Шведенко Начала математического анализа 2011
.pdf
251
zAMENQQ \TO NERAWENSTWO PROTIWOPOLOVNO NAPRAWLEN- NYM, POLU^A@T OPREDELENIE FUNKCII, WYPUKLOJ WWERH NA PRO- MEVUTKE I, PRI \TOM FUNKCIQ y = f(x) OKAZYWAETSQ WYPKLOJ WWERH NA KAKOM-LIBO PROMEVUTKE W TOM I TOLXKO W TOM SLU- ^AE, KOGDA NA \TOM VE PROMEVUTKE WYPUKLOJ WNIZ QWLQETSQ
FUNKCIQ y = ;f(x).
zAME^ANIE. dANNYE OPREDELENIQ ^ASTO NAZYWA@T OPRE-
DELENIQMI STROGOJ WYPUKLOSTI FUNKCII (WNIZ ILI WWERH),
TOGDA KAK WYPUKLOSTX PONIMA@T W BOLEE [IROKOM SMYSLE, SOOTWETSTWU@]EM ZAMENE W WY[EPRIWEDENNYH OPREDELENIQH
STROGIH NERAWENSTW NESTROGIMI1. w RAMKAH ANALIZA UDOB-
NEE WSE VE OPERIROWATX WYPUKLOSTX@ W STROGOM SMYSLE.
kRITERIJ WYPUKLOSTI FUNKCII. fUNKCIQ y = f(x),
IME@]AQ PROIZWODNU@ f 0(x) W KAVDOJ TO^KE x PROMEVUTKA I, QWLQETSQ WYPUKLOJ WNIZ (WWERH) NA DANNOM PROMEVUTKE W TOM I TOLXKO W TOM SLU^AE, KOGDA PROIZWODNAQ FUNKCII
WOZRASTAET (UBYWAET) NA \TOM PROMEVUTKE.2
dOKAZATELXSTWO. A) eSLI PROIZWODNAQ FUNKCII WOZRAS-
TAET NA PROMEVUTKE I, TO PRIMENENIE DLQ PROIZWOLXNO WZQ-
TYH ZNA^ENIJ x1 < x < x2 x1 x2 2 I, TEOREMY lAGRANVA NA |
||||
OTREZKAH [x1 x] I [x x2] |
PRIWODIT K SOOTNO[ENIQM |
|||
( ); |
( 1) = f 0(c1), |
( 2); |
( ) = f 0(c2) x1 < c1 < x < c2 < x2 , |
|
f x |
f x |
f x |
|
f x |
x;x1 |
x2 ;x |
|||
IZ KOTORYH SLEDUET, ^TO DLQ FUNKCII y = f(x) WYPOLNENY
1 w \TOM SLU^AE PRIHODITSQ MIRITXSQ S TEM, ^TO L@BAQ LINEJNAQ FUNKCIQ OKAZYWAETSQ WYPUKLOJ, PRI^EM ODNOWREMENNO WNIZ I WWERH, NA L@BOM PROMEVUTKE DEJSTWITELXNOJ OSI.
2 sTOIT OTMETITX, ^TO FUNKCIQ, WYPUKLAQ (WNIZ ILI WWERH), NE OBQ- ZATELXNO IMEET PROIZWODNU@ W KAVDOJ TO^KE PROMEVUTKA EE WYPUKLOS- TI, ODNAKO NEPREMENNO QWLQETSQ NEPRERYWNOJ I IMEET LEWU@ I PRAWU@ PROIZWODNYE W KAVDOJ WNUTRENNEJ TO^KE \TOGO PROMEVUTKA (SM. [3],
S. 60).
252
TREBOWANIQ |
( |
1) |
< |
( 2); |
|
( ) |
|
x < x < x x x I |
|||
( ); |
|
|
|||||||||
f x |
f x |
|
|
f x |
|
f x |
, |
|
|
2 , |
|
x;x1 |
|
|
x2 |
;x |
|
1 |
2 1 2 |
||||
EE WYPUKLOSTI WNIZ NA PROMEVUTKE I. |
|
||||||||||
B) nAOBOROT, ESLI DLQ FUNKCII y = f(x) WYPOLNENO PO- SLEDNEE TREBOWANIE, TO WZQW PROIZWOLXNO ZNA^ENIQ
x1 < x1+Mx1 < x0 < x2+Mx2 < x2 (RIS. 17)
(x1 x0 I x2 RASSMATRIWA@TSQ KAK POSTOQNNYE, A Mx1 > 0 I Mx2 < 0 KAK PEREMENNYE), MOVNO ZAPISATX NERAWENSTWA
( |
1+ |
|
|
1) |
|
|
( |
1) |
|
( |
0) |
|
( |
1 |
+ |
1) |
|
|||
f x |
|
|
Mx |
|
|
|
f x |
|
|
f x |
|
|
|
f x |
Mx |
|
||||
x |
+ |
Mx |
|
; x |
|
< |
x |
|
|
;x |
|
Mx |
|
, |
||||||
( |
1 |
( |
|
1) ; |
1 |
1) |
< |
0 |
;( 1+ |
1) |
|
|
||||||||
|
|
|
|
0) |
; |
|
( |
( 2) |
; |
( |
0) , |
|
|
|||||||
|
|
f x |
|
|
|
f x |
|
|
f x |
|
|
|
f x |
|
|
|
|
|||
( |
2+ |
|
x0 |
;x1 |
0) |
|
x2 |
;x0 |
2 |
+ |
2) |
|
||||||||
|
|
2) |
|
|
( |
|
( |
2) |
|
( |
|
|||||||||
f x |
|
|
Mx |
|
|
|
f x |
|
|
f x |
|
|
|
f x |
Mx |
|
||||
x |
+ |
Mx |
|
; x |
|
< |
x |
|
|
;x |
|
Mx |
|
. |
||||||
( |
2 |
|
|
2) ; |
0 |
|
|
2 |
;( 2+ |
2) |
|
|
||||||||
x1 |
x1+ x1 x0 x2+ x2 x2 |
rIS. 17
oSTAETSQ PEREJTI W PERWOM IZ NIH K PREDELU PRI Mx1 !0, A W POSLEDNEM | PRI Mx2 ! 0, ^TOBY POLU^ITX W REZULXTATE:
f 0(x1) 6 f(x0);f(x1) < f(x2);f(x0) 6 f 0(x2). Q.E.D. x0 ;x1 x2 ; x0
253
w SOEDINENII S PRIZNAKOM WOZRASTANIQ FUNKCII (SM. S. 212)
DOKAZANNYJ KRITERIJ DAET SLEDU@]EE
dOSTATO^NOE USLOWIE WYPUKLOSTI FUNKCII. fUNK-
CIQ, WTORAQ PROIZWODNAQ KOTOROJ POLOVITELXNA (OTRICA- TELXNA) NA PROMEVUTKE, QWLQETSQ WYPUKLOJ WNIZ (WYPUKLOJ WWERH) NA \TOM PROMEVUTKE1.
eSLI FUNKCIQ y = f(x), IME@]AQ PROIZWODNU@ NA PRO-
MEVUTKE |
I, |
QWLQETSQ WYPUKLOJ WNIZ (WYPUKLOJ |
WWERH) |
||||||||||||||||||
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
, |
|
|
|
|
|
0 |
2 |
|
|
|
|
NA DANNOM PROMEVUTKE |
|
TO DLQ L@BOGO x |
|
|
I |
PRQMAQ |
|||||||||||||||
y = f (x0)(x ;x0) + f(x0), |
KASATELXNAQ K GRAFIKU FUNKCII |
||||||||||||||||||||
|
= |
( ) |
|
|
|
0( 0 |
|
|
( |
0)), |
|
|
( |
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
2 |
f x |
|
W TO^KE P |
x |
f x |
LEVIT |
W PREDELAH ZNA^ENIJ |
|||||||||||||
|
|
6=0 ) |
|
( |
|
|
) |
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
x |
|
I x |
|
x |
POD |
. |
NAD |
|
GRAFIKOM |
|
|
2 |
|
|
6= |
0 , |
|
||||
|
dOKAZATELXSTWO |
|
wZQW L@BOE ZNA^ENIE x |
|
|
I x |
x |
|
I |
||||||||||||
PRIMENQQ K FUNKCII y = f(x) NA OTREZKE S KONECEWYMI TO^- KAMI x0 x TEOREMU lAGRANVA, RAZNOSTX MEVDU ORDINATAMI
y = f(x) (TO^KI GRAFIKA) I y = f 0(x0)(x |
; x0) + f(x0) (TO^KI |
|||||||||||||||||||||||||||||
KASATELXNOJ) MOVNO ZAPISATX W WIDE |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
f x |
|
f 0 |
x |
|
x |
x |
0) + |
f x |
0) = |
f |
0 c |
f |
0 x |
|
x |
|
x |
0), |
|
|
||||||||||
|
( ) ; |
|
( |
|
0)( |
; |
|
( |
|
( ) |
; |
|
|
( |
0) ( |
; |
|
|
|
|||||||||||
GDE ZNA^ENIE |
c QWLQETSQ PROMEVUTO^NYM; |
MEVDU |
x0 I x. |
|||||||||||||||||||||||||||
eSLI FUNKCIQ WYPUKLA WNIZ NA PROMEVUTKE I, TO SOGLAS- |
||||||||||||||||||||||||||||||
NO DOKAZANNOMU KRITERI@ WYPUKLOSTI FUNKCII PROIZWOD- |
||||||||||||||||||||||||||||||
NAQ FUNKCII WOZRASTAET NA PROMEVUTKE I, W SILU ^EGO |
|
|||||||||||||||||||||||||||||
f 0 |
( ) ; |
f 0 |
( |
0) |
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
; |
|
0 |
|
|
|
0, |
|
|
|
|
|
|
0 , |
|
|
c |
x |
0) |
< |
0 |
I ODNOWREMENNO x |
; |
x |
|
< |
0, |
ESLI x < x |
0 , |
|
|||||||||||||||||
f 0 |
( ) ; |
f 0 |
( |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
c |
x |
|
|
> |
|
I ODNOWREMENNO x |
|
x |
|
> |
|
ESLI x > x |
|
- |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
6=0 , |
|
|
|
||||
TAK ^TO UKAZANNAQ RAZNOSTX DLQ WSEH x |
|
|
I |
x |
|
x |
|
OKAZY |
|
|||||||||||||||||||||
WAETSQ POLOVITELXNOJ. |
Q.E.D. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
1 nA SAMOM DELE DOSTATO^NO, ^TOBY WTORAQ PROIZWODNAQ SU]ESTWO- WALA I BYLA POLOVITELXNOJ (OTRICATELXNOJ) WO WSEH TO^KAH PROME- VUTKA, KROME KONE^NOGO IH ^ISLA, NO PRI \TOM PERWAQ PROIZWODNAQ BYLA NEPRERYWNOJ NA WSEM PROMEVUTKE.
254
zNA^ENIE x0 PEREMENNOJ x NAZYWA@T TO^KOJ PEREGIBA FUNKCII y = f(x), ESLI
A) W LEWOJ I PRAWOJ OKRESTNOSTQH ZNA^ENIQ x0 FUNKCIQ IMEET RAZNYE NAPRAWLENIQ WYPUKLOSTI,
B) GRAFIK FUNKCII IMEET KASATELXNU@ PRQMU@ W TO^KE
P0(x0 f(x0)).
pRIMERY. 1. fUNKCIQ y = p3 x, IMEQ WTORU@ PROIZWOD-
NU@ y00 ;3 2 POLOVITELXNU@ PRI x < I OTRICATELX-
= 9 px5 , 0,
NU@ PRI x > 0, QWLQETSQ WYPUKLOJ WNIZ SLEWA OT ZNA^ENIQ x = 0 I WYPUKLOJ WWERH SPRAWA OT \TOGO ZNA^ENIQ. s U^ETOM
TOGO, ^TO lim p3 x ; 0 = 1, OSX y QWLQETSQ \WERTIKALXNOJ"
x!0 x ; 0
KASATELXNOJ K GRAFIKU FUNKCII W NA^ALE KOORDINAT (SM.
S. 203), PO\TOMU ZNA^ENIE x = 0 ESTX TO^KA PEREGIBA FUNK- |
|||
CII y = px. |
|||
|
|
3 |
|
2. pOSKOLXKU U FUNKCII y = arctg x WTORAQ PROIZWODNAQ |
|||
y00 = |
|
;2x2 2 |
POLOVITELXNA PRI x < 0 I OTRICATELXNA PRI |
|
(1+x ) |
||
x > 0, |
DANNAQ FUNKCIQ QWLQETSQ WYPUKLOJ WNIZ SLEWA OT ZNA- |
||
^ENIQ x = 0 I WYPUKLOJ WWERH SPRAWA OT \TOGO ZNA^ENIQ. tAK KAK GRAFIK \TOJ FUNKCII IMEET W NA^ALE KOORDINAT KASA-
TELXNU@ PRQMU@ (y = x), ZNA^ENIE x = 0 QWLQETSQ TO^KOJ
PEREGIBA FUNKCII y = arctg x. |
|
|
|||
p |
|
|
ESLI x 60 |
|
|
x |
|
||||
3 |
|
|
|
|
|
3. fUNKCIQ y = (arctg x |
ESLI x >0 |
|
QWLQETSQ WYPUKLOJ |
||
WNIZ SLEWA OT ZNA^ENIQ x = 0 I WYPUKLOJ WWERH SPRAWA OT \TOGO ZNA^ENIQ TEM NE MENEE ZNA^ENIE x = 0 NE QWLQETSQ TO^KOJ PEREGIBA DLQ DANNOJ FUNKCII: U EE GRAFIKA NET KASATELXNOJ PRQMOJ W TO^KE (0 0), IMEQ W \TOJ TO^KE LEWU@ KASATELXNU@ x = 0 I PRAWU@ KASATELXNU@ y = x (TAK ^TO W TO^KE (0 0) PROISHODIT NE \PEREGIB", A \PERELOM" GRAFIKA).
255
V.5. w ^EM SUTX METODA HORD I KASATELXNYH
pRIMENENIE \TOGO METODA PRIBLIVENOGO RE[ENIQ URAW- NENIQ f(x) = 0 TREBUET NEKOTOROJ PODGOTOWITELXNOJ RABOTY, CELX@ KOTOROJ QWLQETSQ NAHOVDENIE TAKOGO OTREZKA [a b], NA KONCAH KOTOROGO FUNKCIQ y = f(x) IMEET ZNA^ENIQ RAZNYH ZNAKOW, A EE PROIZWODNYE f 0(x) I f 00(x) NA WSEM \TOM OTREZKE SOHRANQ@T ZNAK. w \TOM SLU^AE1 MEVDU TO^KAMI a I b ESTX ROWNO ODIN KORENX x = URAWNENIQ f(x) = 0. mOVNO PRI
\TOM S^ITATX, |
^TO OBE PROIZWODNYE f 0(x) I f 00(x) |
POLOVI- |
|||||||||||||||||||||||
TELXNY NA OTREZKE [a b],2 W SILU ^EGO f(a) < 0, |
f(b) > 0, I |
||||||||||||||||||||||||
FUNKCIQ y = f(x) WYPUKLA WNIZ NA OTREZKE [a b]. |
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
w KA^ESTWE PERWYH (POSLE a I b) PRIBLIVENIJ ISKOMOGO |
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
e |
KORNQ (S NEDOSTATKOM I S IZBYTKOM) BERUT TO^KI x1 I x1 , |
|||||||||||||||||||||||||
W KOTORYH OSX x PERESEKAETSQ SOOTWETSTWENNO: |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
PRQMOJ, PROHODQ]EJ ^EREZ TO^KI (a f(a)) |
I (b f(b)), I |
||||||||||||||||||||||
|
|
PRQMOJ, KASATELXNOJ K GRAFIKU FUNKCII W TO^KE (b f(b)). |
|||||||||||||||||||||||
|
|
tAK KAK URAWNENIQMI \TIH PRQMYH QWLQ@TSQ SOOTWET- |
|||||||||||||||||||||||
STWENNO y = f(b);f(a) |
(x a)+f(a) I y = f 0(b)(x |
b)+f(b), TO^KI |
|||||||||||||||||||||||
|
1 |
|
|
1 |
|
|
|
|
b;a |
; |
|
0 = |
f(b);f(a) |
; |
1 |
|
|
) + |
( ) |
||||||
x |
I x |
NAHODQTSQ IZ RAWENSTW |
( |
|
; |
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
x |
|
a |
|
f a I |
|||||||||||||||||
0 = |
f 0 |
b x |
1 ; |
b |
) + |
f b |
|
|
|
|
b;a |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
e( )( |
|
|
( ): |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
ex1 = a; |
|
f(a) |
|
|
|
f(b) |
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
(b ;a), |
x1 = b ; |
|
|
, |
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
f(b);f(a) |
f 0(b) |
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
NEPRERYWNOJe FUNKCII ^EREZ NULX (SM. |
||||||||||||||||||||||
|
|
1 pO TEOREME O PROHOVDENII |
|||||||||||||||||||||||
S. 145) S U^ETOM STROGOJ MONOTONNOSTI FUNKCII y = f(x) NA OTREZKE
[a b] (SM. S. 212).
|
|
2 eSLI OBE \TI PROIZWODNYE OTRICATELXNY, TO SLEDUET PEREJTI K |
|
URAWNENI@ f(x) = 0, A ESLI f 0 |
(x) < 0 I f 00(x) > 0 ILI VE f 0(x) > 0 I |
||
f |
00 |
; |
|
|
(x) < 0, TO SOOTWETSTWENNO K URAWNENIQM f(;x) = 0 I ;f(;x) = 0 S |
||
ZAMENOJ PRI \TOM OTREZKA [a b] |
OTREZKOM [;b ;a]. |
||
256
PRI^EM1 f(x1) < 0, A f(xe1) > 0, TAK ^TO x1 < < xe1 (RIS. 18).
y=f(x)
x1
a |
|
x1 |
b |
rIS. 18
eSLI RAZNOSTX x1 ; x1 NE PREWOSHODIT ZAKAZANNU@ TO^- NOSTX WY^ISLENIQ KORNQ, W KA^ESTWE EGO PRIBLIVENIQ MO-
VET BYTX WZQTO L@BOE ZNA^ENIE |
2 |
x |
x |
|
W PROTIWNOM SLU |
- |
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
e |
|
|
|
|
( 1 |
1) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
^AE PEREHODQT KO WTORYM PRIBLIVENIQM x2 |
I x2 |
ISKOMOGO |
||||||||||||||||||||||||
KORNQ, DEJSTWUQ W TO^NOSTI PO OPISANNOJ SHEME S ZAMENOJ |
||||||||||||||||||||||||||
LI[X TO^EK a I b SOOTWETSTWENNO NA x1e I x1 : |
|
|
e |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
f x |
1) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f x |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
x2 = x1 |
|
|
( |
(b |
|
x1), |
x2 = x1 |
|
|
( |
1) |
|
, |
|
|
|
|
||||||||
|
; f(b);f(x1) |
; |
|
|
0 |
(x1) |
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
e; f |
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
e |
x |
|
|
|
|
||||||||
PRI \TOM1 f x |
2) |
< |
0 |
I f x |
> |
0, |
TAK ^TO x |
1 |
< x |
2 |
< < |
2 |
< x |
1 . |
||||||||||||
( |
|
|
( 2) |
|
|
|
e |
|
|
|
e |
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
e |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
1 w SILU TOGO, ^TO GRAFIKeWYPUKLOJ WNIZ FUNKCII LEVIT NIVEe HORe - DY, NO WY[E KASATELXNOJ.
257
oPISANNYJ PROCESS MOVNO PRODOLVATX NEOGRANI^ENNOE ^ISLO RAZ, POLU^AQ DWE POSLEDOWATELXNOSTI:
WOZRASTA@]U@ x1 x2 : : : xn : : : , OGRANI^ENNU@ SWERHU1, UBYWA@]U@ x1 x2 : : : xn : : : , OGRANI^ENNU@ SNIZU1,
DLQ WSEH \LEMENTOW KOTORYH BUDUT WYPOLNQTXSQ NERAWENSTWA
f(xn) < 0, A f(xne) >e0, A POTOMUe I NERAWENSTWA xn < < xn . |
|
||||||||||||||||||||||
|
pO TEOREME O SHODIMOSTI OGRANI^ENNYH MONOTONNYH PO- |
||||||||||||||||||||||
SLEDOWATELXNOSTEJ |
(SM. S. 77) OBE POSLEDOWATELXNOSTI |
xn |
|||||||||||||||||||||
I |
fxng |
|
e |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ef |
g |
||||
SHODQTSQ K |
(NEIZWESTNYM POKA) ^ISLAM x = lim xn |
I |
|||||||||||||||||||||
x = lim xn , K KOTORYM SHODQTSQ I POSLEDOWATELXNOSTI fxn+1g |
|||||||||||||||||||||||
I fxen+1g (SM. S. 66, SWOJSTWO 2), A TAK KAK PO POSTROENI@ |
|
||||||||||||||||||||||
e |
e |
|
e |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
f(xn) |
|
|
|
|
|
|
|
f(xn) |
|
|
|||||||
|
|
xn+1 |
= x1; |
|
|
(b ;xn), xn+1 = xn ; |
|
|
, |
|
|||||||||||||
|
|
f(b);f(xn) |
f 0(xn) |
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
e |
xn+1 |
||||||||||||||
PEREHOD W \TIH RAWENSTWAH K PREDELAM |
x |
= lim xn = lim |
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
e |
|
|
e |
|
|
e |
|
|
|
I x = lim xn = lim xn+1 PRIWODIT K RAWENSTWAM |
|
|
|||||||||||||||||||||
|
e |
|
|
|
|
|
f(x) |
|
|
|
|
f(x) |
|
|
|||||||||
|
x = x |
|
|
|
|
(b |
; |
xn), x = x |
; |
|
, |
|
|
||||||||||
|
|
f(b) |
|
f(x) |
f 0(x) |
|
|
||||||||||||||||
|
e |
|
; e |
|
; |
|
|
|
e |
e |
|
e |
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
e |
|
|
|||||
IZ KOTORYH SLEDUET, ^TO f(x) = f(xe) = 0, A POTOMU x = xe = . |TO OZNA^AET, ^TO POSLEDOWATELXNOSTI x1 x2 : : : xn : : :
(WOZRASTA@]AQ) I xe1 xe2 : : : xen : : : (UBYWA@]AQ) IME@T
OB]IM PREDELOM ISKOMYJ KORENX URAWNENIQ f(x) = 0. zADAW SKOLX UGODNO MALU@ WELI^INU \DOPUSTIMOJ POGRE[NOSTI" " > 0, MOVNO PO\TOMU BYTX UWERENNYM, ^TO WY^ISLENNYE NA n-OM [AGE OPISANNOGO PROCESSA ZNA^ENIQ xn I xen BUDUT UDOWLETWORQTX NERAWENSTWAM jxen ; xnj < " I xn < < xen , W SILU ^EGO ZNA^ENIQ xn I xen MOGUT BYTX WZQTY ZA PRIBLI- VENIQ ISKOMOGO KORNQ x = URAWNENIQ f(x) = 0 (SOOTWETSTWENNO S NEDOSTATKOM I S IZBYTKOM) S GARANTIEJ, ^TO
POGRE[NOSTX OKAVETSQ MENX[EJ ^ISLA ".
1 iSKOMYM KORNEM URAWNENIQ f(x) = 0.
258
V.6. ~TO PONIMA@T POD GLADKOJ LINIEJ NA PLOSKOSTI
gLADKAQ LINIQ NA KOORDINATNOJ PLOSKOSTI | \TO OBRAZ KAKOGO-LIBO PROMEVUTKA I DEJSTWITELXNOJ OSI PRI OTOBRA- VENII EGO W PLOSKOSTX PAROJ FUNKCIJ x = x(t), y = y(t), IME@]IH NA \TOM PROMEVUTKE NEPRERYWNYE PROIZWODNYE1 x = x(t), y = y(t), UDOWLETWORQ@]IE USLOWI@ x2 + y2 > 0, T. E. NE RAWNYE OBE NUL@ NI W ODNOJ TO^KE PROMEVUTKA I.
nAGLQDNO GLADKAQ LINIQ NA KOORDINATNOJ PLOSKOSTI ESTX SLED, OSTAWLQEMYJ DWIVU]EJSQ TO^KOJ PLOSKOSTI S DANNOJ ZAWISIMOSTX@
(x = x(t) y = y(t)
RIS. 19), PRI USLOWII, ^TO WEKTOR SKOROSTI DWIVENIQ fx yg NE OBRA- ]AETSQ W NULX, I KOORDINATY x = x(t) y = y(t) \TOGO WEKTORA QWLQ@TSQ NEPRERYWNYMI FUNKCIQMI PEREMENNOJ t 2 I.
y
x=x(t)
y=y(t)
x |
I |
t |
rIS. 19
1 pREDLOVENNOE nX@TONOM ([19], S. 257) OBOZNA^ENIE PROIZWODNYH (\FL@KSIJ" W EGO TERMINOLOGII) TO^KAMI NAD SIMWOLAMI FUNKCIJ (W KOLI^ESTWE, RAWNOM PORQDKU PROIZWODNOJ), SEJ^AS ISPOLXZUETSQ TOLXKO DLQ PROIZWODNYH PO PEREMENNOJ t, PONIMAEMOJ KAK WREMQ.
259
nE TREBUQ WYPOLENIQ USLOWIQ x2 + y2 >0, MOVNO POLU^ITX LINI@,
NE ZASLUVIWA@]U@ \PITETA \GLADKAQ". nAPRIMER, FUNKCII |
|||||||||
|
( |
|
|
|
( |
|
|
|
|
x = |
|
0 |
ESLI t<0 |
y = |
|
t2 |
ESLI t< 0 |
||
t2 |
ESLI t >0 |
|
|
0 |
ESLI t>0 |
||||
IME@]IE (NA WSEJ DEJSTWITELXNOJ OSI) NEPRERYWNYE PROIZWODNYE |
|||||||||
|
( |
|
|
|
|
( |
|
|
|
x = |
|
0 |
ESLI t< 0 |
y = |
|
2t |
ESLI t< 0 |
||
|
2t |
ESLI t >0 |
|
|
|
|
0 |
ESLI t >0 |
|
OTOBRAVA@T OTREZOK [;1 1] NA LOMANU@, IDU]U@ OT TO^KI (0 1) WNIZ PO OSI y DO TO^KI (0 0), A ZATEM WPRAWO PO OSI x DO TO^KI (1 0).
w SILU DANNOGO OPREDELENIQ GLADKAQ LINIQ (NA KOORDI-
NATNOJ PLOSKOSTI) ESTX PODMNOVESTWO L R2 , OBLADA@]EE |
|||
TEM SWOJSTWOM, ^TO DLQ EGO TO^EK (x y) USTANOWLEN PORQDOK |
|||
|
( |
|
|
SLEDOWANIQ IH DRUG ZA DRUGOM1 PO PRAWILU |
x = x(t) t |
2 |
I , |
|
y = y(t) |
|
|
NAZYWAEMOMU PARAMETRIZACIEJ2 GLADKOJ LINII L.
nAPRIMER, GLADKAQ LINIQ, KOTORU@ ZADAET PARA FUNKCIJ x = a cos t y = b sin t (a I b | POLOVITELXNYE ^ISLA), ESTX:
ESLI |
0 |
6 t 6 | |
WERHNQQ POLOWINA \LLIPSA |
x2 |
+ |
y2 |
= 1, |
|
a |
2 |
2 |
||||||
OBHODIMAQ OT TO^KI (a 0) K TO^KE (;a 0) 3 |
|
|
b |
|
||||
|
|
|
|
|
||||
ESLI |
0 |
6 t 6 2 |
| WESX \TOT \LLIPS, OBHODIMYJ (ODIN |
|||||
RAZ) OT TO^KI (a 0) \PROTIW HODA ^ASOWOJ STRELKI"
ESLI 0 6 t < 2 (SOOTWETSTWENNO, 0 < t < 2 ) | \TOT \LLIPS, NO RAZOMKNUTYJ W TO^KE (a 0) (SOOTWETSTWENNO, S
ISKL@^ENNOJ TO^KOJ (a 0))
ESLI ; 6t 6 3 | \TOT VE \LLIPS, DWAVDY OBHODIMYJ OT TO^KI (;a 0) \PROTIW HODA ^ASOWOJ STRELKI".
1 sOOTWETSTWU@]IJ PORQDKU SLEDOWANIQ TO^EK t PROMEVUTKA I.
2 pARAMETRIZACIQ ODNOWREMENNO ZADAET GLADKU@ LINI@ I EE OBHOD.
3 pEREHOD K PARE FUNKCIJ x = a cos(;t) y = b sin(;t) (PRI TOM VE IZMENENII t OT 0 DO ) DAET NIVN@@ POLOWINU \TOGO \LLIPSA (OBHO- DIMU@ OT TO^KI (a 0) K TO^KE (;a 0)).
260
|
0 |
eSLI (x0 y0) | KAKAQ-LIBO TO^KA GLADKOJ LINII L,1 T. E. |
||||||||||||||
|
= |
( |
0), |
|
0 = |
( |
0) |
|
0 2 |
|
, |
|
, |
|
- |
|
x |
|
|
x t |
|
y |
|
y t |
|
DLQ NEKOTOROGO t |
|
I |
|
TO |
|
PO KRAJ |
|
NEJ MERE, ODNA IZ PROIZWODNYH x(t) ILI y(t) NE RAWNA NUL@
PRI t = t0 , A SLEDOWATELXNO, SOHRANQET ZNAK W OKRESTNOSTI
TO^KI t0 . sOOTWETSTWU@]AQ FUNKCIQ x = x(t) ILI y = y(t) OKAZYWAETSQ W \TOM SLU^AE STROGO MONOTONNOJ W UKAZAN- NOJ OKRESTNOSTI, I POTOMU IMEET OBRATNU@ t = t(x) ILI t = t(y). sLEDUET WYWOD: L@BAQ GLADKAQ LINIQ L W OKREST- NOSTI KAVDOJ SWOEJ TO^KI (x0 y0) PREDSTAWLQET SOBOJ GRA- FIK FUNKCII2 LIBO y = y(t(x)), LIBO x = x(t(y)), PRI^EM \TA FUNKCIQ IMEET3 PROIZWODNU@: LIBO
y0 |
= (y(t(x)))0 |
= y(t(x))t0(x) = |
y(t) |
(GDE t = t(x)), |
|||
x(t) |
|||||||
x |
|
|
|
|
|||
LIBO |
|
|
x(t) |
|
|
||
x0 |
= (x(t(y)))0 |
= x(t(y))t0(y) = |
|
(GDE t = t(y)). |
|||
y(t) |
|||||||
y |
|
|
|
||||
mOVNO UTWERVDATX PO\TOMU (SM. S. 202), ^TO URAWNENIE
W ZAPISI |
|
y |
; |
( 0) = |
x |
; |
|
( 0) |
, T. E. y = |
y(t0) |
(x x0)+ y0 ILI VE |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
y t |
|
x t |
|
( |
0) |
; |
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
( 0) |
|
( |
0) |
|
x t |
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
y t |
|
x t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
( |
0) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
x = |
x t |
|
|
(y |
; |
y0) + x0 |
, ESTX URAWNENIE KASATELXNOJ PRQMOJ K |
|||||||||||||||
y t |
|
|
||||||||||||||||||||
( |
0) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
GLADKOJ LINII L W TO^KE (x0 y0) = (x(t0) y(t0)). |
x2 |
|
y2 |
|
||||||||||||||||||
nAPRIMER, KASATELXNAQ PRQMAQ K \LLIPSU |
+ |
= 1 W |
||||||||||||||||||||
2 |
2 |
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
b |
||
KAKOJ-LIBO EGO TO^KE (x0 y0) = (a cos t0 b sin t0) IMEET URAW-
NENIE y ;b sin t0 |
= x ;a cos t0 , |
ILI |
x02x |
+ y02y = 1. |
|||||||||
b cos t0 |
;a sin t0 |
|
|
a |
|
|
b |
|
|
|
|
||
|
|
|
x = x(t) |
|
|
|
|
|
|
||||
1 iME@]EJ PARAMETRIZACI@ L : |
|
|
t |
2 |
I . |
||||||||
|
|
|
|
|
y = y(t) |
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
( |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 pRO TAKU@ FUNKCI@ GOWORQT, ^TO ONA ZADANA |
PARAMETRI^ESKI |
| |
|||||||||||
|
|||||||||||||
^EREZ PEREMENNU@ (PARAMETR) t: |
x = x(t) |
t |
2 |
I . |
|
|
|
|
|||||
|
|
|
y = y(t) |
|
|
|
|
|
|
||||
(
3 w SILU TEOREM O PROIZWODNOJ SLOVNOJ I OBRATNOJ FUNKCII (SM.
S. 190, 191).