Шведенко Начала математического анализа 2011
.pdf
261
eSLI U FUNKCIJ x = x(t) I y = y(t) ESTX WTORYE PROIZ-
WODNYE x = x(t) I y = y(t), TO U FUNKCII y = y(t(x)) I/ILI
x = x(t(y)) SU]ESTWUET I WTORAQ PROIZWODNAQ |
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y00 |
y0 0 |
y_0 |
t0 x |
y(t) |
|
1 |
|
|
y(t)x(t); x(t)y(t) |
1 |
|
||||
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|||||||
xx = ( x)x |
= ( x) |
( ) =; |
x(t) |
x(t) |
(x(t)) |
2 |
x(t) |
||||||||
I/ILI |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
xyy00 = (xy0 )y0 = (x_y0 )t0(y) =; |
x(t) |
|
|
1 |
|
= |
x(t)y(t);y2(t)x(t) |
|
1 |
|
|||||
|
y(t) |
y(t) |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
y(t) |
|
|
(y(t)) |
|
||||||
(W PERWOM SLU^AE t = t(x), A WO WTOROM t = t(y)).
kRATKO FORMULY PERWOJ I WTOROJ PROIZWODNYH FUNK-
CIJ y = y(x) I x = x(y) PRI IH PARAMETRI^ESKOM ZADANII
(x = x(t) ZAPISYWA@T W WIDE y = y(t)
|
y0 = y , y00 = |
yx;yx |
|
x0 = |
x |
, x00 = |
xy |
;xy |
. |
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
x |
|
|
x3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
y3 |
|
|
|
|
|
|||||
nAPRIMER, FUNKCII y = y(x) I x = x(y), OPREDELQEMYE |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
PRINADLEVNOSTX@ TO^KI (x y) \LLIPSU |
|
x2 |
+ |
y2 |
= 1, IME@T |
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
2 |
b |
2 |
|||||||||||||||||||||||||||||||
PROIZWODNYE1: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
y0 = y = |
b cos t |
|
|
, |
x0 = |
x |
= ;a sin t |
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
x |
|
|
;a sin t |
|
|
|
|
|
y |
|
|
|
b cos t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
y00 |
= |
yx;y x |
= (;b sin t)(;a sin t);b cos t(;a cos t) = |
|
|
|
b |
|
|
, |
|||||||||||||||||||||||||
|
|
x |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
( a sin t) |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
; 3 |
t |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
sin |
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
a |
t |
b |
|
|
;t |
|
a |
|
|
t |
|
|
b |
|
t |
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
||||
x00 |
= |
xy ;xy |
= (; |
|
|
cos ) |
|
cos |
; (; |
|
|
|
sin )(; |
|
sin |
) = |
|
|
|
|
|
. |
|||||||||||||
|
|
y |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
(b cos t) |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
; 3 |
t |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
b |
cos |
|
|||||||
1 zNA^ENIE t W NIH OPREDELQETSQ (S TO^NOSTX@ DO SLAGAEMOGO, KRAT- arcsin yb ESLI x >0
< |
; |
|
x |
b |
|
8arccos |
ESLI y >0 |
||||
a |
|||||
NOGO 2 ) PO PRAWILU: t = > |
|
arcsin y ESLI x< 0 |
|||
>:2 ; arccos xa ESLI y <0:
262
V.7. kAK WY^ISLQ@T DIFFERENCIAL DLINY
GLADKOJ LINII |
( |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dLINU |
l(a b) U^ASTKA GLADKOJ LINII L: |
x = x(t) |
t |
2 |
I, |
|
y = y(t) |
||||
|
|
|
|
||
MEVDU EE TO^KAMI Pa I Pb , OTWE^A@]IMI ZNA^ENIQM t = a I t = b PROMEVUTKA I, OPREDELQ@T KAK TO^NU@ WERHN@@ GRANX DLIN WSEWOZMOVNYH WPISANNYH W \TOT U^ASTOK LOMANYH 1.
iZ DANNOGO OPREDELENIQ WYTEKAET, ^TO ESLI a < b < c, TO l(a b) + l(b c) = l(a c) | SWOJSTWO ADDITIWNOSTI DLINY2.
hOTQ POLU^ITX FORMULU DLINY l(a b) U^ASTKA GLADKOJ LINII METODAMI LI[X DIFFERENCIALXNOGO IS^ISLENIQ (BEZ PRIWLE^ENIQ INTEGRALXNOGO) NE UDAETSQ, MOVNO WY^ISLITX DIFFERENCIAL dl DLINY l(a t) (U^ASTKA GLADKOJ LINII S PE- REMENNOJ KONE^NOJ TO^KOJ) KAK FUNKCII PEREMENNOJ t.
pRIRA]ENIE Ml \TOJ FUNKCII, OTWE^A@]EE PRIRA]ENI@ Mt > 0 W KAKOJ-LIBO TO^KE t0 , ESTX DLINA U^ASTKA GLADKOJ LINII MEVDU TO^KAMI Pt0 I Pt0 +Mt , T. E. (SOGLASNO DANNOMU WY[E OPREDELENI@) TO^NAQ WERHNQQ GRANX DLIN WSEWOZMOV- NYH LOMANYH, WPISANNYH W \TOT U^ASTOK.
1 pOSLEDOWATELXNYMI WER[INAMI L@BOJ TAKOJ LOMANOJ SLUVAT TO^KI GLADKOJ LINII, OTWE^A@]IE ZNA^ENIQM t = t0 t1 : : : tn;1 tn , PRI PROIZWOLXNOM WYBORE ZNA^ENIJ t1 : : : tn;1 tn 2I (I ^ISLA n \TIH ZNA^ENIJ), POD^INENNOM LI[X USLOWI@ a = t0 < t1 < < tn;1 < tn = b. pOD DLINOJ LOMANOJ PONIMA@T SUMMU DLIN SOSTAWLQ@]IH EE PRQMO-
LINEJNYH OTREZKOW.
2 wOT EGO DOKAZATELXSTWO: L@BAQ LOMANAQ, WPISANNAQ W U^ASTOK GLADKOJ DUGI MEVDU TO^KAMI Pa I Pb , PRODOLVENNAQ LOMANOJ, WPI- SANNOJ W U^ASTOK MEVDU TO^KAMI Pb I Pc, ESTX LOMANAQ, WPISANNAQ W U^ASTOK MEVDU TO^KAMI Pa I Pc , PRI \TOM L@BAQ LOMANAQ, WPISANNAQ W U^ASTOK GLADKOJ DUGI MEVDU TO^KAMI Pa I Pc , DOBAWLENIEM K NEJ WER- [INY W TO^KE Pb PREOBRAZUETSQ (S NEUMENX[ENIEM DLINY) W LOMANNU@ UKAZANNOGO WIDA. oSTAETSQ PRIMENITX SWOJSTWO ADDITIWNOSTI DLQ LO- MANYH, WYTEKA@]IM IZ SAMOGO OPREDELENIQ DLINY LOMANOJ.
|
|
|
|
|
|
|
|
|
c |
|
|
|
263 |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
dLQ NA^ALA NADO NAJTI DLINU |
l TAKOJ LOMANOJ. tAK KAK |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
M |
|
|
|
|
|
||
EE WER[INAMI SLUVAT TO^KI |
( ( |
|
n;1) |
( n;1)) |
( ( n) |
( n)), |
||||||||||
( ( 0) |
( 0)) |
|
( ( |
1) |
( 1)) |
|
|
|
||||||||
x t |
y t |
x t |
y t |
: : : x t |
|
|
y t |
x t |
y t |
|||||||
GDE t0 < t1 < |
|
< tn;1 < tn = t0 +Mt |
(RIS. 20), DLINA \TOJ |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
LOMANOJ WY^ISLQETSQ KAK SUMMA DLIN SOSTAWLQ@]IH EE PRQ- |
||||||||||||||||
MOLINEJNYH OTREZKOW: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Ml = q |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
(x(t1) |
x(t0))2 +(y(t1) |
y(t0))2 + |
|
|
|
|
||||||||||
c |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
+q(x(tn) x(tn;1))2 +(y(tn) y(tn;1))2 . |
|||||||||||
y
x=x(t) y=y(t)
x |
t |
t |
t |
t + t t |
0 |
1 |
n1 |
0 |
rIS. 20
pREOBRAZUQ PRAWU@ ^ASTX POSLEDNEGO RAWENSTWA, PRIME- NIW K KAVDOJ IZ RAZNOSTEJ, STOQ]IH POD ZNAKAMI RADIKALOW
TEOREMU lAGRANVA (SM. S. 209), MOVNO PRIJTI K RAWENSTWU |
||||||||
Ml = q |
|
(t1 |
|
|
|
|
|
|
(x(c1))2 +(y(c1))2 |
|
t0) + |
|
|
|
|||
c |
e |
; |
|
|
|
|
||
|
|
|
(tn ;tn;1), |
|||||
|
+ q(x(cn))2 +(y(cn))2 |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
e |
|
264
GDE c1 I c1 | NEKOTORYE (WNUTRENNIE) TO^KI OTREZKA [t0 t1],
cn I ecn |e NEKOTORYE (WNUTRENNIE) TO^KI OTREZKA [tn;1 tn].
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
pUSTX TEPERX " | L@BOE (SKOLX UGODNO MALOE) POLOVI- TELXNOE ^ISLO. w SILU NEPRERYWNOSTI NA PROMEVUTKE I
PROIZWODNYH x = x(t), y = y(t) SU]ESTWUET TAKOE POLOVI-
TELXNOE ^ISLO , ^TO PRI WYPOLNENII NERAWENSTW 0 <Mt <
NERAWENSTWA jx(t) ;x(t0)j < 2" I jy(t) ;y(t0)j < 2" WYPOLNQ@TSQ PRI L@BOM ZNA^ENII t MEVDU t0 I t0 +Mt.
oSNOWYWAQSX NA \TIH NERAWENSTWAH, MOVNO UTWERVDATX:
KAVDAQ IZ WELI^IN q(x(c1))2 +(y(ec1))2 , : : : ,q(x(cn))2 + (y(ecn))2
OTLI^AETSQ OT WELI^INY q(x(t0))2 +(y(t0))2 MENX[E, ^EM NA "
(RIS. 21)1.
y(t0)
y(c1)
x(t0) x(c1)
rIS. 21
1 tAK KAK DLINA KAVDOGO IZ DWUH OTREZKOW, IZOBRAVENNYH NA RIS. 21 SPLO[NOJ LINIEJ, OTLI^AETSQ OT DLINY PUNKTIRNOGO OTREZKA MENX[E, ^EM NA 2" , DLINY UKAZANNYH DWUH OTREZKOW RAZLI^A@TSQ MEVDU SOBOJ
MENX[E, ^EM NA ".
266
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dl =q |
|
dx |
. |
|
|
|
|
|
1 +(f 0(x))2 |
|||
pRI ZADANII GLADKOJ LINII L W POLQRNYH KOORDINATAH: |
||||||||
( |
|
|
|
|
|
|
|
|
r = r(t) |
t |
2 |
I, WYRAZITX DIFFERENCIAL DLINY POZWOLQ@T |
|||||
' = '(t) |
|
|
( |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
FORMULY PEREHODA |
x = r cos ' W SOOTWETSTWII S KOTORYMI |
|||||||
|
|
|
|
y = r sin ' |
||||
x = r cos ' + r(; sin ')' |
x2 + y2 = r2 + r2'2, A POTOMU |
(y = r sin ' + r(cos ')' |
|
dl =q(r(t))2 +(r(t)'(t))2 dt
W SLU^AE VE ZADANIQ GLADKOJ LINII URAWNENIEM r = r(') (ROLX PARAMETRA t WYPOLNQET POLQRNYJ UGOL ')
dl =q(r0('))2 + (r('))2 d' .
kRIWIZNA GLADKOJ LINII |
( |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
kRIWIZNOJ |
GLADKOJ LINII L: |
x = x(t) |
t |
2 |
I, W TO^KE Pt0 |
|
|
|
y = y(t) |
|
|
|
(OTWE^A@]EJ ZNA^ENI@ t0 IZ PROMEVUTKA I) NAZYWA@T WZQ- TYJ PO ABSOL@TNOJ WELI^INE PREDEL, K KOTOROMU STREMITSQ PRI Mt ! 0 OTNO[ENIE MMl WELI^INY UGLA, NA KOTORYJ PO- WORA^IWAETSQ KASATELXNAQ K GLADKOJ LINII L PRI PEREHODE OT TO^KI Pt0 K TO^KE Pt0+Mt , K DLINE U^ASTKA GLADKOJ LINII
MEVDU \TIMI TO^KAMI (RIS. 22, |
def |
lim |
M . |
A): k = |
|||
|
|
Mt!0 |
Ml |
dLQ POLU^ENIQ FORMULY KRIWIZNY GLADKOJ LINII L NE- OBHODIMO POTREBOWATX, ^TOBY ZADA@]IE EE FUNKCII x = x(t) I y = y(t) IMELI NA PROMEVUTKE I (IZMENENIQ PEREMENNOJ t)
WTORYE PROIZWODNYE x(t) I y(t).
267
rIS. 22
pOSKOLXKU KASATELXNAQ K GLADKOJ LINII L W TO^KE Pt0
IMEET URAWNENIE |
y |
; |
y t |
|
|
|
|
|
x |
; |
x t |
|
|
|
UGOL |
|
|
t |
|
|
|
|
EE NAKLONA |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
( |
0) |
|
= |
|
|
|
( 0) |
, |
= |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y t |
|
|
|
|
|
|
x t |
0) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( |
0) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
K OSI x RAWEN 8 |
|
|
|
|
( |
0) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y t |
0) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( |
|
|
|
ESLI x t |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
arctg x t |
0) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( |
0) |
6 |
= 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A POTOMU |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( 0) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
>arcctg y t |
|
|
|
|
ESLI y(t0) |
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
6 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
< |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( 0) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
y t |
|
|
|
Mt |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y t |
0) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
>( 0 |
+ ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
( |
0) |
M |
|
|
|
|
|
|
M |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
arctg |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
arctg |
|
|
|
|
|
|
|
|
= arctg |
|
|
|
|
|
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
M =8 |
|
x t |
|
|
|
Mt |
|
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
x t |
0) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x t |
0) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
( 0 |
+ ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
x t |
|
|
|
Mt |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x t |
0) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x t |
0) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
>arcctg |
|
|
( |
0 + ) |
|
|
|
|
arcctg |
|
|
|
( |
|
= arcctg |
0 |
( |
M |
|
|
|
M |
t) |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t + o( |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
< |
|
|
y t |
|
|
|
Mt |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
> |
|
|
|
|
|
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
( |
0 + ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( |
0) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( |
0) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y t |
0) |
x t |
|
|
|
|
|
|
|
y t |
|
x t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
( |
|
( 0) |
; |
|
( |
|
0) ( |
0) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0. |
||||||||||||||||||||
W L@BOM SLU^AE M |
|
|
|
|
|
x t |
|
2 |
|
y t |
|
|
2 |
|
|
Mt |
|
o Mt |
|
|
|
PRI |
|
Mt |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0)) |
|
|
|
|
+ ( ) |
|
|
|
|
|
|
|
! |
|||||||||||||||||||||||||||||
sLEDUET WYWOD: |
|
|
|
|
|
|
|
( ( |
0)) |
|
+( ( |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
y(t |
)x(t ); y(t |
)x(t |
) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
0 |
|
|
0 |
|
|
Mt+ o(Mt) |
|
|
y(t |
|
)x(t ) |
; |
y(t |
)x(t ) |
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
M |
|
|
|
|
|
|
|
|
(x(t |
))2+(y(t |
))2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
lim |
= lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
0 |
|
|
0 |
|
|
|
0 |
|
3 |
0 |
, |
|||||||||||||||
Ml |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
Mt!0 |
Mt!0 |
|
|
|
|
(x(t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Mt+o(Mt) |
|
|
|
|
|
|
|
x t |
|
2 |
|
|
|
y t |
2 |
2 |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
)) +(y(t |
)) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0)) ) |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
p |
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(( ( 0)) +( ( |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
A POTOMU KRIWIZNA GLADKOJ LINII L: |
|
|
x = x(t) t |
2 |
I, W TO^KE, |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
= y(t) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 a SLEDOWATELXNO, I x(t0+Mt) 6= 0PRI L@BOM DOSTATO^NO MALOM Mt. 2 a SLEDOWATELXNO, I y(t0+Mt) 6= 0PRI L@BOM DOSTATO^NO MALOM Mt.
268
OTWE^A@]EJ ZNA^ENI@ t = t0 , WY^ISLQETSQ PO FORMULE
k = jy(t0)x(t0);y(t0)x(3t0)j . ((x(t0))2+(y(t0))2)2
w ^ASTNOSTI, ESLI GLADKAQ LINIQ L ZADANA KAK GRAFIK FUNKCII y = f(x), IME@]EJ NA PROMEVUTKE I OSI x WTORU@ PROIZWODNU@, TO DLQ KRIWIZNY \TOJ GLADKOJ LINII W L@BOJ
|
|
|
f 00 |
x |
|
||
EE TO^KE (x0 f(x0)) SPRAWEDLIWA FORMULA |
k = |
j |
|
( 0)j |
3 |
|
. |
|
|
(1+(f 0(x0))2)2 |
|
||||
oBRATNU@ KRIWIZNE WELI^INU r = k1 NAZYWA@T RADIUSOM KRIWIZNY (DANNOJ GLADKOJ LINII W DANNOJ EE TO^KE). oB_QS- NQETSQ \TO TEM, ^TO OKRUVNOSTX RADIUSA r IMEET (W L@BOJ TO^KE) KRIWIZNU k = 1r RIS. 22, B).
nAPRIMER, |
|
W PROIZWOLXNO WZQTOJ TO^KE (a cos t0 b sin t0) |
||||||||||||||||||||||||||||||||||
\LLIPSA |
x2 |
+ |
|
y2 |
= 1 (S. 259) EGO KRIWIZNA RAWNA |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
2 |
|
b |
2 |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k = |
|
|
|
|
ab |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a2 |
sin |
2 t |
|
+ |
b2 |
|
|
2 t |
0) |
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
A TAK KAK |
|
|
|
|
|
|
|
|
( |
|
|
cos |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a2(1;cos 2t0) |
|
|
b2(1+cos 2t0) |
|
|
|
|||||||||||||||||||||
a2 |
sin |
2 t |
0 + |
b2 |
cos |
2 t |
= |
+ |
= |
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
a2 +b2 |
; |
|
a2 |
;b2 |
cos 2t0 , |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
TO W SLU^AE1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
1 |
|
|
|
|
|
|||||
a > b) NAIBOLX[EE ZNA^ENIE k = |
|
KRIWIZNY |
||||||||||||||||||||||||||||||||||
b |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
NABL@DAETSQ W TO^KAH ( a 0) (PRI t0 = 0 I t0 = ), A NAI- |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
= a |
|
|
|
|
|
|
(0 |
|
) ( |
|
|
|
|
0 |
= 2 |
|
0 |
= 2 ). |
|||||||||||||||
MENX[EE k |
|
1 |
|
| W TO^KAH |
|
|
|
b |
|
PRI t |
|
|
|
|
I t |
|
3 |
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
1 sOOTWETSTWU@]EM TRADICIONNOMU IZOBRAVENI@ \TOGO \LLIPSA (S FOKUSAMI, RASPOLOVENNYMI NA OSI x).
270
Анализируя высказывания, в каждом из них можно выделить предметы и то, что говорится об этих предметах . Если предметы, входящие в высказывание (все или часть из них) заменить буквенными символами, придав им смысл предметных переменных, то в результате возникает то, что называют высказывательной формой.
Например, высказывание “ 2 < 3” (в котором предметами
служат числа 2 и 3, а говорится о них то, что первое меньше второго) приводит к высказывательным формам “ x < 3”, “ 2 < y” и “ x < y” (первые две содержат одну, а третья — две предметные переменные). Наоборот, придание переменым x и y значений, например, x = 5, y = 7, преобразует полученные высказывательные формы в высказывания: “ 5 < 3”
(ложное), “ 2 < 7” и “ 5 < 7” (оба истинные).
Следует подчеркнуть: высказывательная форма не является высказываением, но становится им (оказываясь либо
истинным, либо ложным) после присвоения предметным переменным каких-либо (допустимых по смыслу) конкретных значений.
Отличие высказывательной формы от высказывания часто сравнивают ([22], с. 34) с отличием бланка документа от документа как такового: бланк документа не является документом, но становится
им после заполнения всех предусмотренных граф.
Так как после вычленения из высказывания участвующих в нем предметов от него остается то, что говорится
об этих предметах (т. е. сказуемое), высказывательные формы называют еще предик´атами1. Далее термины высказывтельная форма и предикат будут считаться синонимами.
1 Лат. praedicatum — сказанное. Чаще предикат определяют более
отвлеченно как функцию одной или нескольких переменных, значениями которой являются (в зависимости от значений переменных) конкретные высказывания.