Шведенко Начала математического анализа 2011

RYWNOJ W TO^KAH a I b \TOGO OTREZKA (W KOTORYH ONA QWLQ-

ETSQ NEPRERYWNOJ TOLXKO SPRAWA ILI TOLXKO SLEWA).

I OZNA^A@]EGO, ^TO W L@BOJ TO^KE MNOVESTWA X FUNKCIQ IMEET PRE-

DEL, RAWNYJ EE ZNA^ENI@ W \TOJ TO^KE (SM. S. 107{108).

3 iSKL@^ENIE SOSTAWLQET SLU^AJ OTKRYTOGO MNOVESTWA X (U KO- TOROGO KAVDAQ TO^KA QWLQETSQ WNUTRENNEJ, T.E. IMEET OKRESTNOSTX, PRINADLEVA]U@ \TOMU MNOVESTWU): DLQ L@BOJ TO^KI xe TAKOGO MNOVES- TWA (I DOSTATO^NO MALOGO POLOVITELXNOGO ^ISLA ) WYPOLNENIE USLO-

WIQ xe2X^jx;xej< WLE^ET WYPOLNENIE USLOWIQ xe2X^x2X^jx;xej< , TAK ^TO FORMULA ( ) OKAZYWAETSQ SLEDSTWIEM FORMULY ( ).

142

def (1 ESLI x ; RACIONALXNOE ^ISLO

2. fUNKCIQ '(x) =

0 ESLI x ; IRRACIONALXNOE ^ISLO QWLQETSQ NEPRERYWNOJ NA MNOVESTWE Q WSEH RACIONALXNYH ^ISEL, NE QWLQQSX PRI \TOM NEPRERYWNOJ NI W ODNOJ TO^KE \TOGO MNOVESTWA1.

3. fUNKCI@ y = f(x), OPREDELENNU@ W ODNOJ LI[X TO^KE xe 2 R, SLEDUET S^ITATX NEPRERYWNOJ NA ODNO\LEMENTNOM MNOVESTWE X = fxeg (POSKOLXKU UTWERVDENIE

8xe8">09 >08x;xe2X ^x2X ^jx;xej< )jf(x);f(xe)j<"

DLQ DANNOJ FUNKCII I DANNOGO MNOVESTWA ISTINNO), GOWO-

RITX VE O NEPRERYWNOSTI \TOJ FUNKCII W TO^KE x (T. E.

sTOIT OTMETITX, ^TO I ^E[SKIJ MATEMATIK bOLXCANO (W UVE UPOMINAW[EJSQ NA S. 42 RABOTE 1817 G. | PERWOJ, GDE DANO SOWREMENNOE OPREDELENIE NEPRERYWNOSTI FUNKCII), I FRANCUZSKIJ MATEMATIK kO- [I (W WY[ED[EM W 1821 G.\kURSE ANALIZA" [34]) OPREDELQLI NEPRE-

RYWNOSTX FUNKCII ISKL@^ITELXNO NA OTKRYTYH PROMEVUTKAH (KOG-

DA NESTYKOWOK TIPA OTME^ENNYH W PREDYDU]IH PRIMERAH NE WOZNIKAET). wOT ^TO MOVNO PRO^ITATX W RUSSKOM PEREWODE UPOMQNUTOJ RA-

BOTY bOLXCANO ([11], S. 174{175): \sOGLASNO PRAWILXNOMU OB_QSNENI@

PONIMA@T POD WYRAVENIEM, ^TO FUNKCIQ f (x) IZMENQETSQ PO ZAKO-

NU NEPRERYWNOSTI DLQ WSEH ZNA^ENIJ x, KOTORYE LEVAT WNUTRI ILI WNE IZWESTNYH GRANIC, LI[X TO, ^TO ESLI x KAKOE-NIBUDX IZ \TIH ZNA^ENIJ, TO RAZNOSTX f(x+!);f(x) MOVET BYTX SDELANA MENX[E, ^EM L@BAQ ZADANNAQ WELI^INA, ESLI MOVNO PRINQTX ! STOLX MALYM, SKOLXKO MY HOTIM":

1 pERWOE IZ SLEDU@]IH DWUH UTWERVDENIJ ISTINNO, A WTOROE LOVNO:

143

sOPOSTAWLQQ OPREDELENIQ NEPRERYWNOSTI FUNKCII1: A) W

TO^KE (SM. S. 107), B) W TO^KE SLEWA ILI SPRAWA (SM. S. 126),

W) NA MNOVESTWE (SM. S. 140), MOVNO SDELATX PROSTOJ, NO WAVNYJ WYWOD:

fUNKCIQ y = f(x) QWLQETSQ NEPRERYWNOJ NA PROMEVUTKE

I TOGDA I TOLXKO TOGDA, KOGDA \TA FUNKCIQ:

A) NEPRERYWNA W L@BOJ WNUTRENNEJ TO^KE PROMEVUTKA I, B) NEPRERYWNA SPRAWA W LEWOJ KONCEWOJ I NEPRERYWNA SLE-

WA W PRAWOJ KONCEWOJ TO^KAH \TOGO PROMEVUTKA2. w ^ASTNOSTI:

nEPRERYWNOSTX FUNKCII NA OTKRYTOM PROMEVUTKE (KO-

NE^NOM ILI BESKONE^NOM)3 | \TO TO VE SAMOE, ^TO EE NE-

PRERYWNOSTX W KAVDOJ TO^KE \TOGO PROMEVUTKA.

nEPRERYWNOSTX FUNKCII NA OTREZKE [a b] ESTX EE NEPRE- RYWNOSTX W KAVDOJ TO^KE INTERWALA (a b), NEPRERYW- NOSTX SPRAWA W TO^KE a I SLEWA W TO^KE b.

iZ SOPOSTAWLENIQ VE OPREDELENIJ NEPRERYWNOSTI FUNKCII NA MNO-

VESTWE (SM. S. 140) I PREDELA FUNKCII W TO^KE PO MNOVESTWU (SM.

S. 130) WYTEKAET SLEDU@]EE UTWERVDENIE (^ASTNYMI SLU^AQMI KOTORO- GO QWLQ@TSQ DWA PREDYDU]IH):

fUNKCIQ y = f(x) QWLQETSQ NEPRERYWNOJ NA MNOVESTWE X TOGDA I TOLXKO TOGDA, KOGDA W L@BOJ NEIZOLIROWANNOJ TO^KE x \TOGO MNOVES-

TWA4 WYPOLNQETSQ SOOTNO[ENIE lim f(z) = f(x).

X3z!x

dLQ FUNKCIJ, NEPRERYWNYH NA KAKOM-LIBO MNOVESTWE5 X, SPRAWEDLIWO SLEDU@]EE UTWERVDENIE, ANALOGI^NOE DOKA- ZANNOMU NA S. 114 DLQ FUNKCIJ, NEPRERYWNYH W TO^KE.

1 dEJSTWITELXNOJ PEREMENNOJ.

2 w SLU^AQH WHOVDENIQ ODNOJ ILI OBEIH \TIH TO^EK W PROMEVUTOK I.

3 t. E. PROMEVUTKE WIDA (a b), GDE ;1 6a < b 6+1.

4 t. E. TO^KE, PRINADLEVA]EJ MNOVESTWU X I QWLQ@]EJSQ PREDELXNOJ DLQ \TOGO MNOVESTWA: x2X ^8 >09z(0< jz ;xj< ^z 2X).

5 dEJSTWITELXNOJ OSI ILI KOMPLEKSNOJ PLOSKOSTI.

145

III.8. kAKIE SWOJSTWA IME@T FUNKCII, NEPRERYWNYE NA OTREZKE

tEOREMA O PROHOVDENII NEPRERYWNOJ FUNKCII ^E-

I T. D. oPISANNYJ PROCESS \DELENIQ OTREZKOW POPOLAM" LI- BO ZAKON^ITSQ ^EREZ KONE^NOE ^ISLO [AGOW (S NAHOVDENIEM TO^KI, W KOTOROJ FUNKCIQ RAWNA NUL@), LIBO PRIWEDET K PO-

SLEDOWATELXNOSTI WLOVENNYH OTREZKOW

[a b] [a1 b1] [a2 b2] [an bn] [an+1 bn+1] ,

1 pERWYM DOKAZATELXSTWO \TOJ TEOREMY, BAZIRU@]EESQ NE NA NA- GLQDNOM PREDSTAWLENII O NEPRERYWNOSTI FUNKCII, A NA ^ETKOM OPREDELENII \TOGO PONQTIQ, DAL bOLXCANO W UVE UPOMINAW[EJSQ (NA S. 42) RABOTE 1817 G. w WY[ED[EM ^ETYRXMQ GODAMI POZVE \kURSE ANALIZA" kO[I [34] PRIWEDENY DWA DOKAZATELXSTWA \TOJ TEOREMY, LI[X ODNO IZ KOTORYH PRIEMLEMO S SOWREMENNYH POZICIJ.

2 pRINIMA@]AQ DEJSTWITELXNYE ZNA^ENIQ.

3 hOTQ BY ODNA.

2n

QWLQETSQ BESKONE^NO MALOJ, MOVNO UTWERVDATX ^TO L@BAQ

OKRESTNOSTX TO^KI c SODERVIT WSE OTREZKI [an bn], NA^INAQ S NEKOTOROGO \NOMERA" n, TAK ^TO lim an = c I lim bn = c. wWI- DU NEPRERYWNOSTI FUNKCII NA OTREZKE [a b] OTS@DA SLEDU- ET, ^TO lim f(an) = f(c) = lim f(bn), A S U^ETOM NERAWENSTW f(an) < 0 < f(bn) | ^TO f(c) 60 6f(c) (SM. S. 70), T. E. f(c) = 0. tAK KAK c 2 [a b], A f(a)f(b) < 0, TO^KA c LEVIT WNUTRI OT-

REZKA [a b]. Q.E.D.

kAK WIDNO NA PRIMERE FUNKCII y = eix = cos x + i sin x (SM. S. 122), DLQ NEPRERYWNYH KOMPLEKSNOZNA^NYH FUNKCIJ NA OTREZKE UTWERVDE- NIE TEOREMY NEWERNO: NA KONCAH OTREZKA [0 ] \TA FUNKCIQ PRINIMAET ZNA^ENIQ ei0 = 1 I ei = ;1, HOTQ jeixj = 1 DLQ L@BOJ TO^KI x DEJSTWI- TELXNOJ OSI (SM. S. 119).

tEOREMY wEJER[TRASSA1

tEOREMA 1. eSLI FUNKCIQ2 QWLQETSQ NEPRERYWNOJ NA OTREZKE, TO ONA OGRANI^ENA NA \TOM OTREZKE3.

dOKAZATELXSTWO. pRIMENQQ METOD DOKAZATELXSTWA \OT PROTIWNOGO", SLEDUET PRIJTI K PROTIWORE^I@, PREDPOLOVIW SU]ESTWOWANIE FUNKCII y = f(x), NEPRERYWNOJ NA OTREZKE

[a b], DLQ KOTOROJ LOVNYM QWLQETSQ UTWERVDENIE

9c>08x;x 2 [a b] ) jf(x)j6c

1 tAK OBY^NO NAZYWA@T SLEDU@]IE DWE TEOREMY, POSKOLXKU IMENNO wEJER[TRASS PERWYM DAL IH WNQTNYE FORMULIROWKI I DOKAZATELXSTWA W SWOIH BERLINSKIH LEKCIQH (SM. S. 85).

2 kAK DEJSTWITELXNOZNA^NAQ, TAK I KOMPLEKSNOZNA^NAQ.

3 t. E. DLQ FUNKCII y = f(x), NEPRERYWNOJ NA OTREZKE [a b], ISTINNO

UTWERVDENIE 9h>08x;x 2 [a b] ) jf (x)j6h (SM. S. 137).

147

O EE OGRANI^ENNOSTI NA \TOM OTREZKE, T. E. ISTINNYM OKAZY-

NOSTI FUNKCII y = f(x) NA \TOM OTREZKE POSLEDOWATELX-

PROTIWORE^IE WOZNIKLO IZ PREDPOLOVENIQ O SU]ESTWOWANII

NEPRERYWNOJ FUNKCII NA OTREZKE, NE OGRANI^ENNOJ NA \TOM OTREZKE, \TO PREDPOLOVENIE LOVNO. Q.E.D.

tEOREMA 2. eSLI FUNKCIQ2 QWLQETSQ NEPRERYWNOJ NA

OTREZKE, TO ONA DOSTIGAET NA \TOM OTREZKE SWOIH TO^NOJ NIVNEJ I TO^NOJ WERHNEJ GRANEJ3.

dOKAZATELXSTWO (NAPRIMER, DOSTIVIMOSTI TO^NOJ WERH-

NEJ GRANI). pO TEOREME 1 FUNKCIQ y = f(x), NEPRERYWNAQ NA

1 kAK POKAZYWAET PEREHOD K PREDELU W NERAWENSTWAH a 6 xnk 6 b (SM. S. 70). sLEDUET OTMETITX, ^TO ESLI BY RE^X W TEOREME [LA NE OB OTREZKE, A OB INTERWALE (a b), TO IZ NERAWENSTW a < xnk < b WYTEKALI

BY LI[X NERAWENSTWA a 6xe6b, TAK ^TO UTWERVDATX PRINADLEVNOSTX TO^KI x INTERWALU (a b) BYLO BY NELXZQ.

2 pRINIMA@]AQe DEJSTWITELXNYE ZNA^ENIQ.

3 t. E. DLQ L@BOJ FUNKCII y = f (x), NEPRERYWNOJ NA OTREZKE [a b],

148

OTREZKE [a b], OGRANI^ENA NA \TOM OTREZKE. w ^ASTNOSTI, ONA

OGRANI^ENA SWERHU, A POTOMU U MNOVESTWA Y[a b] ZNA^ENIJ

\TOJ FUNKCII NA OTREZKE [a b] SU]ESTWUET TO^NAQ WERHNQQ

S. 85{86) U NEE ESTX PODPOSLEDOWATELXNOSTX fxnkg, SHODQ-

]AQSQ K NEKOTOROJ TO^KE x, KOTORAQ PRINADLEVIT (W SILU NERAWENSTW a 6 xnk 6 b) OTREZKU [a b]. wWIDU NEPRERYWNOS-

TI FUNKCII y = f(x) NA \TOM OTREZKE POSLEDOWATELXNOSTX

ff(xnk)g SHODITSQ K ^ISLU f(x), TOGDA KAK PRIMENENIE K NE- RAWENSTWAM y; n1 < f(xn) 6 y e n = 1 2 : : : , "PRINCIPA S\N-

DWI^A" (SM. S. 71) SWIDETELXSTWUET O TOM, ^TO POSLEDOWATELX-

]EJ NA \TOM INTERWALE SWOEJ TO^NOJ NIVNEJ GRANI2, POKA-

ZYWAET, ^TO NA FUNKCII, NEPRERYWNYE NA PROMEVUTKE, NE QWLQ@]EMSQ OTREZKOM, TEOREMY wEJER[TRASSA NE RASPRO-

STRANQ@TSQ.

1 nAZYWAEMAQ TAKVE TO^NOJ WERHNEJ GRANX@ DANNOJ FUNKCII NA OTREZKE [a b].

149

pRIMER VE FUNKCII y = x;[x] (DROBNAQ ^ASTX ^ISLA x),

DLQ KOTOROJ lim (x;[x]) = 1, TOGDA KAK 1;[1] = 0, GOWORIT O

x!1;0

TOM, ^TO FUNKCIQ, NE QWLQ@]AQSQ NEPRERYWNOJ NA OTREZKE,

NE OBQZANA DOSTIGATX NA NEM TO^NOJ WERHNEJ GRANI. rAWNOMERNAQ NEPRERYWNOSTX FUNKCII NA MNOVESTWE

fUNKCI@ y = f(x) NAZYWA@T RAWNOMERNO NEPRERYWNOJ NA

MNOVESTWE X, ESLI DLQ NEE ISTINNO UTWERVDENIE, WYRAVA- EMOE FORMULOJ

8">09 >08x8x;x2X ^xe2X ^jx;xej< )jf(x);f(xe)j<" ,

SMYSL KOTOROJ: \DLQ L@BOGO POLOVITELXNOGO ^ISLA " SU- ]ESTWUET TAKOE POLOVITELXNOE ^ISLO , ^TO W L@BYH DWUH TO^KAH MNOVESTWA X, OTSTOQ]IH DRUG OT DRUGA MENX[E, ^EM NA , ZNA^ENIQ FUNKCII RAZNQTSQ MENX[E, ^EM NA "".

sOOTNESTI \TO PONQTIE S PONQTIEM NEPRERYWNOSTI FUNK- CII NA MNOVESTWE POZWOLQET ANALIZ FORMUL, WYRAVA@]IH \TI PONQTIQ. oBE FORMULY STROQTSQ NA OSNOWE ODNOGO I TOGO VE PREDIKATA x 2X ^xe2X ^jx;xej< ) jf(x);f(xe)j< ", I RAZLI^IE ZALOVENNOGO W NIH SODERVANIQ OPREDELQETSQ RAZ- LI^IEM PORQDKA SLEDOWANIQ KWANTOROW. w FORMULE

ISKL@^ITELXNO PO ^ISLU " I NE ZAWISIT OT TO^KI x 2X.

1 wYRAVA@]EJ SWOJSTWO NEPRERYWNOSTI FUNKCII y = f (xe) NA MNO-

VESTWE X.

2 a ONA WYRAVAET SWOJSTWO RAWNOMERNOJ NEPRERYWNOSTI FUNKCII y = f(x) NA MNOVESTWE X.

150

wYWOD: FUNKCIQ, RAWNOMERNO NEPRERYWNAQ NA MNOVESTWE, QWLQETSQ NEPRERYWNOJ NA \TOM MNOVESTWE, NO UTWERVDATX OBRATNOE W OB]EM SLU^AE OSNOWANIJ NET. pODTWERVDA@T \TO

DRUGOE DOKAZATELXSTWO | ISHODQ IZ FORMULY, WYRAVA@]EJ NEPRERYW-

NOSTX FUNKCII NA MNOVESTWE.