Шведенко Начала математического анализа 2011

301

Замечание 2. Утверждение “ lim xn =x” следует отличать от отрицания утверждения “ lim xn = x”. Первое подразумевает существование у последовательности {xn} предела (конечного или бесконечного), не

равного x:

z (z =x ε >0 n0 n (n > n0 |xn −z|< ε)

µ >0 n0 n (n > n0 |xn|> µ) ;

второе же, выражаемое более простой формулой (отрицание n◦ 18)

ε >0 n0 n (n > n0 |xn −x| ε),

предполагает как существование у последовательности {xn} какого-то

предела, отличного от x, так и отсутствие у нее предела.

b ε > 0 δ > 0 x(0 < |x −a|< δ (|f (x) −b| ε ¬(!f (x)))2.

33 . “ Функция y = f (x) определена в окрестности точки4 a, но не имеет предела3 в этой точке” :

δ > 0 x 0 < |x −a|< δ !f (x)

b ε > 0 δ > 0 x(0 < |x −a|< δ |f (x) −b| ε) .

1Или, как еще говорят, “при стремлении x к a”.

2С учетом правила ¬(A B) = A (¬B) (см. с. 274), а также того, что отрицанием утверждения “ |f (x) −b| < ε” служит утверждение: “

либо |f (x)−b| ε, либо значение f (x) не определено” (см. с. 294).

3Под пределом (без сопровождения прилагательного бесконечный) всюду понимается конечное число.

4Исключая, возможно, саму эту точку.

302

Что касается эквивалентного определения предела функции в точ-

ке lim f (x) = b — “через последовательности” (см. с. 109–110), — то

x→a

его символическая запись выходит за рамки языка L1Real, так как требует действия квантора по переменной функции (натуральной пе-

ременной):

{xn} δ > 0 n0 n (n > n0 0< |xn −a|< δ)ε > 0 n0 n (n > n0 |f (xn)−b|< ε) 1.

34. “ Функция y = f (x) имеет в точке a предел слева, рав-

ный b1” lim f (x) = b1, или f (a−0) = b1 :

x→a−0

ε > 0 δ > 0 x(a −δ < x < a |f (x) −b1|< ε).

34 . “ Функция y = f (x) при стремлении x к точке a слева

стремится к значению b1 слева” lim f (x) = b1 −0 :

x→a−0

ε > 0 δ > 0 x(a −δ < x < a b1 −ε < f (x) < b1).

34 . “ Функция y = f (x) при стремлении x к точке a слева

стремится к значению b1 справа” lim f (x) = b1 +0 :

x→a−0

ε > 0 δ > 0 x(a −δ < x < a b1 < f (x) < b1 + ε).

35. “ Функция y = f (x) имеет в точке a предел справа,

равный b2” lim f (x) = b2, или f (a+0) = b2 :

x→a+0

ε > 0 δ > 0 x(a < x < a+δ |f (x) −b2|< ε).

35 . “ Функция y = f (x) при стремлении x к точке a

справа стремится к значению b2 слева” lim f (x) = b2 −0 :

x→a+0

ε > 0 δ > 0 x(a < x < a+δ b2 −ε < f (x) < b2).

35 . “ Функция y = f (x) при стремлении x к точке a

справа стремится к значению b2 справа” lim f (x) = b2+0 :

x→a+0

ε > 0 δ > 0 x(a < x < a+δ b2 < f (x) < b2 + ε).

1Для любой последовательности {xn} точек xn =a, сходящейся к

точке a, соответствующая ей последовательность {f (xn)} (значений функции в точках xn ) сходится к числу a.

304

44. “ Число b есть предел функции y = f (x) при a, стре-

45 . “ Функция y = f (x), определенная как в точке a, так и в ее окрестности, не является непрерывной в точке a” :

ε > 0 δ > 0 x |x −a|< δ |f (x) −f (a)| ε .

45 . “ Функция y = f (x) определена в точке a и ее окрестности, но не является непрерывной в точке a” 2:

.

ε > 0 δ > 0 x |x −a|< δ |f (x) −f (a)| ε

46. “ Функция y = f (x) непрерывна слева в точке a” :

ε > 0 δ > 0 x(a −δ < x < a |f (x) −f (a)|< ε).

47. “ Функция y = f (x) непрерывна справа в точке a” :

ε > 0 δ > 0 x(a < x < a + δ |f (x) −f (a)|< ε).

1Эту часть формулы можно опустить, если заранее оговорено, что a есть предельная точка множества X : если вблизи точки a нет

(отличных от нее) точек множества X , то остальная часть формулы

имеет значение “истина” (поскольку (x X 0 < |x −a|< δ) при малых значениях δ есть “ложь”), однако говорить о пределе функции в точке a по множеству X в такой ситуации бессмысленно.

2 В утверждении n◦ 45 изначально дано, что функция определена в точке a и ее окрестности, а здесь это составляет часть утверждения.

305

48. “ Функция y = f (x) непрерывна во всех точках мно- жества X ” :

x ε > 0 δ > 0 x ((x X |x −x|< δ) |f (x) −f (x)|< ε).

49. “ Функция y = f (x) непрерывна на множестве X ” 1:

x ε > 0 δ > 0 x((x X x X |x −x|< δ)

|f (x) −f (x)|< ε).

49 . “ Функция y = f (x), определенная на множестве X ,

не является непрерывной на этом множестве” 2 :

x ε > 0 δ > 0 x(x X x X |x −x|< δ

|f (x) −f (x)| ε).

50. “ Функция y = f (x) равномерно непрерывна на мно- жестве X ” :

ε > 0 δ > 0 x x ((x X x X |x −x|< δ)

|f (x) −f (x)|< ε).

50 . “ Функция y = f (x), определенная на множестве X ,

не является равномерно непрерывной на этом множестве”:

ε > 0 δ > 0 x x (x X x X |x −x|< δ

|f (x) −f (x)| ε).

1 Если в предыдущем утверждении для произвольно взятой точки

x X значение f (x) сравнивается со значениями f (x) для всех точек x из δ -окрестности точки x, то в этом — только для тех из них, которые принадлежат множеству X . В соответствии с этим функция

y = f (x), определенная в одной лишь точке a действительной оси не является непрерывной в этой точке (утверждение n◦ 45 для нее ложно), однако она непрерывна на одноточечном множестве X ={a}.

2 Если изначально не оговорено, что функция определена на множестве X , то формула оказывается длиннее:

x ε>0 δ >0 x x X x X |x −x|< δ

|f (x)−f (x)| ε ¬(!f (x)) ¬(!f (x) .

307

ε > 0 δ > 0 x (0 < |x −a|< δ |f (x)| ε|g(x)|).1

53 . “ f (x) = o g(x) , x → a ” (“функция y = f (x) является бесконечно малой относительно функции y = g(x) при

бесконечно малых значениях x ”):

ε > 0 δ > 0 x (0 < |x|< δ |f (x)| ε|g(x)|).

53 . “ f (x) = o g(x) , x → ∞” (“функция y = f (x) является бесконечно малой относительно функции y = g(x) при

бесконечно больших значениях x ”):

ε > 0 µ > 0 x (|x| > µ |f (x)| ε|g(x)|).

53 . “ f (x) = o g(x) , x → ∞” (“функция y = f (x) является бесконечно малой относительно функции y = g(x) при

бесконечно больших значениях x из множества X ”):

ε > 0 µ > 0 x (|x| > µ x X |f (x)| ε|g(x)|). 54. “ f (x) = O(g(x)), x → a” 2 :

c > 0 δ > 0 x (0 < |x −a|< δ |f (x)| c |g(x)|).3

55. “ x0 — точка абсолютного (глобального) максимума

функции y = f (x) на множестве X ” :

x0 X x(x X f (x) f (x0)).

55 . “ x0 — точка локального максимума функции y = f (x)

на множестве X ” :

1 Если заранее известно, что функция y = g(x) не обращается в нуль в окрестности точки a, нестрогое неравенство |f (x)| ε|g(x)| в

2 Так и говорят: “ f (x) есть “ О большое” от g(x) при стремлении x к точке a”.

3 В случае не обращения в нуль функции g(x) утверждение озна-

чает существование окрестности точки a, в которой отношение

ограничено.

308

x0 X δ > 0 x(x X |x −x0|< δ f (x) f (x0)).

55 . “ x0 есть точка строгого максимума (абсолютного)

функции y = f (x) на множестве X ” :

x0 X x(x X x =x0 f (x) < f (x0)).

55 . “ x0 есть точка строгого локального максимума

функции y = f (x) на множестве X ” :

x0 X δ > 0 x(x X 0 < |x −x0|< δ f (x) < f (x0)).

56. “ x0 является точкой устранимого разрыва для функции y = f (x)” 1 :

f (x0) =b ¬(!f (x0) .

57. “ x0 — точка разрыва 1-го рода функции y = f (x)” 2 :

b2 ε > 0 δ > 0 x(x0 < x < x0 + δ |f (x) −b2|< ε)

b1 =b2 .

58. “ x0 — точка разрыва 2-го рода функции y = f (x)” 3 :

¬ b ε > 0 δ > 0 x(x0 < x < x0 + δ |f (x) −b|< ε) .

1Функция y = f (x) имеет предел в точке x0 , но он не совпадает со

значением функции в этой точке (либо значение f (x0) не определено); всюду под пределом (без прилагательного бесконечный) подразумевается конечное число.

2Функция y = f (x) имеет в точке x0 предел слева и предел справа, которые не совпадают между собой.

3Функция определена в некоторой окрестности точки x0 (исключая, возможно, саму эту точку) и не имеет в этой точке либо предела слева, либо предела справа.

310

Приложение III

Буквы древнегреческого письма

1Греч. ψιλoν´ — тонкое, голое, слабое.

2Греч. µικρoν´ — маленькое; µεγα´ — большое.