELXNOJ TO^KOJ POSLEDOWATELXNOSTI fxng

(ILI EE ^ASTI^NYM PREDELOM)3.

kRITERIJ4 PREDELXNOJ TO^KI. ~ISLO5 x QWLQETSQ PRE-

DELXNOJ TO^KOJ (^ASTI^NYM PREDELOM) POSLEDOWATELXNOSTI fxng W TOM I TOLXKO W TOM SLU^AE, KOGDA L@BAQ OKRESTNOSTX TO^KI x SODERVIT BESKONE^NO MNOGO \LEMENTOW POSLEDOWA- TELXNOSTI fxng (ILI, ^TO TO VE SAMOE, \LEMENTY POSLEDO- WATELXNOSTI fxng SO SKOLX UGODNO BOLX[IMI \NOMERAMI")

SIMWOLI^ESKI: 8">08n0 9n(n > n0 ^ jxn;xj< ") . dOKAZATELXSTWO. pUSTX x | PREDELXNAQ TO^KA POSLEDOWA-

TELXNOSTI fxng, T. E. PREDEL NEKOTOROJ EE PODPOSLEDOWATELX- NOSTI fxnkg. pO OPREDELENI@ PREDELA \TO OZNA^AET, ^TO W L@BU@ OKRESTNOSTX TO^KI x POPADA@T WSE \LEMENTY PODPO- SLEDOWATELXNOSTI fxnkg, NA^INAQ S NEKOTOROGO \NOMERA", A POTOMU \TA OKRESTNOSTX SODERVIT \LEMENTY POSLEDOWATELX-

NOSTI fxng SO SKOLX UGODNO BOLX[IMI \NOMERAMI". pUSTX, NAOBOROT, ISTINNO UTWERVDENIE

1 eSLI ISTINNO UTWERVDENIE 8" > 09n08n(n > n0 ) jxn ; xj< "), TO (TAK KAK nk>k) ISTINNO UTWERVDENIE 8">09n08k(k>n0 )jxnk;xj<").

2 tAK VE KAK NEMONOTONNAQ POSLEDOWATELXNOSTX | MONOTONNU@ PODPOSLEDOWATELXNOSTX.

3 dLQ SHODQ]EJSQ POSLEDOWATELXNOSTI PONQTIQ PREDELXNOJ TO^KI

(^ASTI^NOGO PREDELA) I PREDELA SOWPADA@T.

4 gRE^. o | PRIZNAK, PO KOTOROMU MOVNO SUDITX WERNO.

5 dEJSTWITELXNOE ILI MNIMOE (IZOBRAVAEMOE TO^KOJ NA ^ISLOWOJ OSI ILI KOMPLEKSNOJ PLOSKOSTI).

(OBOZNA^AEMOE n3), ^TO jxn ;xj< 1 I TAK DALEE.

3 3

tAKIM OBRAZOM IZ POSLEDOWATELXNOSTI fxng WYDELQETSQ PODPOSLEDOWATELXNOSTX fxnkg, OBLADA@]AQ TEM SWOJSTWOM,

^TO jxn ; xj< 1 , k = 1 2 : : : , I W SILU \TOGO SHODQ]AQSQ K

k k

^ISLU x. ~ISLO x, OKAZYWAQSX PREDELOM PODPOSLEDOWATELX-

NOSTI fxnkg, QWLQETSQ ^ASTI^NYM PREDELOM POSLEDOWATELX-

NOSTI fxng. Q.E.D.

gLAWNYM UTWERVDENIEM, SWQZANNYM S PODPOSLEDOWATELX-

NOSTQMI I PREDELXNYMI TO^KAMI (^ASTI^NYMI PREDELAMI)

^ISLOWYH POSLEDOWATELXNOSTEJ QWLQETSQ SLEDU@]EE.

tEOREMA bOLXCANO{wEJER[TRASSA1. l@BAQ OGRANI-

^ENNAQ POSLEDOWATELXNOSTX2 IMEET PREDELXNU@ TO^KU.

1 eE NAZWANIE OB_QSNQETSQ TEM, ^TO ONA PO^TI NAPRQMU@ SLEDUET IZ TEOREMY O SU]ESTWOWANII TO^NYH GRANEJ (SM. S. 42), USTANOWLEN-

NOJ bOLXCANO W 1817 G. iMQ VE NEMECKOGO MATEMATIKA wEJER[TRASSA (Weierstrass Karl, 1815{1897) ^ASTO WSTRE^AETSQ W NAZWANIQH TEOREM WO MNOGOM BLAGODARQ ZNAMENITYM LEKCIQM PO ANALIZU, KOTORYE ^ITAL W 1856{1861 GG. W bERLINSKOM UNIWERSITETE I pROMY[LENNOM INSTITU- TE (Gewerbeinstitut) I W KOTORYH ON DAL PEREOSMYSLENIE I STAW[IE OB]EPRINQTYMI FORMULIROWKI BAZOWYH PONQTIJ I FAKTOW ANALIZA. |TI LEKCII NE BYLI OFORMLENY wEJER[TRASSOM W WIDE OBSTOQTELXNO- GO U^EBNIKA I POLU^ILI IZWESTNOSTX STARANIQMI EGO U^ENIKOW, WED[IH IH ZAPISI (PODROBNEE OB \TOM W [39]).

2 rE^X IDET O POSLEDOWATELXNOSTQH DEJSTWITELXNYH ^ISEL, HOTQ TE- OREMA WERNA I DLQ POSLEDOWATELXNOSTEJ KOMPLEKSNYH ^ISEL.

86

|KWIWALENTNAQ FORMULIROWKA TEOREMY: L@BAQ OGRANI-

^ENNAQ POSLEDOWATELXNOSTX IMEET SHODQ]U@SQ PODPOSLEDO- WATELXNOSTX.

dOKAZATELXSTWO. sOGLASNO OPREDELENI@ (SM. S. 67) OGRA- NI^ENNOSTX POSLEDOWATELXNOSTI1 fxng OZNA^AET SU]ESTWOWA- NIE OTREZKA [a b], SODERVA]EGO WSE \LEMENTY \TOJ POSLEDO- WATELXNOSTI: 9a9b8n(a 6xn 6 b).

pUSTX X | MNOVESTWO TEH DEJSTWITELXNYH ^ISEL, SPRA- WA OT KOTORYH (NA ^ISLOWOJ OSI) LEVIT BESKONE^NO MNOGO \LEMENTOW POSLEDOWATELXNOSTI fxng. mNOVESTWO X NEPUSTO (EMU PRINADLEVIT L@BOE ^ISLO, MENX[EE a) I OGRANI^ENO SWERHU (NAPRIMER, ^ISLOM b), TAK ^TO PO TEOREME O SU]ESTWO- WANII TO^NYH GRANEJ (SM. S. 42) SU]ESTWUET ^ISLO x = sup X. oSTAETSQ DOKAZATX, ^TO ^ISLO x QWLQETSQ PREDELXNOJ TO^- KOJ POSLEDOWATELXNOSTI fxng.

pUSTX " | L@BOE (SKOLX UGODNO MALOE) POLOVITELXNOE ^ISLO. sOGLASNO OPREDELENI@ TO^NOJ WERHNEJ GRANI (SM. S. 41) L@BOJ \LEMENT MNOVESTWA X NE PREWOSHODIT ^ISLA x, TAK ^TO x+ 2" 2= X, A POTOMU SPRAWA OT ^ISLA x+ 2" MOVET NAHODITXSQ LI[X KONE^NOE ^ISLO \LEMENTOW POSLEDOWATELX- NOSTI fxng (LIBO IH NET SOWSEM). s DRUGOJ STORONY, ^ISLO x ;" NE QWLQETSQ WERHNEJ GRANICEJ MNOVESTWA X, A POTOMU SPRAWA OT NEGO ESTX \LEMENT x 2 X (SPRAWA OT KOTOROGO, A SLEDOWATELXNO, SPRAWA OT ^ISLA x;" LEVIT BESKONE^NO MNO- GO \LEMENTOW POSLEDOWATELXNOSTI fxng). sOPOSTAWLENIE \TIH FAKTOW POKAZYWAET: INTERWAL (x ;" x + ") PRI L@BOM " > 0 SODERVIT BESKONE^NO MNOGO \LEMENTOW POSLEDOWATELXNOSTI fxng, A SLEDOWATELXNO, x (SOGLASNO KRITERI@ NA S. 84) ESTX PREDELXNAQ TO^KA \TOJ POSLEDOWATELXNOSTI (T. E. PREDEL NE-

KOTOROJ EE PODPOSLEDOWATELXNOSTI). Q.E.D.

1 dEJSTWITELXNYH ^ISEL.

87

II.5. ~TO PONIMA@T POD WERHNIM I NIVNIM PREDELAMI POSLEDOWATELXNOSTI

dLQ PROIZWOLXNO WZQTOJ POSLEDOWATELXNOSTI1 fxng PUSTX X | MNOVESTWO TEH DEJSTWITELXNYH ^ISEL, SPRAWA OT KOTO- RYH (NA ^ISLOWOJ OSI) LEVIT BESKONE^NO MNOGO \LEMENTOW \TOJ POSLEDOWATELXNOSTI. tO^NAQ WERHNQQ GRANX \TOGO MNO- VESTWA X ESTX TO, ^TO NAZYWA@T WERHNIM PREDELOM POSLEDO- WATELXNOSTI fxng S OBOZNA^ENIEM EGO lim xn ILI lim sup xn.2

wOZMOVNY TRI SLU^AQ:

1)MNOVESTWO X PUSTO

2)MNOVESTWO X NEPUSTO I OGRANI^ENO SWERHU

3)MNOVESTWO X NE OGRANI^ENO SWERHU.

sOOTWETSTWENNO \TIM SLU^AQM:

1) lim xn = sup X = ;1 (SM. S. 43)

2) lim xn = sup X ESTX NEKOE DEJSTWITELXNOE ^ISLO x

3) lim xn = sup X = +1

w PERWOM SLU^AE SPRAWA OT L@BOGO DEJSTWITELXNOGO ^IS- LA (NA ^ISLOWOJ OSI) MOVET NAHODITXSQ LI[X KONE^NOE ^ISLO

\LEMENTOW POSLEDOWATELXNOSTI fxng (LIBO IH NET SOWSEM), A POTOMU W L@BOJ PROMEVUTOK WIDA (;1 a) | TO, ^TO NA-

ZYWA@T OKRESTNOSTX@ \LEMENTA ;1 | POPADA@T WSE \LE-

MENTY POSLEDOWATELXNOSTI fxng, NA^INAQ S NEKOTOROGO, A \TO OZNA^AET (SM. S. 75), ^TO lim xn = ;1.

wO WTOROM SLU^AE L@BAQ OKRESTNOSTX ^ISLA3 x | IN-

TERWAL WIDA (x;" x+") | SODERVIT BESKONE^NO MNOGO \LE-

MENTOW POSLEDOWATELXNOSTI fxng, TOGDA KAK SPRAWA OT L@-

1 dEJSTWITELXNYH ^ISEL.

2 dOKAZATELXSTWO TEOREMY bOLXCANO{wEJER[TRASSA (SM. S. 86) PO SUTI BYLO DOKAZATELXSTWOM TOGO, ^TO L@BAQ OGRANI^ENNAQ POSLEDOWA-

TELXNOSTX (DEJSTWITELXNYH ^ISEL) IMEET WERHNIJ PREDEL.

3 tO^NEE, IZOBRAVA@]EJ EGO TO^KI ^ISLOWOJ OSI.

88

BOGO TAKOGO INTERWALA IH MOVET BYTX LI[X KONE^NOE ^IS- LO (ILI NET SOWSEM)1 FAKTI^ESKI \TO OZNA^AET, ^TO ^ISLO x = lim xn OKAZYWAETSQ NAIBOLX[EJ PREDELXNOJ TO^KOJ PO-

SLEDOWATELXNOSTI fxng.

w TRETXEM SLU^AE L@BOJ PROMEVUTOK WIDA (a +1) | TO, ^TO NAZYWA@T OKRESTNOSTX@ \LEMENTA +1 | SODER-

VIT BESKONE^NO MNOGO \LEMENTOW POSLEDOWATELXNOSTI fxng, A SLEDOWATELXNO, SU]ESTWUET PODPOSLEDOWATELXNOSTX fxnkg,

RASHODQ]AQSQ K +1 ( lim xn = lim xnk = +1).2 dWOJSTWENNYM PO OTNO[ENI@ K WERHNEMU PREDELU QWLQET-

SQ PONQTIE NIVNEGO PREDELA POSLEDOWATELXNOSTI fxng, OBO- ZNA^AEMOGO SIMWOLAMI lim xn I lim inf xn I OPREDELQEMOGO KAK TO^NAQ NIVNQQ GRANX MNOVESTWA TEH DEJSTWITELXNYH ^ISEL, SLEWA OT KOTORYH (NA ^ISLOWOJ OSI) LEVIT BESKONE^- NO MNOGO \LEMENTOW POSLEDOWATELXNOSTI fxng.

pODOBNO TOMU, KAK \TO IMELO MESTO DLQ WERHNEGO PREDELA, WOZMOVNY TRI SLU^AQ:

1) lim xn = +1 | ESLI NET DEJSTWITELXNYH ^ISEL, SLE- WA OT KOTORYH (NA ^ISLOWOJ OSI) NAHODILOSX BY BESKONE^NO

1 dLQ OBOSNOWANIQ \TOGO DOSTATO^NO ZAMETITX, ^TO (W SOOTWETSTWII S OPREDELENIEM MNOVESTWA X ) SPRAWA OT ^ISLA x+ 2" MOVET LEVATX

LI[X KONE^NOE ^ISLO \LEMENTOW POSLEDOWATELXNOSTI fxng (LIBO IH NET SOWSEM), TOGDA KAK SPRAWA OT ^ISLA x;" ESTX \LEMENT MNOVESTWA X, A POTOMU SPRAWA OT NEGO LEVIT BESKONE^NO MNOGO \LEMENTOW POSLEDOWA-

TELXNOSTI fxng.

2 oBY^NO \TO WYRAVA@T SLOWAMI: \LEMENT +1 ESTX BESKONE^NAQ PREDELXNAQ TO^KA (ILI BESKONE^NYJ ^ASTI^NYJ PREDEL) POSLEDOWA-

TELXNOSTI fxng. dLQ POSTROENIQ TAKOJ PODPOSLEDOWATELXNOSTI DOSTA- TO^NO (POLXZUQSX TEM, ^TO L@BOJ PROMEVUTOK (a +1) SODERVIT BES- KONE^NO MNOGO \LEMENTOW POSLEDOWATELXNOSTI fxng) WZQTX W KA^ESTWE xn1 L@BOJ \LEMENT POSLEDOWATELXNOSTI fxng, LEVA]IJ W PROMEVUTKE (1 +1), W KA^ESTWE xn2 | L@BOJ \LEMENT POSLEDOWATELXNOSTI fxng S \NOMEROM" n2 >n1, LEVA]IJ W PROMEVUTKE (2 +1) I T. D.

89

MNOGO \LEMENTOW POSLEDOWATELXNOSTI fxng \TO OZNA^AET, ^TO L@BOJ PROMEVUTOK (a +1) (L@BAQ OKRESTNOSTX \LEMENTA

+1) SODERVIT WSE \LEMENTY POSLEDOWATELXNOSTI fxng, NA- ^INAQ S NEKOTOROGO, T. E. lim xn = +1

ESTX NEKOE DEJSTWITELXNOE ^ISLO x | ESLI MNO-

VESTWO TEH DEJSTWITELXNYH ^ISEL, SLEWA OT KOTORYH (NA ^I- SLOWOJ OSI) LEVIT BESKONE^NO MNOGO \LEMENTOW POSLEDOWA-

TELXNOSTI fxng, NEPUSTO I OGRANI^ENO SNIZU W \TOM SLU^AE

L@BOJ INTERWAL (x ;" x + ") | " OKRESTNOSTX ^ISLA x |

-

SODERVIT BESKONE^NO MNOGO \LEMENTOW POSLEDOWATELXNOSTI fxng, TOGDA KAK SLEWA OT L@BOGO TAKOGO INTERWALA IH MO- VET BYTX LI[X KONE^NOE ^ISLO (ILI NET SOWSEM) PO SUTI \TO OZNA^AET, ^TO ^ISLO x = lim xn ESTX NAIMENX[AQ IZ WSEH

NOSTX fxnkg, RASHODQ]AQSQ K ;1 ( lim xn = lim xnk = ;1) . wYWODY:

1. wERHNIJ I NIVNIJ PREDELY (WOZMOVNO, BESKONE^NYE)

IMEET L@BAQ POSLEDOWATELXNOSTX DEJSTWITELXNYH ^ISEL2.

2. wERHNIJ (SOOTWETSTWENNO, NIVNIJ) PREDEL POSLEDOWA- TELXNOSTI fxng (BUDX ON KONE^NYM ILI BESKONE^NYM) OBLA- DAET SLEDU@]IM SWOJSTWOM: L@BAQ EGO OKRESTNOSTX (NA ^I- SLOWOJ OSI) SODERVIT BESKONE^NO MNOGO \LEMENTOW \TOJ PO- SLEDOWATELXNOSTI, TOGDA KAK SPRAWA (SOOTWETSTWENNO, SLEWA) OT L@BOJ TAKOJ OKRESTNOSTI \TIH \LEMENTOW MOVET BYTX LI[X KONE^NOE ^ISLO (ILI NET SOWSEM).

1 iNA^E GOWORQ, \LEMENT ;1 ESTX BESKONE^NAQ PREDELXNAQ TO^KA (ILI BESKONE^NYJ ^ASTI^NYJ PREDEL) POSLEDOWATELXNOSTI fxng.

2 w TO WREMQ KAK PREDEL (KONE^NYJ ILI BESKONE^NYJ) SU]ESTWUET NE DLQ WSQKOJ POSLEDOWATELXNOSTI.

90

(pO SUTI \TO OZNA^AET, ^TO WERHNIJ I NIVNIJ PREDELY POSLEDOWATELXNOSTI QWLQ@TSQ SOOTWETSTWENNO NAIBOLX[IM

I NAIMENX[IM IZ EE ^ASTI^NYH PREDELOW.)

3. sU]ESTWOWANIE PREDELA (KONE^NOGO ILI BESKONE^NOGO)

DLQ POSLEDOWATELXNOSTI fxng DEJSTWITELXNYH ^ISEL RAWNO-

SILXNO SOWPADENI@ EE WERHNEGO I NIVNEGO PREDELOW, PRI \TOM lim xn = lim xn = limxn.

sLEDUET POD^ERKNUTX RAZLI^IE PONQTIJ WERHNEGO I NIV- NEGO PREDELOW POSLEDOWATELXNOSTI

WERHNEJ I TO^NOJ NIVNEJ GRANEJ MNOVESTWA EE \LEMENTOW

(KRATKO OBOZNA^AEMYH sup xn I inf xn)1. nAPRIMER:

pONQTIQ WERHNEGO I NIVNEGO PREDELOW POSLEDOWATELXNOSTI (HOTQ I BEZ UPOTREBLENIQ SAMIH \TIH TERMINOW) BYLI WWEDENY gAUSSOM W ZAMETKE NA S. 390{395 TOMA X EGO SOBRANIQ SO^INENIJ [40]. sOGLASNO EGO OPREDELENI@ (\KWIWALENTNOMU DANNOMU WY[E) WERHNIJ I NIVNIJ

lim xn OBOZNA^ENIQ WERHNEGO I NIVNEGO PREDELOW lim sup xn I lim inf xn.