Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Национальный исследовательский ядерный университет (МИФИ)

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Шведенко Начала математического анализа 2011

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

12.11.2022

Размер:

5.86 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 2324 / 3324 25 26 27 28 29 30 31 32 33 > Следующая >>>

231

zAME^ANIE 1. aSIMPTOTI^ESKAQ FORMULA tEJLORA OBLA-

DAET SLEDU@]IM SWOJSTWOM EDINSTWENNOSTI.

eSLI DLQ FUNKCII y = f(x) IMEET MESTO ASIMPTOTI^ESKOE

RAWENSTWO						;				0
(	,					;				0
f(x) = a0 + a1(x;x0)+		+an(x;x0)n+o (x;x0)n							x ! x0		,
TO	W PREDPOLOVENII1		^TO FUNKCIQ IMEET W TO^KE x							PRO-
IZWODNU@ PORQDKA n) NEPREMENNO
	a0 = f(x0) a1		=	f 0	x		f(n) x	,
	a0 = f(x0) a1		=		( 0) : : : an =		( 0)	,
					1!		n!

T. E. \TO ASIMPTOTI^ESKOE RAWENSTWO NA SAMOM DELE ESTX ASIMPTOTI^ESKAQ FORMULA tEJLORA2.

dOKAZATELXSTWO. rEZULXTAT WY^ITANIQ ASIMPTOTI^ESKOJ FORMULY tEJLORA IZ DANNOGO ASIMPTOTI^ESKOGO RAWENSTWA ESTX ASIMPTOTI^ESKOE RAWENSTWO

0 = ;a0 ;f(x0) + ;a1 ; f 0(x0) (x;x0) + +

+;an ; f (n)(!x0) (x;x0)n +o;(x;x0)n x ! x0 , n

PEREHOD W KOTOROM K PREDELU PRI x ! x0 DAET: a0 ;f(x0) = 0. pOSKOLXKU (x ;x0) OKAZYWAETSQ OB]IM MNOVITELEM PRAWOJ ^ASTI, SOKRA]ENIE NA NEGO PREOBRAZUET RAWENSTWO W

0 =

a1 ;

f 0

(x0)

+ +

;

(n) x

(x;x0)

n;1

+o;(x;x0)

n;1

( 0)

+;an ;

x ! x0 ,

TAK ^TO (KAK POKAZYWAETSQ PEREHOD K PREDELU PRI x

x0 )

(x0)

a1 ;

= 0, A SLEDOWATELXNO, (x ;x0) OPQTX OKAZYWAETSQ

OB]IM MNOVITELEM PRAWOJ ^ASTI I T. D. nA n-M [AGE POLU-

f (n) x

^A@T: an ;

(

= 0, Q.E.D.

1 |TO SU]ESTWENNOE PREDPOLOVENIE (SM. ZAME^ANIE 3 NIVE). 2 pERWYM NA \TOT FAKT UKAZAL mAKLOREN ([47], S. 610{611).

232

zAME^ANIE 2

. oBOZNA^ENIQ f(x) ;f(x0) = Mf , x ;x0 = Mx

PRIDA@T ASIMPTOTI^ESKOJ FORMULE tEJLORA WID

Mf x

f 0 x

f 00

Mx 2

f(n) x

o Mx n

( 0)

(

0) Mx n

( ) =

(

( ) + +

( ) +

( )

ILI, ^TO TO VE SAMOE,

;

PRI

f(x) = df +

2! d f

+ n! d f + o

( x)

x ! 0.

zAME^ANIE 3

. wYPOLNENIE (W TEH VE OBOZNA^ENIQH) ASIMP-

TOTI^ESKOGO RAWENSTWA

;

a Mx n

o Mx n Mx

! 0,

+ n( )

( )

OBESPE^IWAET SU]ESTWOWANIE U FUNKCII y

f x

W TO^KE x

;

= ( )

LI[X PERWOJ PROIZWODNOJ I PERWOGO DIFFERENCIALA1, TOG- DA KAK SU]ESTWOWANIE W \TOJ TO^KE WTOROJ PROIZWODNOJ I WTOROGO DIFFERENCIALA (RAWNO KAK I SLEDU@]IH) NE GARAN- TIROWANO. pODTWERVDAET \TO PRIMER FUNKCII

def

+ a1(x;x0) + a2(x;x0)2 +

f(x) = a0

(x;x0)3 ESLI x | RACIONALXNOE ^ISLO

(

ESLI x | IRRACIONALXNOE ^ISLO

DLQ KOTOROJ (PRI L@BOM WYBORE ^ISEL a0 a1 a2 )

WYPOLNQ-

ETSQ ASIMPTOTI^ESKOE RAWENSTWO

Mx 2

! 0,

2( )

( )

(

0) = lim

I DIF-

NO KOTORAQ IMEET PROIZWODNU@ f 0 x

Mx!0 Mx

;

FERENCIAL df = a1 Mx TOLXKO W TO^KE x0 ,2

sLEDUET POD^ERK-

)

NUTX

Mx 2 W DANNOM SLU^AE | \TO NE

d2f

RASSMATRI

WAEMAQ FUNKCIQ NE IMEET W TO^KE x0 (KAK I W L@BOJ DRUGOJ

TO^KE) NI WTOROJ PROIZWODNOJ, NI WTOROGO DIFFERENCIALA.

pRI x0 = 0 ASIMPTOTI^ESKAQ FORMULA tEJLORA IMEET WID

1 pRI \TOM f

0 x

a Mx

( 0) =

= 1

2 w L@BOJ DRUGOJ TO^KE x \TA FUNKCIQ NE QWLQETSQ NEPRERYWNOJ, A POTOMU (S. 187) NE IMEET PROIZWODNOJ.

							233

	f 0(0)		f(n)(0)	n	;	n
f(x) = f(0)+	1!	x + +	n! x		+ o x		PRI x ! 0

I ^A]E NAZYWAETSQ ASIMPTOTI^ESKOJ FORMULOJ mAKLORENA

(SM. S. 227).

tAK VE, KAK I BOLEE OB]AQ FORMULA tEJLORA, \TO NA SAMOM DELE NE ODNA FORMULA, A (W SLU^AE, ESLI FUNKCIQ y = f(x) IMEET W TO^KE

0 PROIZWODNYE WSEH PORQDKOW) POSLEDOWATELXNOSTX WSE BOLEE TO^NYH

(NO I WSE BOLEE GROMOZDKIH) ASIMPTOTI^ESKIH FORMUL:

f(x) = f(0)	+f 0	(0)x + o(x)	(FORMULA 1-GO PORQDKA),
f(x) = f(0)	+f 0	(0)x + f 00(0) x2 + o(x2)		(FORMULA 2-GO PORQDKA) ,
		2!
f(x) = f(0)+f 0(0)x+ f00(0) x2 + f000(0) x3				+o(x3) (FORMULA 3-GO PORQDKA),
		2!	3!

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

(WSE PRI x !0).

pQTX GLAWNYH ASIMPTOTI^ESKIH RAZLOVENIJ

wAVNEJ[U@ ROLX W ANALIZE I EGO PRILOVENIQH IGRA-

@T SLEDU@]IE ASIMPTOTI^ESKIE FORMULY mAKLORENA (ILI, KAK E]E GOWORQT, ASIMPTOTI^ESKIE RAZLOVENIQ):

exp x = 1+

+ +

+ o(xn),

x2n+1

2n+2 1

sin x = x;

+ 5!

; 7!

+ + (;1) (2n+1)!

+o(x

) ,

x2n

2n+1 1

cos x = 1;

+ 4!

; 6!

+ + (;1) (2n)! +o(x

) ,

n;1

ln(1 + x) = x; 2

+ 3

; 4

+ + (;1)

n + o(x ),

(1+x) = 1+ x+

(

;1) x2+

(

;1) (

;

+1) xn+o(xn).

1 2

1 2 n

1 tAK KAK MOVNO S^ITATX, ^TO PRED[ESTWU@]IJ MNOGO^LEN QWLQET- SQ DLQ DANNOJ FUNKCII MNOGO^LENOM mAKLORENA PORQDKA, NA EDINICU BOLX[EGO, ^EM STEPENX \TOGO MNOGO^LENA.

234

pRIMEROM IH PRIMENENIQ MOVET SLUVITX NAHOVDENIE

GLAWNOJ ^ASTI FUNKCII y = sin(sin x)

; xp1; x2 PRI x ! 0,

SWODQ]EESQ (SM. S. 177) K OTYSKANI@ TAKIH ^ISEL c I , ^TO

lim

sin(sin x);xp1;x2

= 1.

x!0

pRIMENQQ WTOROE I POSLEDNEE IZ PQTI GLAWNYH ASIMPTO-

TI^ESKIH RAZLOVENIJ, OGRANI^IWAQSX PRI \TOM STEPENQMI

x, NE WY[E TRETXEJ, MOVNO PRIJTI K SLEDU@]IM:

sin(sin x) = sin x ;

(sin x)3

+ o

o x

= x

x3!3

+o(x3)

( ;+

+o x3 =

;

; x3

= x

;

+o(x

)

; 3!

+o(x

) = x ; 3

+o(x

;

xp1 ; x2

= x

13 (;x2) + o(x2) = x; x3 +o(x3).

sTANOWITSQ QSNO, ^TO WZQTOJ TO^NOSTI ASIMPTOTI^ESKIH RAZLOVENIJ (DO TRETXEJ STEPENI x) DLQ RE[ENIQ DANNOJ ZADA^I OKAZYWAETSQ NEDOSTATO^NO. pOWY[ENIE IH TO^NOSTI DO PQTOJ STEPENI x PRIWODIT K SLEDU@]IM:

sin(sin x) = sin x ;

(sin x)3

(sin x)5

+o (sin x)5

+o(x3))3

o x 5

( +

( ))

);

;

= x; 3! + 5! +o(x

+o x

+ o(x5) x5

o x5

)

;

= x;

+o(x5);

; 3!3!

(

+o(x5) =

= x

;

+o(x5),

(

)

xp1

;

= x 1+

(

x2)+

;

+ o(x4) =

1 2

;

= x

;

+ o(x5),

;

19x

sin(sin x) ; xp1 ; x2 =

+ o(x5).

oKON^ATELXNO: ISKOMAQ GLAWNAQ ^ASTX ESTX

x5.

235

fORMULA tEJLORA S OSTATKAMI W ZAPISI lAGRANVA I kO[I

oSTATKOM FORMULY tEJLORA NAZYWA@T RAZNOSTX MEVDU FUNKCIEJ I EE MNOGO^LENOM tEJLORA (TOGO ILI INOGO PORQD-

KA n):

f 0(x )

f(n)(x )

def

rn(x;x0) =f(x); f(x0) +

1!0 (x;x0) +

n! 0 (x;x0)n .

aSIMPTOTI^ESKAQ FORMULA tEJLORA

(SM. S. 229)

UTWERV-

DAET1

^TO WELI^INA

r x

PRI x

STREMITSQ K NU

L@ BYSTREE, ^EM (x ;x0) , NO NE DAET NIKAKOJ INFORMACII O KONKRETNYH ZNA^ENIQH \TOJ WELI^INY W OTDELXNO WZQTYH

TO^KAH x 6=x0 . pOLU^ITX TAKU@ INFORMACI@ POZWOLQET SLE-

DU@]AQ FORMULA tEJLORA S OSTATKAMI W ZAPISI lAGRANVA I kO[I.

eSLI FUNKCIQ y = f(x) IMEET PROIZWODNU@ PORQDKA n + 1

NE TOLXKO W TO^KE x0 , NO I W NEKOTOROJ EE OKRESTNOSTI, TO

DLQ L@BOGO (OTLI^NOGO OT x0) ZNA^ENIQ x IZ \TOJ OKREST-

NOSTI IMEET MESTO FORMULA tEJLORA

f 0

f(n) x

f(x) = f(x0)+

(

(x;x0) + +

(

(x;x0)n + rn(x;x0)

OSTATKOM

rn(x ;x0) W ZAPISI:

f(n+1)(c)

n+1

LIBO

lAGRANVA

rn(x;x0) = (n+1)!

(x;x0)

GDE c |

NEKOTOROE ZNA^ENIE, PROMEVUTO^NOE MEVDU x0 I x,

f(n+1)

0))

(

;

n+1

LIBO

kO[I

;

0) =

(1; ) ( ;

GDE 0 < < 1.4

1 w PREDPOLOVENII

( )

^TO FUNKCIQ

f x

IMEET W TO^KE

PROIZ-

WODNU@ PORQDKA n.

2 wPERWYE WSTRE^A@]EJSQ U lAGRANVA ([44], S. 68). 3 pREDLOVENNOJ kO[I ([35], S. 259{260).

4 dOPOLNITELXNOJ INFORMACII O ZNA^ENIQH c I NET.

236

dOKAZATELXSTWO1. pUSTX x x 6=x0 | PROIZWOLXNO WZQTOE, NO FIKSIROWANNOE ZNA^ENIE PEREMENNOJ IZ TOJ OKRESTNOSTI TO^KI x0 , W KOTOROJ FUNKCIQ IMEET PROIZWODNU@ PORQDKA n+1. oBOZNA^AQ z PEREMENNU@, PROBEGA@]U@ OTREZOK I S KONCEWYMI TO^KAMI x0 I x, WWODQT WSPOMOGATELXNU@ FUNK- CI@ y = '(z), KONSTRUIRUEMU@ PUTEM ZAMENY W OPREDELENII

OSTATKA TO^KI x0 NA PEREMENNU@ z :

f 0(z) f(n)(z) n

'(z) = f(x) ; f(z) + 1! (x;z) + + n! (x;z)

POLAGA@T TAKVE (z) = (x ; z)p, GDE p MOVET BYTX L@BYM NATURALXNYM ^ISLOM. pOSKOLXKU OTREZOK I PRINADLEVIT

TOJ OKRESTNOSTI TO^KI x0 , W KOTOROJ FUNKCIQ y = f(x) PO PREDPOLOVENI@ IMEET PROIZWODNU@ PORQDKA n + 1, DLQ

PARY FUNKCIJ y = '(z) I y =	(z) WYPOLNENY (DAVE S IZ-
BYTKOM) USLOWIQ TEOREMY kO[I (SM. S. 214): OBE FUNKCII
IME@T PROIZWODNYE '0(z) I 0	(z) W L@BOJ TO^KE OTREZKA I ,

PRI^EM 0(z) 6= 0WO WSEH WNUTRENNIH TO^KAH z \TOGO OTREZ- KA. sOGLASNO \TOJ TEOREME DLQ NEKOTOROJ WNUTRENNEJ TO^-

' x

KI c OTREZKA I WYPOLNQETSQ RAWENSTWO

( )

( 0)

= 0

( )

x ;

c . nO

( );

( 0)

( )

PO SAMOMU OPREDELENI@ FUNKCIJ y = '(z) I y =

(z) LEWAQ

^ASTX \TOGO RAWENSTWA ESTX 0 ;

;

0p) , A S U^ETOM TOGO, ^TO

000 ; ( ; 0)

'0(z) = ; f(z)+ f1!(z)(x;z)+ f 2!(z)

(x;z)2 + + f

(n)

n!(z)(x;z)n 0=

000

= ;f 0(z) ; f

1!(z) (x;z) +f 0(z) ; f 2!(z) (x;z)2 + f

2!(z) 2(x z);

;

f (n+1)(z)

(x; z)n +

f (n)(z)

n(x z)n;1 =

= ; f

(n+1)

n! (z) (x; z)n

1 wZQTOE U g. m. fIHTENGOLXCA ([24], S. 255{257), ISPOLXZOWAW[EGO, W SWO@ O^EREDX, RASSUVDENIQ I OBOZNA^ENIQ kO[I ([35], S. 259{261).

237

p 0

;p(x ; z)

(z) =

(x ; z)

, EGO PRAWAQ ^ASTX ESTX

f(n+1)

; n;p+1

' x

( )

( 0)

( )

. w REZULXTATE RAWENSTWO

x ;

;

f(n+1)

( ); ( 0)

( )

PRIOBRETAET WID

n( ;

0p) =

( )

;

c)n;p+1, ILI, ^TO TO

(

;

VE SAMOE,

rn(x;x0) =

f(n+1)(c)

;c)n;p+1(x ;x0)p:

n!p

tAK KAK NA WYBOR NATURALXNOGO ^ISLA p DO SIH POR NE

BYLO NIKAKIH OGRANI^ENIJ, MOVNO WZQTX p = n+1, PRIHODQ K

(n+1)

RAWENSTWU rn(x;x0) = f(n+1)!(c) (x;x0)n+1 | ZAPISI lAGRANVA

OSTATKA FORMULY tEJLORA S DRUGOJ STORONY, WZQW p = 1,

PRIHODQT K RAWENSTWU rn(x;x0) =

f(n+1)(c)

(x;c)n(x;x0), RAW-

f(n+1) x

NOSILXNOMU1 r x

0) =

( 0

( ;

0))

n x

n+1

n( ;

(1 ; ) ( ;

0) ,

T. E. ZAPISI kO[I OSTATKA FORMULY tEJLORA.2 Q.E.D.

w WAVNEJ[EM DLQ PRILOVENIJ SLU^AE x0 = 0 USTANOWLEN-

NAQ FORMULA tEJLORA PEREHODIT W FORMULU mAKLORENA

(n)

f(x) = f(0)+ f 1!(0) x +

+ f n!(0) xn + rn(x)

OSTATKOM

rn(x) W ZAPISI

f(n+1)(c)

n+1

lAGRANVA

rn(x) =

(n+1)!

(c | NEKOTOROE ZNA^ENIE, PROMEVUTO^NOE MEVDU 0 I x),

			f(n+1)( x)	n	n+1	(0 < < 1).
LIBO W ZAPISI	kO[I	rn(x) =	n!	(1; )	x

1 s U^ETOM TOGO, ^TO L@BOE ^ISLO c, PROMEVUTO^NOE MEVDU x0 I x, PREDSTAWIMO W WIDE c = x0 + (x;x0), GDE 0< < 1.

2 pEREBIRAQ DRUGIE ZNA^ENIQ p, MOVNO PRIJTI K DRUGIM FORMAM ZA- PISI OSTATKA, ODNAKO ONI NE IME@T ZAMETNOGO PRIMENENIQ W ANALIZE.

238

nAGLQDNYM PRIMEROM EE PRIMENENIQ MOVET SLUVITX OCEN-

KA POGRE[NOSTI PRIBLIVENNYH FORMUL

cos x 8

; x22

x4 NA OTREZKE

;

6 x 6

<1;

pOSKOLXKU 1

QWLQETSQ DLQ FUNKCII

y = cos x MNO-

;

GO^LENOM mAKLORENA KAK PORQDKA 2, TAK I PORQDKA 3, FOR-

MULA mAKLORENA S OSTATKOM W ZAPISI lAGRANVA POZWOLQET

;

cos000 c

PREDSTAWITX RAZNOSTX cos x

;

I KAK

, I KAK

cos

, GDE ZNA^ENIE c (A ONO W OBOIH SLU^AQH NE OBQZA-

TELXNO ODNO I TO VE) ZAKL@^ENO MEVDU

0 I x. pOGRE[NOSTX

cos x

;

PRIBLIVENNOJ FORMULY cos x

;

jxj6

sup

OCENIWAETSQ;SWERHU W PERWOM SLU^AE WELI^INOJ

3, A WO

WTOROM | PRIMERNO W DWA S POLOWINOJ RAZA MENX[EJ

;

pODOBNYM OBRAZOM RASSMATRIWAQ 1;

KAK MNOGO^LEN;

mAKLORENA 4-GO I ODNOWREMENNO 5-GO PORQDKOW DLQ FUNKCII

;

y = cos x I PREDSTAWLQQ RAZNOSTX

cos x

I KAK

cos

;

; 2

I KAK

, MOVNO OCENITX POGRE[NOSTX PRI-

BLIVENNOJ FORMULY cos x 1;

DLQ ;

6 x

KAK

;

WELI^INOJ

, TAK I PO^TI W^ETWERO MENX[EJ

fORMULA mAKLORENA S OSTATKOM (I W ZAPISI lAGRANVA,

I W ZAPISI kO[I) MOVET SLUVITX OSNOWOJ DLQ POLU^ENIQ RAZLOVENIJ mAKLORENA1 | PREDSTAWLENIQ FUNKCIJ W WIDE SUMMY WSEH STEPENEJ x (STEPENNOGO RQDA)

	0	(n)
f(x) = f(0)+ f	1!(0) x + + f n!(0) xn +

1 ~EM IZNA^ALXNO I ZANIMALSQ mAKLOREN (WSLED ZA tEJLOROM).

239

a IMENNO, ESLI DLQ KAKOJ-TO FUNKCII y = f(x), IME@]EJ PRI x = 0 PROIZWODNYE WSEH PORQDKOW, UDAETSQ USTANOWITX,

^TO OSTATKI FORMULY mAKLORENA

r1(x) = f(x)

f(0)+ f 1!(0) x

f x

;

(0)+

f 0(0) x

f 00(0) x2

( ) =

( )

;

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

rn(x) = f(x)

f(0)+

f 0(0)

x +

f(n)(0)

. . .

. . . . . . . . .;. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

DLQ NEKOTOROGO KONKRETNOGO ZNA^ENIQ x

6= 0(ILI MNOVEST-

WA TAKIH ZNA^ENIJ) OBRAZU@T BESKONE^NO MALU@ POSLEDOWA-

TELXNOSTX1 rn(x) , T. E.

lim

rn(x) = 0, A SLEDOWATELXNO,

n!+1

f(x) =

f(0)+

0(0)

x +

f 00(0)

f(n)(0)

lim

n!+1

TO POSLEDNEE RAWENSTWO ZAPISYWA@T W WIDE

0(0)

f 00(0)

f(n)(0)

f(x) = f(0)+

x +

I NAZYWA@T RAZLOVENIEM mAKLORENA FUNKCII y = f(x) DLQ DANNOGO KONKRETNOGO ZNA^ENIQ (ILI MNOVESTWA ZNA^ENIJ) PE- REMENNOJ x.

kAK OBRA]ATXSQ S RAZLOVENIQMI mAKLORENA, IZU^A@T W RAZDELE ANALIZA \sTEPENNYE RQDY". zDESX VE NA PRIMERE WYWODA PQTI GLAWNYH RAZLOVENIJ mAKLORENA BUDUT PRODE-

MONSTRIROWANO, W KAKIH SLU^AQH KAKOJ IZ OSTATKOW FORMULY mAKLORENA | W ZAPISI lAGRANVA ILI kO[I | OKAZYWAETSQ BOLEE \FFEKTIWNYM.

1. dLQ FUNKCII y = exp x FORMULA mAKLORENA S OSTATKOM

W ZAPISI lAGRANVA PRINIMAET (PRI L@BOM x								=)0WID
	x x2				xn		exp( +1)c6n+1
exp x = 1+		+		+ +		+	n		,
							(n+1)! x
	1!		2!		n!

1 pRIMER TOGO, ^TO TAK BYWAET NE WSEGDA, PRIWEDEN NA S. 244.

240

GDE ZNA^ENIE c (ZAWISQ]EE OT x I OT n) LEVIT MEVDU 0 I x,

MOVNO SDELATX1

WYWOD: exp(n+1) c xn+1

< exp jxj x n+1

(n+1)!

j j

n!+1

A PO\TOMU (WWIDU PROIZWOLXNOSTI WYBORA ZNA^ENIQ x) DLQ

L@BOGO x

(

) WYPOLNQETSQ RAWENSTWO2

exp x =n!lim+1;1+

T. E. IMEET MESTO RAZLOVENIE mAKLORENA \KSPONENTY

exp x = 1+

+ +

+ ,

;1< x < +1

2. tAK KAK sin(2k) x = (;1)k sin x, A sin(2k+1) x = (;1)k cos x,

MNOGO^LEN mAKLORENA PORQDKA 2n+2 DLQ FUNKCII y = sin x

n x2n+1

ESTX x;

; + (;1)

, A POTOMU PRIMENENIE

(2n+1)!

FORMULY mAKLORENA S OSTATKOM W ZAPISI lAGRANVA DAET:

x2n+1

( 1)n+1 cos c

sinx = x;

;

+ (;1)n

;(2n+3)!

x2n+3,

(2n+1)!

GDE DLQ PROIZWOLXNO WZQTOGO ZNA^ENIQ x ZNA^ENIE c QWLQETSQ

PROMEVUTO^NYM MEVDU 0 I x TAK KAK1

(;1)n+1 cos c

x2n+3 6

jxj2n+3

(2n+3)!

n!+1

SPRAWEDLIWO RAZLOVENIE mAKLORENA SINUSA:

n x2n+1

sin x = x;

; +(;1)

+ ;1< x<+1

(2n+1)!

3. tAK VE, KAK \TO BYLO PRODELANO DLQ SINUSA, IZ FOR-

MULY mAKLORENA S OSTATKOM W ZAPISI lAGRANVA WYWODITSQ RAZLOVENIE mAKLORENA DLQ KOSINUSA:

2		4			2n
cos x = 1;	x	+	x	; +(;1)n	x	+ ;1< x<+1	.
	2!		4!		(2n)!

1 s U^ETOM TOGO, ^TO jxnj! PRI L@BOM x ESTX BESKONE^NO MALAQ

POSLEDOWATELXNOSTX (SM. S. 79).

2 ~TO NE QWLQETSQ NOWOSTX@ (SM. S. 96).

<<< < Предыдущая 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 2324 / 3324 25 26 27 28 29 30 31 32 33 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
12.11.20222.39 Mб2Цывкунова АРМС ЦОНТРОЛ АНД ДИСАРМАМЕНТ 2013.pdf
#
12.11.20224.26 Mб14Чугунков Методы и средства оценки качества генераторов 2012.pdf
#
12.11.20222 Mб1Чучкина Инноватион течнологиес 2011.pdf
#
12.11.2022497.8 Кб1Чучкина Хоw то маке а пресентатион 2011.pdf
#
12.11.20221.36 Mб12Шапкарин Лабораторный 2012.pdf
#
12.11.20225.86 Mб5Шведенко Начала математического анализа 2011.pdf
#
12.11.202210.65 Mб15Шелегов Насосное оборудование АЕС 2011.pdf
#
12.11.202232.25 Mб32Шестак Вакуумная техника. Концепция разреженного газа 2012.pdf
#
12.11.20226.63 Mб15Шилов Лабораторный практикум курса обсчей физики Разделы 2012.pdf
#
12.11.20228.7 Mб34Шулга Композиты Част1 Основы материаловедения 2013.pdf
#
12.11.202211.55 Mб19Шулга Лабораторныы практикум Основы текхнологии получения современныкх материалов 2015.pdf