Шведенко Начала математического анализа 2011

41

oGRANI^ENNOSTX MNOVESTWA X PODRAZUMEWAET EGO OGRA-

NI^ENNOSTX I SNIZU, I SWERHU: 9a9b8x(x2X ) a6x6b)1. nAIMENX[U@ IZ WERHNIH GRANIC MNOVESTWA X (ESLI TA-

KOWAQ SU]ESTWUET) NAZYWA@T TO^NOJ WERHNEJ GRANX@2 MNO-

VESTWA X (OBOZNA^ENIE x=supX)3:

def 4

x = supX () 8x(x2X ) x6x) ^8">09x(x2X ^x>x;") (SMYSL POSLEDNEJ FORMULY TAKOW: ^ISLO x QWLQETSQ WERHNEJ

GRANICEJ MNOVESTWA X ,

nAIBOLX[U@ IZ NIVNIH GRANIC MNOVESTWA X (ESLI TA-

KOWAQ SU]ESTWUET) NAZYWA@T TO^NOJ NIVNEJ GRANX@5 MNO-

VESTWA X (OBOZNA^ENIE x=infX)3:

4 def OZNA^AET \KWIWALENTNO PO OPREDELENI@ LAT

() \ " ( . de nitio

OPREDELENIE).

5 iLI TO^NOJ NIVNEJ GRANICEJ.

42

tEOREMA SU]ESTWOWANIQ TO^NYH GRANEJ1. eSLI MNO-

VESTWO X NEPUSTO I OGRANI^ENO SWERHU, TO SU]ESTWUET ^IS-

LO x = supX. eSLI VE MNOVESTWO X SNIZU, TO SU]ESTWUET ^ISLO x = infX.

dOKAZATELXSTWO. pUSTX MNOVESTWO X NEPUSTO I OGRA- NI^ENO SWERHU I PUSTX B OBOZNA^AET MNOVESTWO WSEH WERH- NIH GRANIC MNOVESTWA X, A A | MNOVESTWO WSEH OSTALXNYH DEJSTWITELXNYH ^ISEL (T. E. NE QWLQ@]IHSQ WERHNIMI GRA-

NICAMI MNOVESTWA X ). oBA MNOVESTWA A I B NEPUSTY2, I L@BOJ \LEMENT a 2 A MENX[E L@BOGO \LEMENTA b 2 B (TAK KAK a < x DLQ NEKOTOROGO \LEMENTA x 2 X, TOGDA KAK x 6 b DLQ L@BOGO \LEMENTA b 2 B). w SILU AKSIOMY a10 LIBO W MNOVESTWE A ESTX NAIBOLX[IJ \LEMENT, LIBO W MNOVESTWE

B ESTX NAIMENX[IJ.

POTOMU I NERAWENSTWA a < 2 (a + x) < x WSLEDSTWIE WTOROGO

12(a +x) 2A, A W SILU PERWOGO 12 (a +x) 2=A | PROTIWORE^IE. wYPOLNQETSQ PO\TOMU WTOROJ WARIANT: W MNOVESTWE B

ESTX NAIMENX[IJ \LEMENT. Q.E.D.

1 pERWYM WNQTNU@ FORMULIROWKU I DOKAZATELXSTWO \TOJ TEOREMY DAL ^E[SKIJ MATEMATIK bOLXCANO W x12 SWOEJ ZNAMENITOJ RABOTY

1817 G. S GOWORQ]IM NAZWANIEM \Rein analytischer Beweis des Lehrsatzes, dass zwischen je zwei Werten, die ein entgegengesetztes Resultat gewaren, wenigstens eine reelle Wurzel der Gleichung liege". (eE PEREWOD NA RUSS-

KIJ \~ISTO ANALITI^ESKOE DOKAZATELXSTWO TEOREMY, ^TO MEVDU L@BY- MI DWUMQ ZNA^ENIQMI, DA@]IMI REZULXTATY PROTIWOPOLOVNOGO ZNAKA, LEVIT PO MENX[EJ MERE ODIN DEJSTWITELXNYJ KORENX URAWNENIQ" MOV- NO NAJTI W KNIGE |. kOLXMANA [11]).

2 mNOVESTWO B | WWIDU OGRANI^ENNOSTI SWERHU MNOVESTWA X , A MNOVESTWO A | WWIDU NEPUSTOTY MNOVESTWA X (ESLI x2X, TO L@BOE ^ISLO, MENX[EE x, PRINADLEVIT MNOVESTWU A).

43

pONQTIQ TO^NYH WERHNEJ I NIVNEJ GRANEJ DOPUSKA@T RASPROSTRANENIE NA NEOGRANI^ENNYE MNOVESTWA X R (I

PUSTOE MNOVESTWO), ESLI PEREJTI K RAS[IRENNOJ SISTEME DEJSTWITELXNYH ^ISEL, PRISOEDINIW K SISTEME R DWA NE-

SOBSTWENNYH (NE WHODQ]IH W NEE) \LEMENTA | BESKONE^NO

mNOVESTWO X R, SODERVA]EE BOLEE ODNOJ TO^KI, NA- ZYWAETSQ PROMEVUTKOM, ESLI S L@BYMI DWUMQ TO^KAMI ONO SODERVIT I WSE TO^KI, PROMEVUTO^NYE MEVDU NIMI:

44

pERE^ISLENNYMI WIDAMI MNOVESTW X R IS^ERPYWA@TSQ WSE PROMEVUTKI.

dOKAZATELXSTWO. pUSTX PROMEVUTOK X OGRANI^EN SNIZU I SWERHU

I PUSTX a = infX , A b = supX. tOGDA ESLI a 2X I b2X , TO X = [a b] ESLI VE (NAPRIMER) a 2 X, A b 2= X , TO X = [a b)2. eSLI PROMEVUTOK

X NE OGRANI^EN SNIZU I SWERHU, TO, KAKOWO BY NI BYLO ^ISLO x 2 R,

SU]ESTWU@T ^ISLO x1 2 X , MENX[EE x, I ^ISLO x2 2 X , BOLX[EE x, W

SILU ^EGO I x2X, TAK ^TO X = R. rAZBOR SLU^AEW, KOGDA PROMEVUTOK X NE OGRANI^EN SWERHU ILI SNIZU PROWODITSQ PO \TOJ VE SHEME.

pRINCIP WLOVENNYH OTREZKOW. eSLI KAVDOMU NA-

TURALXNOMU ^ISLU n SOOTWETSTWUET NEKIJ OTREZOK [an bn]

w \TOM SLU^AE GOWORQT, ^TO ZADANA POSLEDOWATELXNOSTX WLOVEN- NYH OTREZKOW: KAVDYJ POSLEDU@]IJ QWLQETSQ ^ASTX@ PREDYDU]EGO.

45

an 6an+k <bn+k 6bk PRI L@BYH n k = 1 2 : : : ,

MNOVESTWO A OGRANI^ENO SWERHU.1 pO TEOREME O SU]ESTWO-

WANII TO^NYH GRANEJ (SM. S. 42) SU]ESTWUET DEJSTWITELXNOE ^ISLO c, QWLQ@]EESQ NAIMENX[EJ SREDI WSEH WERHNIH GRANIC MNOVESTWA A, TAK ^TO DLQ NEGO WYPOLNQ@TSQ I NERAWENSTWA an 6 c n = 1 2 : : : , I NERAWENSTWA c 6 bk k = 1 2 : : : , ILI,

^TO TO VE SAMOE, an 6c 6bn n= 1 2 : : : Q.E.D.

nA POSLEDOWATELXNOSTI PROMEVUTKOW, OTLI^NYH OT OTREZKOW, DO- KAZANNOE UTWERVDENIE NE RASPROSTRANQETSQ. nAPRIMER, NE SU]ESTWU-

ET ^ISLA x, PRINADLEVA]EGO KAVDOMU IZ POSLEDOWATELXNOSTI WLOVEN-

NYH POLUINTERWALOW (0 1] ;0 12 ;0 13 ;0 n1 2 (RAWNO KAK I WLOVENNYH LU^EJ [1 +1) [2 +1) [n +1) ).

s^ETNYE I NES^ETNYE MNOVESTWA.

mNOVESTWO X , SODERVA]EE BESKONE^NOE ^ISLO \LEMEN- TOW, NAZYWA@T S^ETNYM, ESLI WSE EGO \LEMENTY MOVNO PRED-

STAWITX W WIDE POSLEDOWATELXNOSTI x1 x2 : : : xn : : : 3 W PROTIWNOM SLU^AE (ESLI TAKOE PREDSTAWLENIE NEWOZMOVNO) MNOVESTWO X NAZYWA@T NES^ETNYM.

gOWORQ INA^E, S^ETNOSTX BESKONE^NOGO MNOVESTWA X | \TO WOZMOVNOSTX EGO IS^ERPANIQ POSREDSTWOM SOPOSTAWLENIQ (KAKIM-LIBO SPOSOBOM) KAVDOMU NATURALXNOMU ^ISLU n NE- KOEGO \LEMENTA MNOVESTWA X TAK, ^TOBY KAVDYJ \LEMENT x 2 X OKAZALSQ SOPOSTAWLENNYM4 NEKOTOROMU ^ISLU n 2 N NES^ETNOSTX VE MNOVESTWA X , NAPROTIW, OZNA^AET NEWOZ- MOVNOSTX TAKOGO IS^ERPANIQ.

1 pRI L@BOM k ^ISLO bk SLUVIT WERHNEJ GRANICEJ \TOGO MNOVESTWA.

4 w FORMULXNOJ ZAPISI: 8x;x 2 X )9n(x = xn) .

pRI VELANII \TO SOPOSTAWLENIE MOVNO SDELATX WZAIMNO-

ODNOZNA^NYM (KOGDA RAZNYM n 2 N SOOTWETSTWU@T RAZNYE x 2X).

46

k PRIMERU, MNOVESTWO RACIONALXNYH ^ISEL IZ OTREZKA [0 1] S^ETNO: PREDSTAWITX WSE RACIONALXNYE ^ISLA r 2[0 1] W WIDE ODNOJ POSLEDOWATELXNOSTI MOVNO, RASPOLOVIW IH (NAPRIMER) W TAKOM PORQDKE:

L@BOE RACIONALXNOE ^ISLO r 2 [0 1] OKAZYWAETSQ PRI \TOM SOPOSTAWLENNYM NEKOTOROMU NATURALXNOMU ^ISLU | NOMERU IZOBRAVA@]EJ \TO ^ISLO DROBI W \TOM SPISKE.1

mNOVESTWO DEJSTWITELXNYH ^ISEL OTREZKA [0 1] NES^ETNO: NE SU]ESTWUET POSLEDOWATELXNOSTI fxng, IME@]EJ SWOIMI \LEMENTAMI WSE ^ISLA \TOGO OTREZKA.

dOKAZATELXSTWO. pUSTX (WOPREKI UTWERVDENI@ TEOREMY) SU]ESTWUET POSLEDOWATELXNOSTX fxng= x1 x2 : : : xn : : : , SREDI \LEMENTOW KOTOROJ SODERVATSQ WSE ^ISLA OTREZKA [0 1]. eSLI OTREZOK [0 1] RAZDELITX (PROIZWOLXNO) NA TRI OTREZKA, TO PO KRAJNEJ MERE ODIN IZ \TIH TREH OTREZKOW NE BUDET SO- DERVATX ^ISLA x1. eSLI \TOT OTREZOK (OBOZNA^IW EGO [a1 b1]) W SWO@ O^EREDX RAZDELITX NA TRI OTREZKA, TO PO KRAJNEJ ME- RE ODIN IZ POLU^ENNYH TREH OTREZKOW (OBOZNA^AEMYJ [a2 b2]) NE BUDET SODERVATX ^ISLA x2 . dALEE NA TRI ^ASTI DELITSQ OTREZOK [a2 b2] I T. D. w REZULXTATE WOZNIKNET POSLEDOWA-

TELXNOSTX WLOVENNYH OTREZKOW

x, PRINADLEVA]EE WSEM OTREZKAM [0 1] [a1 b1] [a2 b2] : : :

1 ~TOBY \TO SOPOSTAWLENIE OKAZYWALOSX WZAIMNO-ODNOZNA^NYM, T. E. KAVDOE RACIONALXNOE ^ISLO r 2 [0 1] SOOTWETSTWOWALO EDINSTWENNOMU NATURALXNOMU ^ISLU (POLU^ILO EDINSTWENNYJ \NOMER"), SLEDUET UDA- LITX IZ \TOGO SPISKA WSE TE DROBI, ^ISLITELX I ZNAMENATELX KOTORYH DOPUSKA@T SOKRA]ENIE.

47

W ^ASTNOSTI, x = xn0 (TAK KAK x 2 [0 1]) PRI NEKOTOROM NA-

TURALXNOM n0 , I ISTINNYMI OKAZYWA@TSQ NESOWMESTIMYE

UTWERVDENIQ: \x 2 [an bn] PRI WSEH n" I \x 2= [an0 bn0 ]". pREDPOLOVENIE O WOZMOVNOSTI PREDSTAWITX WSE ^ISLA OT- REZKA [0 1] W WIDE ODNOJ POSLEDOWATELXNOSTI QWLQETSQ PO\-

TOMU LOVNYM. Q.E.D.

nES^ETNOSTX MNOVESTWA WSEH DEJSTWITELXNYH ^ISEL OT-

REZKA W SO^ETANII SO S^ETNOSTX@ MNOVESTWA WSEH RA- CIONALXNYH ^ISEL \TOGO OTREZKA SWIDETELXSTWUET NE TOLXKO O SU]ESTWOWANII ^ISEL IRRACIONALXNYH, NO I O TOM, ^TO ONI SAMI OBRAZU@T NES^ETNOE MNOVESTWO1, I IH W \TOM SMYSLE

\BOLX[E", ^EM RACIONALXNYH.

sOPOSTAWLQQ \TOT FAKT SO SLEDU@]IMI DWUMQ UTWERV- DENIQMI, MOVNO UBEDITXSQ, ^TO PRIWY^NYE PREDSTAWLENIQ, WYRABOTANNYE POWSEDNEWNYM OBRA]ENIEM S KONE^NYMI MNO- VESTWAMI (SODERVA]IMI LI[X KONE^NOE ^ISLO \LEMENTOW) NE WSEGDA SOWMESTIMY SO SWOJSTWAMI BESKONE^NYH MNOVESTW:

1.mEVDU L@BYMI DWUMQ RACIONALXNYMI ^ISLAMI ESTX IR-

RACIONALXNOE ^ISLO.

2.mEVDU L@BYMI DWUMQ IRRACIONALXNYMI ^ISLAMI ESTX

RACIONALXNOE ^ISLO.

dOKAZATELXSTWA. 1. pUSTX r1 I r2 (r1 <r2) | L@BYE DWA

RACIONALXNYH ^ISLA, A | L@BOE PRINADLEVA]EE OTREZKU [0 1] IRRACIONALXNOE ^ISLO2. w SILU AKSIOMY A9 (SM. S. 29)

1 eSLI BY WSE IRRACIONALXNYE ^ISLA OTREZKA [0 1] DOPUSKALI RAS- POLOVENIE W ODNU POSLEDOWATELXNOSTX q1 q2 : : : , TO S U^ETOM WOZMOV- NOSTI RASPOLOVENIQ W ODNU POSLEDOWATELXNOSTX r1 r2 : : : WSEH RACIO- NALXNYH ^ISEL \TOGO OTREZKA OTKRYWALASX BY WOZMOVNOSTX RASPOLO- VENIQ W ODNU POSLEDOWATELXNOSTX (NAPRIMER, r1 q1 r2 q2 : : : ) WSEH DEJSTWITELXNYH ^ISEL OTREZKA [0 1], ^TO PO TOLXKO ^TO DOKAZANNOMU NEWOZMOVNO.

2 nAPRIMER, p12 .

48

^ISLO = r1+ n UDOWLETWORQET NERAWENSTWAM r1 < < r2 I RACIONALXNYM (T. E. PREDSTAWIMYM W WIDE OTNO[ENIQ DWUH

CELYH ^ISEL) NE QWLQETSQ: W PROTIWNOM SLU^AE RACIONALX-

NYM OKAZYWALOSX BY I ^ISLO = ( ;r1)n.

2. pUSTX 1 I 2 ( 1 < 2) | L@BYE DWA IRRACIONALXNYH

^ISEL n I m OBESPE^IWAET AKSIOMA A9)1. eSLI OBA ^ISLA

1 2 OTRICATELXNY, TO PROMEVUTO^NYM MEVDU NIMI RA- CIONALXNYM ^ISLOM QWLQETSQ ^ISLO, PROTIWOPOLOVNOE RA- CIONALXNOMU ^ISLU, PROMEVUTO^NOMU MEVDU POLOVITELX-

NYMI IRRACIONALXNYMI ^ISLAMI ; 2 I ; 1 (; 2 <; 1). eSLI VE 1 <0 < 2, TO RACIONALXNYM ^ISLOM, PROMEVUTO^- NYM MEVDU 1 I 2, QWLQETSQ NULX. Q.E.D.

wOT PRQMOE SLEDSTWIE DOKAZANNYH UTWERVDENIJ.

mEVDU L@BYMI DEJSTWITELXNYMI ^ISLAMI a b (a < b)

ESTX KAK RACIONALXNOE, TAK I IRRACIONALXNOE ^ISLO.

dOKAZATELXSTWO. eSLI a I b | RACIONALXNYE ^ISLA, TO MEVDU NI- MI LEVIT NEKOTOROE IRRACIONALXNOE ^ISLO (UTWERVDENIE 1) I RACIO-

NALXNOE ^ISLO a+2 b . eSLI a I b | IRRACIONALXNYE ^ISLA, TO MEVDU NIMI LEVIT NEKOTOROE RACIONALXNOE ^ISLO r (UTWERVDENIE 2) I IRRA-

CIONALXNOE ^ISLO a+2 r . eSLI VE ODNO IZ \TIH ^ISEL RACIONALXNOE, A DRUGOE IRRACIONALXNOE, TO MEVDU NIMI LEVIT IRRACIONALXNOE ^ISLO

a+2 b I RACIONALXNOE, IME@]EESQ (W SILU UTWERVDENIQ 2) MEVDU a+2 b

I IRRACIONALXNYM IZ ^ISEL a I b. Q.E.D.

1 tAK KAK m;16n 1 <m, ODNOWREMENNO WYPOLNQ@TSQ NERAWENSTWA

1 < mn 6 1+ n1 < 2.

49

I.3. kAK WOZNIKLA I SLOVILASX

SISTEMA KOMPLEKSNYH ^ISEL

nEOBHODIMOSTX RAS[IRITX SISTEMU DEJSTWITELXNYH ^I-

SEL, DOBAWLQQ K NEJ MNIMYE (S OBRAZOWANIEM W REZULXTATE SISTEMY KOMPLEKSNYH ^ISEL) PROQWILASX W XVI W. W SWQZI SO STRANNOJ SITUACIEJ, WOZNIKA@]EJ PRI WY^ISLENII KOR-

NEJ NEPOLNOGO KUBI^ESKOGO URAWNENIQ x3 + px+ q = 0 PO TAK NAZYWAEMOJ FORMULE kARDANO, IME@]EJ (W SOWREMENNOJ ZA- PISI) WID

nEPOLNOE KUBI^ESKOE URAWNENIE x3 + px + q = 0 (K KOTOROMU POL- NOE KUBI^ESKOE URAWNENIE x3 + ax2 + bx + d = 0 SWODITSQ PRINQTIEM x+a3 ZA NOWU@ PEREMENNU@) WOZNIKAET, NAPRIMER, PRI RE[ENII ZADA^I TRISEKCII UGLA ([27], [38]). wOT PO^TI DOSLOWNYJ PEREWOD RASSUVDE- NIJ dEKARTA NA S. 75{76) EGO \gEOMETRII" [38] (NA RIS. 2 WOSPROIZWEDEN FRAGMENT RISUNKA dEKARTA):

\pRI VELANII RAZDELITX UGOL NOP , ILI DUGU OKRUVNOSTI NQP T , NA TRI RAWNYE ^ASTI, IMEQ RADIUS OKRUVNOSTI NO = 1, HORDU DUGI NP = q I HORDU TRETI DUGI NQ =z, PRIHODQT K URAWNENI@ z3 = 3z;q .

tAK KAK, PROWEDQ PRQMYE NQ OQ OT I PRQMU@ QS, PARALLELX- NU@ T O, MOVNO ZAMETITX, ^TO NO TA K VE OTNOSITSQ K NQ, KAK NQ K

QR I QR K RS POSKOLXKU NO = 1, A NQ =z , TO QR = z2, A RS = z3

PO PRI^INE VE, ^TO NP NE HWATAET RS, T. E. z3, ^TOBY BYTX WTROE BOLX[E, ^EM NQ, POLU^AETSQ: q = 3z;z3, ILI z3 = 3z ;q".

pRIWODQ]IJ K WY[EPRIWEDENNOJ \FORMULE kARDANO" SPOSOB RE[ENIQ KUBI^ESKIH URAWNENIJ PERWYM NA[EL (NO SOHRANIL W SEKRETE) W SAMOM NA^ALE XVI W. ITALXQNSKIJ MATEMATIK DELX fERRO1 (DO NEGO TAKIE URAWNENIQ S^ITALISX \NERE[AEMYMI"). w 1535 G. SPOSOB DELX fERRO PEREOTKRYL DRUGOJ ITALXQNSKIJ

1 Del Ferro Scipion (1465{1526).

50

MATEMATIK | tARTALXQ1. sTIMULOM DLQ NEGO POSLUVILO VELA- NIE POBEDITX (^TO I PROIZO[LO) U^ENIKA I OBLADATELQ SEKRETA DELX fERRO W MATEMATI^ESKOM POEDINKE, KOTORYE NEREDKO PRO- WODILISX W EWROPEJSKIH UNIWERSITETAH I IMELI PRIQTNYE PO- SLEDSTWIQ DLQ POBEDITELEJ2. nAJDENNYJ SPOSOB tARTALXQ, POD- DAW[ISX UGOWORAM I KLQTWE SOHRANITX SPOSOB W TAJNE, SOOB]IL (W FORME STIHOTWORENIQ) SWOEMU SOOTE^ESTWENNIKU kARDANO3, KO- TORYJ, NARU[IW OBE]ANIE, IZLOVIL SOOB]ENNYJ EMU SPOSOB (NE PRIPISYWAQ EGO SEBE, A KORREKTNO NAZYWAQ AWTOROM tARTALX@) W SWOEM ZNAMENITOM TRAKTATE 1545 G. \wELIKOE ISKUSSTWO" (\Ars magna"). zABAWNYE PODROBNOSTI \TOJ ISTORII I SUDEB EE GEROEW MOVNO NAJTI W KNIGE [49], A WYWOD FORMULY kARDANO S PODROB- NYM KOMMENTARIEM K EE PRIMENENI@ | W KNIGAH [18] I [27].

rIS. 2

1 Tartaglia Nicolo (1500{1557). Tartaglia (PO IT. ZAIKA) | NE NASTOQ-

]EE EGO IMQ, A PROZWI]E IZ-ZA DEFEKTA RE^I WSLEDSTWIE UWE^XQ, KOTOROE EMU, E]E [ESTILETNEMU MALX^IKU, NANES HRABRYJ FRANCUZSKIJ SOLDAT.

2 vELANIEM POBEVDATX W \TIH POEDINKAH I OB_QSNQETSQ RASPROSTRA- NENNYJ SREDI MATEMATIKOW TOGO WREMENI OBY^AJ HRANITX SWOI OTKRY- TIQ W TAJNE.

3 Cardano Gerolamo (1501{1576) | ITALXQNSKIJ MATEMATIK, WRA^,

IZOBRETATELX (\KARDANNYJ WAL") PO^ITATX O NEM MOVNO W [18] I [49].