Шведенко Начала математического анализа 2011

61

STAWLQ@T NABOR ZNA^ENIJ pi. oSTALXNYE TRI ^ISLA | \TO ZNA^ENIQ p;i.

iZWLEKATX KWADRATNYE KORNI IZ KOMPLEKSNYH ^ISEL MOVNO I NE PRIBEGAQ K IH POLQRNOJ ZAPISI, A NAPRQMU@ RE[AQ

DLQ DANNOGO KOMPLEKSNOGO ^ISLA a+ bi URAWNENIE z2 = a+ bi (ZAPISAW z = x+iy) KAK SISTEMU DWUH DEJSTWITELXNYH URAWNENIJ OTNOSITELXNO x I y.

^ENIQ KAK WSEGO NABORA KORNEJ n-J STEPENI IZ ^ISLA a, TAK I KAVDOGO IZ NIH W OTDELXNOSTI, IMEET NEUDOBSTWA, SWQZANNYE, W ^ASTNOSTI, S TEM, ^TO W RAMKAH SISTEMY DEJSTWITELXNYH ^ISEL SIMWOLOM pn a PRINQTO OBOZNA^ATX ARIFMETI^ESKIJ

(EDINSTWENNYJ POLOVITELXNYJ) KORENX STEPENI n IZ POLO-

VITELXNOGO ^ISLA a. nAIBOLEE RAZUMNYJ WYHOD | WSQKIJ RAZ SPECIALXNO OGOWARIWATX, ^TO W KONKRETNOM SLU^AE POD- RAZUMEWAETSQ POD \TIM SIMWOLOM1.

k PRIMERU, OB]EIZWESTNAQ FORMULA KORNEJ KWADRATNOGO URAWNENIQ ax2 + bx + c = 0 DOPUSKAET DWE ZAPISI:

PRI \TOM W RAMKAH SISTEMY DEJSTWITELXNYH ^ISEL PRIEM- LEMA LI[X ZAPISX SLEWA I TOLXKO PRI USLOWII b2 ;4ac > 0, A PRI DOPU]ENII MNIMYH KORNEJ PRIMENIMY OBE ZAPISI, ESLI S^ITATX, ^TO W ZAPISI SPRAWA RADIKAL IMEET DWA ZNA^ENIQ, A W ZAPISI SLEWA | KAKOE-LIBO ODNO IZ NIH.

1 oDIN IZ OSNOWOPOLOVNIKOW SOWREMENNOGO ANALIZA FRANCUZSKIJ MA-

TEMATIK kO[I (Cauchy Augustin-Louis, 1789{1857) W SWOEM ZNAMENITOM

\kURSE ANALIZA" [34] PREDLAGAL OBOJTI \TU TRUDNOSTX, ISPOLXZUQ ZA- PISX TIPA pa = pa, ODNAKO PODDERVKI W \TOM NE NA[EL.

63

II. Последовательности чисел

II.1. Что называют пределом числовой последовательности

Числовой последовательностью называют функцию натуральной1 переменной, принимающую числовые значения. Именно, говорят, что задана числовая последовательность2

{xn}, если каждому натуральному числу3 n сопоставлено некое число (действительное или мнимое), обозначаемое xn и называемое n-м элементом последовательности {xn}.

Вот фрагмент трактата 1800 г. французского математика Лакру´ (Lacroix Silvester Fran¸cois, 1765–1813): “Если, например, An = 3 + 2n, то беря последовательно n = 0, n = 1, n = 2, n = 3 и т. д., получили бы последовательность чисел 3, 5, 7, 9 и т. д.” 4

Имеются и такие варианты записи последовательности:

n →xn , n = 0, 1, 2, . . . ; {xn}+n=1∞; {xn}= xn1, xn1+1, . . . ;

постоянную последовательность c, c, . . . естественно обозначать {c} (не путая с одноэлементным множеством {c}).

Вместо xn в записи последовательности {xn} часто стоит указание вычислительных действий, которые надлежит совершить с числом n, чтобы получить n-й элемент после-

довательности. Например, у последовательности 1 1 n−

элемент x1 не определен, x2 = 1, x3 = 12 , . . . (или, если угодно, можно считать, что первый элемент последовательности отвечает значению n = 2, второй — значению n = 3 и т. д.).

1Вариант: целой неотрицательной.

2В дальнейшем для краткости просто последовательность.

“ Si l’on avoit, par exemple, An = 3+2n; en posant successivement n = 0, n =1, n =2, n =3, etc. on obtiendroit la suite des nombres 3, 5, 7, 9, etc.”

64

Число x называют пределом последовательности {xn}

(запись: lim xn = x)1, если истинно утверждение:

“ Для любого положительного числа, обозначаемого ε, существует такое натуральное число n0, что все элементы xn со значениями n > n0 попадают в ε-окрестность числа x, т. е. удовлетворяют неравенству |xn −x|< ε.”

Символически оно выражается формулой2

ε > 0 n0 n(n > n0 |xn −x|< ε) .

Из нее, в частности, следует, что если число ε > 0 брать сколь угод-

но малым, то натуральное число n0, для которого верно утверждениеn(n > n0 |xn−x|< ε), поневоле оказывается3 сколь угодно большим: если ε = |xm −x|, где xm — любой отличный от x элемент последова-

тельности {xn}, то неравенство |xn−x|< ε может выполняться для всех n > n0, лишь если n0 > m. Подчеркивая это обстоятельство, наряду с

Данное определение предела последовательности применимо к последовательностям {xn} как действительных ,

1 А также lim xn = x (особенно если существует зависимость xn

n→+∞

от других переменных, помимо n), {xn}→x и т. п.

2 На удобном для записи утверждений анализа “диалекте” языка

— языка логики первого порядка, предметными переменными в котором служат действительные числа. Все кванторы в этой формуле являются ограниченными: переменная ε принимает только положительные значения, а переменные n и n0 — только целые неотрицательные. Более подробную информацию касательно принципов

символической записи можно найти в Приложении I .

В случае последовательности {xn} действительных (но не комплексных) чисел эквивалентной формулой служит

µ ν(µ < x < ν n0 n(n > n0 µ < xn < ν))

(ее смысл: любой содержащий число x интервал содержит все элементы последовательности {xn} с достаточно большими “номерами”).

3 Если исключить нетипичный случай последовательности, все элементы которой, начиная с некоторого, равны числу x.

65

так и комплексных чисел (с записью их {zn} = {xn + iyn}). Различие лишь в геометрической трактовке неравенства |xn −x|< ε (а по сути ε-окрестности числа x). В “действительном” случае это неравенство означает, что элемент xn

попадает в интервал (x − ε, x + ε) действительной оси. В “комплексном“ же случае неравенство |zn −z|< ε выражает тот факт, что элемент zn = xn + iyn оказывается в круге радиуса ε с центром z = x+iy на комплексной плоскости, при этом lim zn = z в том и только в том случае, когда lim xn = x

и lim yn = y.

Последовательность, у которой есть предел, называют

сходящейся, а у которой нет предела — расходящейся. Символически сходимость последовательности {xn} вы-

ражается формулой

x ε > 0 n0 n(n > n0 |xn −x|< ε),

а ее расходимость — формулой, получаемой отрицанием :

x ε > 0 n0 n(n > n0 |xn −x| ε).

Примеры. 1. Постоянная последовательность {c}= c, c, . . .

является сходящейся (ее пределом служит число c).

Если для произвольно взятого положительного числа ε взять в качестве n0 любое натуральное число, превосходя-

1 Так же доказывается сходимость к нулю последовательностей

66

3. Последовательность {(−1)n} является расходящейся. Доказывается это проверкой истинности утверждения

x ε > 0 n0 n(n > n0 |(−1)n −x| ε).

Каким бы ни было число x, взяв ε = 21 , можно утверждать, что для любого целого числа n0 хотя бы одно из неравенств |(−1)n0+1 − x| < ε или |(−1)n0+2 − x| < ε не выполняется: в противном случае оказывалось бы, что

2 = |(−1)n0+1 −(−1)n0+2| |(−1)n0+1−x|+|x−(−1)n0+2|< 2ε = 1.

Общие свойства сходящихся последовательностей

1. Сходящаяся последовательность имеет единственный предел.

Доказательство. Если предположить, что x = lim xn и x = lim xn (x =x), то каково бы ни было положительное число ε, для всех достаточно больших “номеров” n должны были бы выполняться неравенства |xn −x|< ε и |xn −x|< ε, из которых следовало бы, что

|x −x| = |(x −xn) + (xn −x)| |x −xn|+ |xn −x| < 2ε, что невозможно при выборе ε |x−2 x| .

2. Сходимость последовательности не нарушается (и величина ее предела сохраняется) при любом изменении в последовательности (равно как при удалении из нее или добавлении к ней) конечного числа начальных элементов.

Доказательство. Изменить в последовательности {xn} несколько начальных элементов — значит перейти к последовательности {xn} с xn = xn для всех n, начиная с некоторого n1. Удалить же из нее (соответственно, добавить к ней) начальный элемент — значит перейти к последовательности {xn+1} (соответственно последовательности {xn−1}).

Пусть последовательность {xn} сходится к числу x, т. е. истинно утверждение, выражаемое формулой

69

ε > 0 n0 n(n > n0 |αn ±βn|< ε).

б) Пусть {cn} — ограниченная последовательность (т. е. существует такое положительное число h, что |cn| h для всех элементов этой последовательности) и пусть последовательность {αn} является бесконечно малой. Каково бы ни было положительное число ε, можно утверждать (поскольку lim αn = 0), что для положительного числа hε существует такое натуральное число n0, что |αn| < hε для всех n > n0. Как следствие, |cnαn|= |cn||αn|< h hε = ε для всех n > n0, т. е. истинным оказывается утверждение:

ε > 0 n0 n(n > n0 |cnαn|< ε).

Если {xn} и {yn} — сходящиеся последовательности, то последовательности {xn ±yn} и {xn yn} также сходятся и

lim(xn±yn) = lim xn±lim yn , а lim(xn yn) = (lim xn)(lim yn);

если к тому же lim yn =,0то сходящейся является и по-

следовательность xn , причем lim yn

Доказательство. Если последовательности {xn} и {yn} сходятся, имея пределами числа x и y , то последовательности {xn−x} и {yn−y} являются бесконечно малыми. В соответствии с установленными свойствами бесконечно малых последовательностей1 бесконечно малыми являются также последовательности

{(xn ±yn)−(x±y)} = {(xn −x)±(yn −y)}

и

{xn yn −xy} = {xn(yn −y)+(xn −x)y},

а следовательно, последовательности {xn±yn} и {xn yn} сходятся, причем

lim(xn ±yn) = lim xn ± lim yn и lim(xn yn) = (lim xn)(lim yn).

1С учетом ограниченности сходящихся последовательностей {xn}

и{y} (постоянной последовательности).