Шведенко Начала математического анализа 2011
.pdf
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
121 |
|
|
|
;1j = jtj |
jexp |
it |
|
;1j |
= jtj |
exp |
it |
;1 |
. |
||||||||||||||||
ln = njexp |
it |
n |
|
n |
|||||||||||||||||||||||
n |
|
|
|
|
|
it |
|
|
|
|
|
|
it |
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
j |
n |
j |
|
n |
|
||||||||||
tAK KAK POSLEDOWATELXNOSTX |
|
|
|
|
it |
|
SHODITSQ K NUL@, IZ KRI- |
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
n |
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
TERIQ (\KWIWALENTNOGO OPREDELENIQ) PREDELA FUNKCII \^E- |
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
REZ POSLEDOWATELXNOSTI", PRIMENENNOGO K OSNOWNOMU PREDE- |
|||||||||||||||||||||||||||
LU DLQ \KSPONENTY lim exp z |
;1 = 1 (SM. S. 107), SLEDUET: PO- |
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
z!0 |
|
z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
SLEDOWATELXNOSTX |
exp |
it |
;1 |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
n |
|
SHODITSQ K EDINICE, A POSLEDO- |
|||||||||||||||||||||||||
|
|
it |
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
n |
|
|
|
it |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
WATELXNOSTX flng = jtj |
exp |
;1 |
|
|
|||||||||||||||||||||||
n |
| SOOTWETSTWENNO K ^ISLU |
||||||||||||||||||||||||||
|
it |
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
jtj. nO PREDEL (PRI n ! +1) |
POSLEDOWATELXNOSTI flng DLIN |
||||||||||||||||||||||||||
PRAWILXNYH n-ZWENNYH |
LOMANYH, |
|
WPISANNYH W EDINI^NU@ |
||||||||||||||||||||||||
OKRUVNOSTX I IME@]IH OB]IE KONCEWYE TO^KI 1 I eit, ESTX PO OPREDELENI@ DLINA DUGI EDINI^NOJ OKRUVNOSTI MEVDU UKAZANNYMI TO^KAMI (WOZMOVNO, S DOBAWLENIEM CELOGO KRAT- NOGO DLINY OKRUVNOSTI1, T. E. 2 k). oPQTX POLXZUQSX TEM,
|
exp |
it |
;1 = 1, MOVNO ZAKL@^ITX: PRI WSEH DOSTA- |
||||||
^TO lim |
n |
||||||||
n!+1 |
|
it |
|
|
|
|
|
||
|
n |
||||||||
TO^NO BOLX[IH n WEKTOR exp |
it |
;1 (NAPRAWLQ@]IJ DLQ PER- |
|||||||
n |
|||||||||
WOGO ZWENA LOMANOJ) OBRAZUET S WEKTOROM |
it |
OSTRYJ UGOL, |
|||||||
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
WSLEDSTWIE ^EGO PRI t > 0 NAPRAWLENIE OTS^ETA DLINY DUGI |
|||||||||
OT TO^KI 1 K TO^KE exp(it) = eit QWLQETSQ POLOVITELXNYM (\PROTIW HODA ^ASOWOJ STRELKI"), A PRI t < 0 | OTRICA- TELXNYM (W PROTIWOPOLOVNOM NAPRAWLENII). oKON^ATELX- NO: ARGUMENT ^ISLA eit, IZMERQEMYJ2 DLINOJ DUGI EDINI^NOJ
OKRUVNOSTI MEVDU NAPRAWLENIQMI (IZ NA^ALA KOORDINAT) NA TO^KI 1 I eit, RAWEN2 ^ISLU t:
1 lOMANYE, SOEDINQQ TO^KI 1 I eit, MOGUT SKOLXKO-TO RAZ OBOJTI WOKRUG CENTRA OKRUVNOSTI.
2 s TO^NOSTX@ DO SLAGAEMOGO, KRATNOGO 2 .
122
arg eit = t (+2k). Q.E.D.
pEREHOD K POLQRNOJ ZAPISI ^ISLA eit S U^ETOM USTANOW- LENNYH SOOTNO[ENIJ jeitj = 1 arg eit = t (+2k) PRIWODIT K
RAWENSTWU
eit = cos t + i sin t ,
NAZYWAEMOMU FORMULOJ |JLERA.
kOMBINIRUQ \TO RAWENSTWO S DRUGIM EGO \KZEMPLQROM, ZAPISANNYM W WIDE e;it = cos t ; i sin t, MOVNO POLU^ITX \K- WIWALENTNYE FORMULE |JLERA RAWENSTWA
cos t = |
eit + e;it |
, |
sin t = |
eit ;e;it |
, |
|
|||||
2 |
|
|
2i |
|
|
TAKVE NAZYWAEMYM FORMULAMI |JLERA1. wTOROE IZ NIH W SO-
EDINENII S OSNOWNYM PREDELOM DLQ \KSPONENTY (SM. S. 107)
PRIWODIT K OSNOWNOMU PREDELU DLQ SINUSA:
lim |
sin t |
= lim |
eit;e;it |
= |
lim |
ez;e;z |
|
= lim |
ez;1+1;e;z |
= |
|
||||||||||||||||||||
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
t!0 t |
|
t!0 |
|
2it |
it=z z!0 |
2z |
|
|
z!0 |
|
|
|
2z |
|
;z= |
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
1 |
;lim |
ez;1 |
+ lim |
e |
;1 |
= 1 |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
z!0 |
|
|
z |
!0 |
|
|
|
|
|
|||||||
EGO STOIT WYDELITX BOLEE ZAMETNO (I S BOLEE TRADICIONNYM |
|||||||||||||||||||||||||||||||
OBOZNA^ENIEM x DEJSTWITELXNOJ PEREMENNOJ): |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
lim |
sin x |
= 1 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
x!0 x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
wARIANT DOKAZATELXSTWA: ESLI |
fxng |
| L@BAQ SHODQ]AQSQ K NUL@ |
|||||||||||||||||||||||||||||
POSLEDOWATELXNOSTX DEJSTWITELXNYH ^ISEL xn |
6 |
= 0,TO POSLEDOWATELX- |
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
eixn ;1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
NOSTX |
|
|
|
SHODITSQ K EDINICE, A WMESTE S NEJ SHODITSQ K EDINI- |
|||||||||||||||||||||||||||
|
ixn |
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
CE I POSLEDOWATELXNOSTX |
|
eixn ;1 |
|
|
|
|
cos xn |
+ i sin xn ;1 |
|
|
sin xn |
|
|||||||||||||||||||
Re |
|
|
= Re |
|
= |
|
|
||||||||||||||||||||||||
ixn |
|
|
|
|
|
|
ixn |
|
|
|
xn |
||||||||||||||||||||
OSTAETSQ WOSPOLXZOWATXSQ KRITERIEM (\KWIWALENTNYM OPREDELENIEM)
PREDELA FUNKCII \^EREZ POSLEDOWATELXNOSTI".
1 iMENNO W \TOM WIDE |JLER PERWONA^ALXNO POLU^IL NAZWANNYE EGO IMENEM FORMULY. tOT SPOSOB, KOTORYM |JLER WYWEL \TI FORMULY IZ FORMULY mUAWRA (SM. S. 58), IZLOVEN W xx 132{138 EGO ZNAMENITOJ MO- NOGRAFII [29].
123
~UWSTWENNYE L@DI PREDPO^ITA@T NAZYWATX EGO \PERWYM ZAME^ATELXNYM PREDELOM" I PRIWODITX GEOMETRI^ESKIE EGO DOKAZATELXSTWA, NE WSE IZ KOTORYH, ODNAKO, LOGI^ESKI BEZ- UPRE^NY.
nA^ALXNYM [AGOM \TIH DOKAZATELXSTW QWLQETSQ WYWOD1
NERAWENSTW sin jxj<x jxj< tg1 jxj, IZ KOTORYH ZATEM POLU^A@T2 |
||||||||||||||||
NERAWENSTWA 1< |
|
< |
|
|
|
, PEREHOD K PREDELU W KOTORYH (S |
||||||||||
sin x |
|
cos x |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|||
U^ETOM TOGO, ^TO lim |
|
|
1 |
= 1) DAET lim |
|
= 1, A POTOMU I |
||||||||||
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
sin x |
|
x!0 cos x |
|
|
x!0 sin x |
|
|
|
|||||||
lim |
= 1. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
x!0 x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
oBY^NO PREDLAGAEMYJ W KURSAH ANALIZA WYWOD UPOMQNU- |
||||||||||||||||
TYH NERAWENSTW SRAWNENIEM PLO]ADEJ: 1) RAWNOBEDRENNOGO |
||||||||||||||||
TREUGOLXNIKA OAB, 2) KRUGOWOGO SEKTORA OAB, 3) PRQMO- |
||||||||||||||||
UGOLXNOGO TREUGOLXNIKA OCB: |
sin jxj |
< jxj |
< |
tgjxj |
(RIS. 7, A) |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
2 |
|
2 |
|
||
SODERVIT KLASSI^ESKU@ O[IBKU \PORO^NOGO KRUGA" (\circulus
vitiosus"), KOTORU@ MNOGIE WIDQT, NO PREDPO^ITA@T NE ZAME-
^ATX. pOLAGATX PLO]ADX KRUGOWOGO SEKTORA OAB, OPIRA-
@]EGOSQ NA DUGU EDINI^NOJ OKRUVNOSTI DLINY jxj, RAWNOJ
jx2j (TOGDA KAK ONA PO OPREDELENI@3 ESTX PREDEL, K KOTORO-
MU STREMITSQ SUMMA PLO]ADEJ RAWNOBEDRENNYH TREUGOLX-
NIKOW, IME@]IH OB]EJ WER[INOJ CENTR OKRUVNOSTI, A OS- NOWANIQMI ZWENXQ PRAWILXNOJ LOMANOJ, WPISANOJ W UKAZAN- NU@ DUGU, PRI NEOGRANI^ENNOM UWELI^ENII ^ISLA ZWENXEW,
T. E. PREDEL PRI n ! +1 WELI^INY n12 sin jnxj ), ZNA^IT PRI
WYWODE PREDELXNOGO SOOTNO[ENIQ lim sin x = 1 POLXZOWATXSQ
x!0 x
SAMIM \TIM SOOTNO[ENIEM, ^TO I ESTX \PORO^NYJ KRUG".
1 w PREDPOLOVENII, ^TO 0 < jxj < .
2 2
dELENIEM NA sin jxj I POSLEDU@]IM SNQTIEM ZNAKA MODULQ WWIDU ^ETNOSTI WOZNIKA@]IH DROBEJ.
3 tOMU, KOTORYM RASPOLAGA@T WYPUSKNIKI [KOLY.
124
rIS. 7
lOGI^ESKI KORREKTNYJ WYWOD UPOMQNUTYH NERAWENSTW OS- NOWAN NA SRAWNENII DLIN IZOBRAVENNYH NA RIS. 7, A :
1)HORDY B0B (PERPENDIKULQRNOJ K GORIZONTALXNOJ OSI), STQGIWA@]EJ DUGU B0AB \TOJ OKRUVNOSTI DLINY 2jxj< ,
2)LOMANOJ B0CB, ZWENXQ KOTOROJ KASA@TSQ EDINI^NOJ OKRUVNOSTI W TO^KAH B0 I B.
sTANDARTNYJ PROCESS POSLEDOWATELXNOGO \UDWOENIQ" ^IS- LA ZWENXEW (EGO NA^ALO PROILL@STRIROWANO NA RIS. 7, A,B) PRIWODIT K POSLEDOWATELXNOSTQM:
1)WPISANNYH W DUGU B0AB PRAWILXNYH LOMANYH (S ^IS-
LOM ZWENXEW 20 21 22 : : : ), DLINY ln KOTORYH OBRAZU@T1 WOZ-
2 sin jxj = l0 < l1 < l2 < ,
2) OPISANNYH OKOLO \TOJ DUGI LOMANYH (S ^ISLOM ZWENXEW x0 = 2 xn = 2xn;1 ;1), DLINY ln KOTORYH OBRAZU@T1 UBYWA- @]U@ POSLEDOWATELXNOSTX 2tgjxj = l0 > l1 > l2 >
tAK KAK ln < ln, A lim ln = 2jxj (DLINA DUGI B0AB), SLE-
n!+1
DUET WYWOD: sin jxj < jxj < tg jxj PRI 0 < jxj < 2 .
1 w SILU IZWESTNOGO SWOJSTWA STORON TREUGOLXNIKA: SUMMA DLIN L@-
BYH DWUH EGO STORON BOLX[E DLINY TRETXEJ EGO STORONY.
125
III.5. kAKIE RAZNOWIDNOSTI IME@T PONQTIQ PREDELA I NEPRERYWNOSTI FUNKCII
oDNOSTORONNIE PREDELY I NEPRERYWNOSTX
~ISLO b1 ESTX PREDEL FUNKCII y = f(x) DEJSTWITELXNOJ
|
|
|
|
TO^KE |
a |
2 |
|
|
|
SLEWA |
1 |
( |
|
|
|
b1 = lim |
|
f(x), |
|
||||||||||||||
PEREMENNOJ W |
|
R |
|
ZAPISX |
|
|
x!a;0 |
|
|
|
|
|
ILI |
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
f(x) ! b1 PRI x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
! a;0), ESLI ISTINNO UTWERVDENIE |
.2 |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
8">0 |
9 >0 |
8x a; < x<a ) jf(x);b1j<" |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
PREDEL; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
W |
TO^KE |
|
|
|
|
|
|||||||||||||
~ISLO b2 ESTX |
FUNKCII y = f(x) |
|
a R |
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
( |
|
|
|
b2 = lim |
f(x), |
|
|
|
f(x) |
|
|
b2 |
|
|
x |
|
|
|
|
a+0), |
|||||||||||||
SPRAWA |
3 ZAPISX |
|
|
|
x!a+0 |
|
|
ILI |
|
|
! |
|
PRI |
|
! |
|
2 |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
ESLI ISTINNO UTWERVDENIE |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
8">0 |
9 >0 |
8x a< x< a+ ) jf(x);b2j<" |
. |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
oB]EPRINQTYMI STALI OBOZNA^ENIQ ODNOSTORONNIH PRE- |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
DELOW SIMWOLAMI4 f(a |
; |
|
0) (PREDELA SLEWA) I f(a+0) (PREDELA |
||||||||||||||||||||||||||||||
SPRAWA): f(a |
|
|
|
def |
|
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
def |
lim f(x). |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
; |
0) = |
lim |
f(x) f(a+0) = |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
x!a;0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x!a+0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
iZ SOPOSTAWLENIQ DANNYH OPREDELENIJ S OPREDELENIEM
PREDELA FUNKCII W TO^KE (SM. S. 109) SLEDUET WYWOD:
fUNKCIQ y = f(x) (DEJSTWITELXNOJ PEREMENNOJ x) IMEET W TO^KE a PREDEL, RAWNYJ b, W TOM I TOLXKO W TOM SLU^AE, KOGDA ONA IMEET W \TOJ TO^KE PREDEL SLEWA I PREDEL SPRAWA,
OBA RAWNYE b.
1 iLI PRI x, STREMQ]EMSQ K TO^KE a SLEWA.
2 \dLQL@BOGO POLOVITELXNOGO ^ISLA, OBOZNA^ENNOGO ", SU]ESTWUET TAKOE POLOVITELXNOE ^ISLO, OBOZNA^ENNOE , ^TO DLQ WSEH ZNA^ENIJ PEREMENNOJ x IZ INTERWALA (a; a) LEWOJ -OKRESTNOSTI (ILI, KAK E]E GOWORQT, LEWOJ -POLUOKRESTNOSTI) TO^KI a ZNA^ENIE FUNKCII f(x) OTLI^AETSQ OT ^ISLA b1 MENX[E, ^EM NA "".
3 iLI PRI x, STREMQ]EMSQ K TO^KE a SPRAWA.
4 wWEDENNYMI W 1837 G. NEMECKIM MATEMATIKOM dIRIHLE (Dirichlet Gustav Peter Lejeune, 1805{1859) NA S. 170 EGO OSNOWOPOLAGA@]EJ RABO- TE PO RQDAM fURXE (Repertorium der Physik, I Band. Berlin, 1837).
126
wOT PRIWODIMOE DLQ POLNOTY EGO DOKAZATELXSTWO | NE DO KONCA
FORMALXNOE, NO S WKRAPLENIEM PRAWIL FORMALXNOGO WYWODA (SM. S. 8).
|
pUSTX SU]ESTWUET lim f |
(x) = b, T. E. ISTINNO UTWERVDENIE |
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
x!a |
|
|
0< jx;aj< ) jf (x) |
;bj<" . |
|
|
|
|
|
||||||||
C |
j |
; j |
8">09 >08x |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
pOLAGAQ |
A |
0 |
= |
a |
; |
< x < a |
A |
00 |
= |
a < x < a+ |
B |
= (0 |
< |
x |
; |
a |
< ), |
||||||||
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
; |
|
|
|
|
|
|
j |
|
j |
|
||||||
f(x) b <" |
I PRIMENQQ SHEMU WYWODA, OSNOWANNU@ NA TAWTOLOGII |
||||||||||||||||||||||||
((A |
;) B)^(B ) C)) ) (A ) C), PRIHODQT K ISTINNOSTI UTWERVDENIJ |
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
8">0 |
9 >0 |
8x a; < x<a ) jf(x);bj<" , |
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
8">0 |
9 >0 |
8x;a< x< a+ ) jf(x);bj<" , |
|
|
|
|
|
|||||||||||||
OZNA^A@]IH, ^TO b = lim |
|
f (x) = |
lim |
f(x). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
x!a;0 |
|
; |
|
|
x!a+0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
nAOBOROT, PUSTX ISTINNY OBA POSLEDNIH UTWERVDENIQ, I DLQ PROIZWOLXNO WZQTOGO ZNA^ENIQ " > 0 PUSTX 1 I 2 | SU]ESTWU@]IE DLQ \TOGO ZNA^ENIQ " (SOOTWETSTWENNO PERWOMU I WTOROMU UTWERVDENIQM) ZNA^ENIQ . wOZMOVNOSTX WZQTX RAWNYM NAIMENX[EMU IZ ZNA^ENIJ1 2 OBESPE^IWAET ISTINNOSTX UTWERVDENIQ
8">09 >08x (a; < x<a )jf(x);bj<") ^ (a< x< a+ )jf(x);bj<") , |
||||||||||||||||
; |
0 |
|
00 |
|
0 |
00 |
|
B ) |
0 |
00 |
|
|
||||
|
|
|
A |
_A |
||||||||||||
A ISTINNOSTX (W PREDYDU]IH OBOZNA^ENIQH) IMPLIKACII |
( |
|
|
) |
|
|||||||||||
WKUPE S TAWTOLOGIEJ (B)(A _A ))^ |
(A ) C)^(A )C) ) (B)C) | |
|||||||||||||||
|
|
|
x!a |
|
|
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
||
ISTINNOSTX UTWERVDENIQ 8" >0 |
9 >08x 0 < jx;aj< ) jf(x); bj< " |
, |
|
|||||||||||||
OZNA^A@]EGO, ^TO lim f(x) = b. Q.E.D. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
fUNKCI@ y = f(x) NAZYWA@T |
NEPRERYWNOJ SLEWA |
W TO^KE |
||||||||||||||
|
|
|||||||||||||||
a 2 R, ESLI |
f(a;0) = f(a) |
, I, SOOTWETSTWENNO, |
NEPRERYWNOJ |
|
||||||||||||
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
SPRAWA |
, ESLI |
f(a+0) = f(a) |
NEPRERYWNOSTX VE FUNKCII W |
|||||||||||||
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
\TOJ TO^KE OZNA^AET, ^TO |
f(a;0) = f(a+0) = f(a) |
. |
|
|
|||||
pO ANALOGII S ODNOSTORONNIMI PREDELAMI WWODQT ZAPISX |
|||||||||
limf(x) = b |
; |
0, OBOZNA^AQ E@ ISTINNOSTX UTWERVDENIQ |
|||||||
x!a |
|
|
|
|
|
|
|
||
8">09 >08x 0<jx;aj< ) b;"<f(x) <b |
, |
||||||||
|
|||||||||
I, SOOTWETSTWENNO, limf(x) = b+0 |
| DLQ OBOZNA^ENIQ ISTIN- |
||||||||
|
|
|
x!;a |
|
|
|
|
||
NOSTI UTWERVDENIQ |
|
|
|
|
|||||
8">09 >08x;0<jx;aj< ) b<f(x) <b+" .
127
pREDELY W BESKONE^NOSTI I BESKONE^NYE PREDELY
pONQTIQMI, RODSTWENNYMI ODNOSTORONNIM PREDELAM, QW- LQ@TSQ PREDELY FUNKCII (DEJSTWITELXNOJ PEREMENNOJ) W
BESKONE^NO UDALENNYH TO^KAH +1 I ;1.
~ISLO b NAZYWA@T PREDELOM FUNKCII y = f(x) PRI x,
STREMQ]EMSQ K +1 (S OBOZNA^ENIQMI \TOGO lim f(x) = b
x!+1
ILI f(x) ! b PRI x ! +1), ESLI ISTINNO UTWERVDENIE
8">09c>08x;x>c ) jf(x);bj<" 1,
IME@]EE SLEDU@]IJ SMYSL: \KAKOWO BY NI BYLO POLOVI-
TELXNOE ^ISLO ", SU]ESTWUET TAKAQ OKRESTNOSTX \LEMENTA +1 (PROMEVUTOK WIDA (c +1)), ^TO DLQ WSQKOJ TO^KI x IZ \TOJ OKRESTNOSTI ZNA^ENIE f(x) OTLI^AETSQ OT ^ISLA b
MENX[E, ^EM NA "".
~ISLO b NAZYWA@T PREDELOM FUNKCII y = f(x) PRI x,
STREMQ]EMSQ K ;1 (S OBOZNA^ENIQMI \TOGO lim f(x) = b
x!;1
ILI f(x) ! b PRI x ! ;1), ESLI ISTINNO UTWERVDENIE
8">09c>08x;x<;c ) jf(x);bj<" .
s^ITA@T PO OPREDELENI@, ^TO FUNKCIQ y = f(x) IMEET W
TO^KE a BESKONE^NYJ PREDEL +1 (S ZAPISX@ limf(x) = +1,
x!a
ILI f(x) ! +1 PRI x ! a), ESLI ISTINNO UTWERVDENIE
8c>09 >08x;0<jx;aj< ) f(x) >c ,
IME@]EE SLEDU@]IJ SMYSL: \DLQ L@BOGO POLOVITELXNOGO
^ISLA c SU]ESTWUET TAKAQ OKRESTNOSTX TO^KI a, ^TO DLQ WSEH (OTLI^NYH OT a) TO^EK x IZ \TOJ OKRESTNOSTI, ZNA^E- NIQ f(x) OKAZYWA@TSQ BOLX[IMI ^ISLA c".
1 wARIANT PRO^TENIQ: \DLQ L@BOGO POLOVITELXNOGO ^ISLA " SU- ]ESTWUET TAKOE POLOVITELXNOE ^ISLO c, ^TO DLQ WSEH ZNA^ENIJ x, BOLX[IH c, ZNA^ENIQ f (x) OTLI^A@TSQ OT ^ISLA b MENX[E, ^EM NA "".
128
|
sOOTWETSTWENNO, |
ISTINNOSTX UTWERVDENIQ |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
8c>09 >08x |
|
0<jx;aj< ) f(x) <;c |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
; |
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y = f(x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
) |
|
|
|
|
||||
OZNA^AET PO OPREDELENI@ |
^TO FUNKCIQ |
|
|
|
IMEET W |
||||||||||||||||||||||||||
ILI f(x) ! ;1 PRI x ! a). ;1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
;1 |
|
||||||||||||||||||
TO^KE a |
|
BESKONE^NYJ PREDEL |
|
|
(S ZAPISX@ limf(x) = |
|
, |
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x!a |
|
|
|
|
|
|
fUNKCI@ y = f(x) NAZYWA@T |
BESKONE^NO BOLX[OJ |
PRI x, |
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x!aj |
|
j |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
STREMQ]EMSQ K a, |
ESLI lim |
f(x) |
= + |
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
wY[EPRIWEDENNYE RAZNOWIDNOSTI PONQTIQ PREDELA FUNK- |
||||||||||||||||||||||||||||||
CII W TO^KE DOPUSKA@T [IROKU@ GIBRIDIZACI@ W WIDE TA- |
|||||||||||||||||||||||||||||||
KIH SOOTNO[ENIJ, |
KAK: A) lim f(x) = b+0, |
B) lim f(x) = b 0, |
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x!;1 |
|
|
|
|
|
|
|
x!a+0 |
|
|
|
; |
|
|||
W) |
lim |
f(x) =+ |
1 |
, G) |
lim f(x) = |
;1 |
, WYPOLNENIE KOTORYH |
||||||||||||||||||||||||
|
x!a;0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x!+1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
PO OPREDELENI@ OZNA^AET ISTINNOSTX UTWERVDENIJ, WYRAVA- |
|||||||||||||||||||||||||||||||
EMYH FORMULAMI: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
A) |
8">0 |
9c>0 |
8x x<;c ) b <f(x)< b+" , |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
B) |
|
">0 |
9 |
>0 |
8 |
x |
; |
a<x<a+ |
) |
b |
; |
"<f(x) < b , |
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
8 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
W) 8c>0 9 >0 8x;a |
; <x<a ) f(x) >c , |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
G) |
8c>0 |
9d>0 |
8x;x>d ) f(x)<;c |
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
dLQ KAVDOGO IZ \TIH (I IM PODOBNYH) WARIANTOW PONQTIQ |
||||||||||||||||||||||||||||||
PREDELA FUNKCII ESTX ANALOGI^NYJ DOKAZANNOMU NA S. 109{ 110 KRITERIJ (\KWIWALENTNOE OPREDELENIE) \^EREZ POSLEDO-
WATELXNOSTI". wOT, K PRIMERU, KAK ON WYGLQDIT PRIMENITELXNO K PERWOMU IZ PERE^ISLENNYH.
lim f(x) = b+0 W TOM I TOLXKO W TOM SLU^AE, KOGDA ISTIN-
x!;1
NO UTWERVDENIE: \KAKOWA BY NI BYLA POSLEDOWATELXNOSTX fxng DEJSTWITELXNYH ^ISEL, RASHODQ]AQSQ K ;1, SOOT-
WETSTWU@]AQ EJ POSLEDOWATELXNOSTX ff(xn)g SHODITSQ K ^ISLU b TAK, ^TO WSE EE \LEMENTY f(xn) OSTA@TSQ BOLX[IMI
^ISLA b ".
129
dOKAZATELXSTWO. pUSTX lim f(x) = b + 0, T. E. ISTINNO
UTWERVDENIE
x!;1
8">0 9c>0 8x;x<;c ) b <f(x)< b+" ,
I PUSTX fxng | L@BAQ POSLEDOWATELXNOSTX DEJSTWITELXNYH ^ISEL, RASHODQ]AQSQ K ;1. eSLI " | PROIZWOLXNO WZQTOE POLOVITELXNOE ^ISLO, TO (TAK KAK lim xn = ;1) DLQ SU]ESTWU@]EGO (W SILU UKAZANNOGO UTWERVDENIQ) ^ISLA c (KAK I DLQ L@BOGO POLOVITELXNOGO ^ISLA) SU]ESTWUET TA-
KOE NATURALXNOE ^ISLO n0, ^TO DLQ WSEH NATURALXNYH ^I-
SEL (\NOMEROW") n, BOLX[IH n0, SPRAWEDLIWO NERAWENSTWO xn < ;c, A SLEDOWATELXNO, I NERAWENSTWA b < f(xn) < b + ". w SILU PROIZWOLXNOSTI WYBORA ^ISLA " > 0 \TO OZNA^AET,
^TO POSLEDOWATELXNOSTX ff(xn)g SHODITSQ K ^ISLU b, PRI^EM |
|||||||||
f(xn) > b PRI WSEH n. |
|
|
|
|
|
|
|||
pUSTX TEPERX SOOTNO[ENIE |
lim f(x) = b+ 0 NE WYPOLNQ- |
||||||||
ETSQ, T. E. UTWERVDENIE |
|
|
x!;1 |
|
|
|
|||
; |
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||
LOVNO, |
8">0 9c>0 8x |
|
x<;c ) b <f(x)< b+" |
|
|
||||
I ISTINNO EGO OTRICANIE |
|
|
|
||||||
9">0 |
8c>0 9x |
; |
x<;c ^(f(x) 6b _ f(x)>b+" |
_ :!f(x)1 |
. |
||||
bERQ ODNO ZA DRUGIM ZNA^ENIQ c = 1 2 3 : : : |
I OBOZNA^AQ |
||||||||
x1 x2 x3 : : : ZNA^ENIQ x, SU]ESTWU@]IE (SOGLASNO POSLEDNEJ FORMULE) DLQ \TIH ZNA^ENIJ c, POLU^A@T POSLEDOWATELXNOSTX fxng TO^EK DEJSTWITELXNOJ OSI SO SWOJSTWOM: xn <;n PRI n = 1 2 3 : : : , A KAVDOE IZ ZNA^ENIJ f(xn) LIBO NE BOLX[E ^ISLA b, LIBO NE MENX[E ^ISLA b+ ", LIBO WOOB]E NE OPREDELENO. |TO OZNA^AET, ^TO POSLEDOWATELXNOSTX fxng RASHODITSQ K ;1, PRI \TOM NEWERNO, ^TO POSLEDOWATELXNOSTX ff(xn)g SHODITSQ K ^ISLU b I WSE EE \LEMENTY f(xn) BOLX[E
^ISLA b. Q.E.D.
1 oTRICANIEM UTWERVDENIQ b < f(x) < b +" QWLQETSQ UTWERVDENIE:
\LIBO f (x)6b, LIBO f(x)>b+", LIBO ZNA^ENIE f(x) NE OPREDELENO".
130
pREDEL FUNKCII W TO^KE PO MNOVESTWU
sLEDU@]IJ WARIANT PONQTIQ PREDELA FUNKCII W TO^KE PREDPOLAGAET, ^TO FUNKCIQ y = f(x) OPREDELENA NA MNOVES-
TWE X R, DLQ KOTOROGO \TA TO^KA QWLQETSQ PREDELXNOJ1.
~ISLO b NAZYWA@T PREDELOM FUNKCII y = f(x)
a PO MNOVESTWU X (S OBOZNA^ENIEM \TOGO lim f(x) = b),
X3x!a
ESLI ISTINNO UTWERVDENIE: \DLQ L@BOGO POLOVITELXNOGO ^ISLA (OBOZNA^AEMOGO ") SU]ESTWUET OKRESTNOSTX TO^KI a, W KAVDOJ TO^KE KOTOROJ, PRINADLEVA]EJ MNOVESTWU X, NO OTLI^NOJ OT a, ZNA^ENIE FUNKCII OTLI^AETSQ OT ^ISLA b
MENX[E, ^EM NA "" FORMULXNO: |
|
|
|
|
|
|
|
; |
|
.3 |
|
|
8">09 >08x (x 2 X) ^ (0<jx;aj< ) ) jf(x) ;bj<" |
|
|
sLEDUET POD^ERKNUTX: DANNOE OPREDELENIE IMEET SMYSL LI[X ESLI ONO PREDWARENO USLOWIEM, ^TO a ESTX PREDELXNAQ TO^KA MNOVESTWA X.4 dELO W TOM, ^TO ESLI \TO USLOWIE NE WYPOLNENO, TO PRI DOSTATO^NO MALYH ZNA^ENIQH > 0 UTWERVDENIE (x 2 X) ^ (0< jx;aj< ) OKAZYWAETSQ LOVNYM, A UTWERVDENIE
1 tO^KA a NAZYWAETSQ PREDELXNOJ (PO-DRUGOMU: TO^KOJ NAKOPLENIQ, TO^KOJ SGU]ENIQ) DLQ MNOVESTWA X, ESLI W L@BOJ OKRESTNOSTI TO^KI a ESTX TO^KI, PRINADLEVA]IE MNOVESTWU a, OTLI^NYE OT a FORMULX-
NO: 8 >0 |
9x(x2X ^ |
0<jx;aj< ), ESLI a | TO^KA DEJSTWITELXNOJ OSI |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
(ILI KOMPLEKSNOJ PLOSKOSTI), |
|
|
c>0 |
9 |
x(x |
2 |
X |
^ |
x>c), ESLI a |
=+ |
, I |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
>0 |
9 |
x(x |
2 |
X |
^ |
x< |
; |
c), |
|
ESLI a = |
8 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
8 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
;1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
iLI PRI STREMLENII x K TO^KE. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
3 a ESLI a = +1 ILI a = ;1, TO SOOTWETSTWENNO |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
8">09c>08x (x 2X) ^ (x>c) ) jf(x);bj<" |
, |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
8 |
">0 |
9 |
c>0 |
8 |
x |
(x |
2 |
X) |
^ |
(x< |
; |
c) |
) j |
f(x) |
b |
<" . |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
; j |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
pO \TOJ PRI^INE DANNOE USLOWIE PREDPO^TITELXNEE WKL@^ATX W |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
SAMU FORMULU: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
\ lim |
f(x) = b" |
def |
|
|
|
8 |
>0 |
9 |
x(x |
2 |
X |
^ |
0< |
j |
x |
; |
a |
|
< ) |
^ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
X3x!a |
|
|
|
|
() |
|
|
|
9 |
|
|
8 |
|
|
|
|
|
^ |
|
j |
|
|
|
) j |
|
; j |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
^;8 |
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
; |
|
2 |
|
|
|
|
|
j |
|
; j |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
">0 |
|
>0 |
|
|
x |
(x |
|
|
X) |
|
|
(0< x |
a < ) |
|
|
f (x) |
b |
<" |
|
. |
|||||||||||||||||||||