Шведенко Начала математического анализа 2011

11

ны находиться в неизменных, установленных определениями отношениях к образованным раньше и уже имеющимися налицо испытанным понятиям. ... каждое математическое понятие носит в самом себе необходимый корректив. Если оно неплодотворно или нецелесообразно, то это весьма скоро обнаруживается благодаря его полной непригодности, и тогда оно, за отсутствием успеха, отбрасывается.” ([9, с. 80]).

Говорить об опытной проверке математических теорий бессмысленно: математика занимается формально-логичес- кими, а не реально существующими связями, и прямого отношения к опытам не имеет. Проверке практикой подлежат не математические теории, а их приложения к объяснению (и предсказанию) реальных явлений.

Общая схема этого такова. Строится математическая модель изучаемого явления: реальные объекты и имеющиеся между ними отношения заменяются понятиями из уже существующей или специально создаваемой математической теории (выбор этих понятий и самой теории определяется эрудицией исследователя и его интуицией). Выводы теории сравнивают с результатами наблюдений. По степени их согласования судят не об истинности теории, а о ее пригодности для описания данного явления, т. е. об удачности (или неудачности) выбора математической модели.

Знакомый всем пример математической модели — это

трехмерное координатное пространство R3 как мыслимый образ окружающего физического пространства. Реальным предметам в этой модели соответствуют воображаемаые

геометрические объекты, описываемые через математические соотношения (уравнения, неравенства, их системы), связывающие три числовые переменные (традиционно обозначаемые x, y, z) — координаты в пространстве R3.

12

На какие общие понятия опирается анализ

Зарождение анализа как отдельного раздела математики связывают обычно с а) открытием К´еплером1 в 1609 г. законов движения планет, заставивших искать способы сокращения вычислений, и б) предпринятым Дек´артом2 в его “Геометрии” 1637 г. [8] переходом от чисто алгебраического обращения с уравнениями к изучению того, как входящие в них величины меняются с изменением одной из них.

Анализ3 в античной классификации доказательств означал доказательство от предположенного — в противовес синтезу4, подразумевавшему доказательство от начал; изначально же анализом называли размен монеты на более мелкие, а синтезом — обратную операцию

([53], с. 162–167).

В новое время моду на слова “анализ“ и “аналитический” ввел в

математику Ви´ет5 публикацией в 1591 г. руководства по алгебре “Введение в аналитическое искусство. Отдельное извлечение из сочинения по восстановленному математическому анализу, или новая алгебра” (“In artem analyticem isagoge. Seorsim excussa ab Opere restitutae Mathematicae Analyseos, Seu, Algebrˆa nuovˆa”). Виету не нравилось сарацинское слово “алгебра” (“аль-джебр”), и он хотел заменить его греческим “анализ”. В результате алгебра сохранила название, а “анали-

зом” (часто с добавлением слова “математический”) стали называть

новый предмет, возникший из алгебры и геометрии.

Предмет анализа — если выразить его двумя словами — это предельные переходы. Базируется же анализ на общематематических понятиях множества и функции.

1Kepler Johannes, 1571 – 1630, — немецкий астроном.

2Descartes (в латинском написании Cartesius) Ren´ (1596 – 1650) — французский математик и философ.

3Греч. αναλυσις´ — разрешение, развязывание.

4Греч. συνθεσις´ — сложение, соединение.

5Vi`ete (в латинском написании Vieta) Fran¸cois (1540 – 1603) — французский адвокат и математик; был на службе у Генриха III, а затем

Генриха IV, занимался, в частности, расшифровкой перехватываемых писем их врагов ([18]).

15

принадлежность (элемента множеству ), обозначаемая значком (с записью a A)1 ; отрицание принадлежности

обозначается значком / (a / A).

Считается, что каждое множество полностью определяется его (т. е. принадлежащими ему) элементами.

Перечисленные исходные понятия служат основой для формирования определяемых понятий теории множеств.

Пустому множеству (обозначаемому Ø) по определению не принадлежит ни один элемент.2

Множество A называют подмножеством множества

B, записывая это в виде A B (или B A)1, если любой

элемент, принадлeжащий множеству A, принадлежит и множеству B.3

Пересечение множеств A и B есть множество, обозначаемое A ∩ B, принадлежность которому какого-либо элемента равносильна его принадлежности обоим множествам A и B.4

Объединение множеств A и B есть множество, обозначаемое A B, принадлежность которому какого-либо элемента равносильна его принадлежности хотя бы одному из множеств A и B.4

Разность множеств A и B есть множество, обозначаемое A B, элементами которого являются те элементы множества A, которые не принадлежат множеству B.4

1Значки , , и произошли от предложенных итальянским ма-

тематиком Пе´ано (Peano Giuseppe, 1858–1932) обозначений по начальным буквам греч. εστ´ ι (есть) и фр. contient (содержит) ([51], с. 7).

2В символической записи (см. Приложение I ): x(x / Ø).

3x (x A) (x B) .

4x (x A∩B) (x A) (x B) ( — значок логического “и”);x (x A B) (x A) (x B) ( — значок логического “или”);

x (x A B) (x A) (x / B) .

16

Запись a=b означает, что один и тот же элемент обозначен разными буквами, a A=B — то, что A B и B A (т. е. множествам A и B принадлежат одни и те же элементы). Если A B, но A =B, то множество A называют

собственным подмножеством множества B.

На так называемых диаграммах В´енна (по имени английского логика Венна; Venn John, 1834 – 1923) множества условно изображаются фигурами на плоскости (обычно весьма незатейливыми, но при раз-

личных вариантах их взаимного расположения). Из этих диаграмм

видно, например, что (A B) B =A и (A B) B =A (хотя, разумеется, разглядывание картинок еще не есть доказательство).

Множество считается заданным, если установлено, какие элементы ему принадлежат, а какие нет.

Простейший способ задания множества — перечисление (если это возможно) всех принадлежащих ему элементов (при этом в их списке допускаются повторы). Например, запись X = {x} означает, что множество X состоит из единственного элемента x, a запись X = {x, y} — что X есть двухэлементное множество, состоящее из элементов x, y

(а возможно, одноэлементное, если y = x). Перечислением элементов могут быть заданы также некоторые бесконечные множества (например, множество натуральных чисел

N = {1, 1+1, 1+1+1, . . . }).

Более общий способ задания множества состоит в указании квалифицирующего свойства его элементов. Выражается это записью вида A={x | A(x)} (или A={x: A(x)}), где A(x) — формулировка некоего утверждения (свойства), которое выполняется (является истинным) в точности для тех элементов x, которые принадлежат множеству A.

На самом деле с этим способом задания множеств не все обстоит так просто. Например, если переменные элементы x являются множествами, а утверждение A(x) состоит в том, что множество x не содержит самое себя в качестве элемента (x / x), то z ={x | x / x} ока-

17

зывается “множеством” из антиномии Рассела (см. с. 14): если z z, то

z / z, а если z / z, то z z. Подробнее о том, всякий ли объект A = {x | A(x)} является множеством, можно прочитать в учебнике

А. Н. Колмогорова и А. Г. Драгалина [10] (с. 19–22). Здесь же следует

отметить, что подобного парадокса не возникает, если заранее оговорено, что переменный элемент x пробегает некоторое изначально заданное множество X (с записью этого как в примере 2 ниже).

Примеры. 1. {x | x5 − 3x3 + 2x = 0} = {−2, −1, 0, 1, 2}.

2. Запись {x X | A(x)} и {f(x) | A(x)} используется как сокращенная соответственно для {x | (x X) A(x)} и

{y | (y =f(x)) A(x)}.

3. Eсли x=y, то {x}, {x, y} и {x, x, y} — это одно и то же множество (с единственным элементом x); напротив, {x}, {x} и {x}, {{x}} — три разных множества.

4. Ø = {x | x =x}.

5. Mножество {Ø} (в отличие от Ø) не является пустым: ему принадлежит элемент “пустое множество".

Принадлежность элемента множеству (a A) и принадлежность множества множеству (B A) — это принципиально разные понятия (что и подчеркивается различием их обозначений): отношение подмножества к множеству есть отношение части к целому , тогда как отношение элемента к множеству таковым не является: не выполняется принцип “часть части целого сама есть часть этого целого” (например, x {x} и {x} {x} , но x / {x} )1. Выбор какого-либо элемента x из множества X фактически подразумевает выбор одноэлементного подмножества

{x} X .

1 Более наглядный пример: брюки являются элементом одежды, карман является элементом брюк , при этом карман не есть элемент

одежды.

18

Важно иметь в виду следующее. Понятие множества подразумевает лишь принадлежность ему его элементов, но не наличие между элементами множества каких-либо отношений (даже если таковые имеются). В тех же случаях, когда множество рассматривается вместе с теми или иными отношениями между его элементами, принято говорить о множестве с дополнительной структурой, называть его системой, пространством и т. п.

Важнейшие (с точки зрения математического анализа) примеры множеств с дополнительной структурой — это определяемые ниже система R действительных чисел и координатное пространство Rn.

Упорядоченные пары и декартовы произведения

Дек´артовым (или прямым) произведением двух непустых (но не обязательно различных) множеств X и Y (если Y = X , то Y считают вторым экземпляром множества X) называется множество, обозначаемое X × Y , элементами которого служат всевозможные упорядоченные пары (x, y), каждая из которых составлена из какого-либо элемента x множества X (первого элемента пары) и какого-либо элемента y множества Y (ее второго элемента). Определяющим свойством упорядоченных пар является следующий принцип их совпадения: (x, y) = (u, v) в том и только в том случае, когда одновременно u=x и v =y.

В аксиоматической теории множеств упорядоченную пару (x, y) элементов x и y определяют как множество, составленное из множеств {x} и {x, y}, т. е. по определению

несимметричность вхождения x и y отражает различие занимаемых ими мест в паре (x, y).

19

Данное определение упорядоченной пары1 не имеет более глубокого смысла, помимо того, чтобы обеспечить выполнение определяющего свойства упорядоченной пары: (x, y) = (u, v) в том и только в том

случае, когда x = u и y = v. Для проверки его выполнения следует

отдельно рассмотреть случаи x =y и x =y.

В первом случае соотношение (x, y) = (u, v) означает совпадение

ку одноэлементное множество не может совпадать с двухэлементным) последовательное выполнение соотношений: u =v, {x} = {u} и {x, y} = {u, v}. Из них, в свою очередь, следует, что x =u и y =v.

Беря за основу определение упорядоченной пары, можно дать определение упорядоченной тройки (x, y, z) элементов x X, y Y, z Z как упорядоченной пары (x, y), z . Cовокупность всех таких упорядоченных троек составляет

декартово произведение X ×Y ×Z множеств X, Y, Z.

Дальнейшие действия по этой же схеме приводят к понятию упорядоченного набора (x1, x2, . . . , xn) из n элементов x1 X1, x2 X2, . . . , xn Xn и, соответственно, декартова произведения X1 ×X2 × · · · ×Xn любых n (непустых) множеств X1, X2, . . . , Xn.

А именно, после того, как уже определены понятия упорядоченого набора (x1, . . . , xn−1) из n −1 элементов и декартова произведения X1×· · ·×Xn−1, упорядоченный набор (x1, . . . , xn−1, xn) из n элементов

и декартово произведение X1×· · ·×Xn определяются, соответственно,

Идея декартова произведения (как это и отражено в названии) восходит к Дек´арту, хотя он “всего лишь” первым начал (в своей “Гео-

1 Предложенное польским математиком Куратовским (Kuratowski Kazimiez, 1896 – 1980) в 1921 г. в его статье в Fundam. Math., v. 2, p. 171.

20

метрии” [38], впервые изданной в 1637 г.) определять положение точки на плоскости парой чисел — ее расстояниями от двух пересекающихся прямых (называть их координатами точки стали позже), что позволило задавать линии на плоскости не только их геометрическим построением (как до Декарта), но и посредством уравнений, связывающих указанные расстояния.

Конструкция декартова произведения не только стала основой координатного метода изучения геометрических фигур (получившего название аналитической геометрии), но и позволила выразить понятия функции и отношения.

Функции

Беря за основу понятие декартова произведения X ×Y

множеств X и Y , под заданием функции y = f(x) переменного элемента x X , значениями которой являются

переменные элементы y Y , понимают1 задание непустого

подмножества f X ×Y со свойством:

если (x, y1) f и (x, y2) f , то y1 =y2;2

само подмножество f X×Y называют при этом графиком функции y =f(x) с записью его элементов в виде x, f(x) .

Из данного определения функции y = f (x) переменного элемента

x X не следует, что x непременно пробегает все множество X . В случае, когда X есть множество действительных (или комплексных ) чисел (о которых ниже в 1.1, 1.3), переменный элемент x X называют переменной (сокращение от переменная величина3).

Первые элементы упорядоченных пар (x, y) f вместе составляют подмножество Xf X, называемое множеством

1 Следуя определению функции, данному итальянским математиком Пе´ано в 1911 г. в его заметке в Atti Reale Accad. Lincei, t. XX, p. 5.

2 Его смысл: вторые элементы упорядоченных пар (x, y) f однозначно определяются их первыми элементами. Выражением этого