Шведенко Начала математического анализа 2011

221

s DIFFERENCIALAMI (WTOROGO I SLEDU@]IH PORQDKOW)

DELO OBSTOIT SLOVNEE, ^EM S PROIZWODNYMI.

pRI^INA \TOGO TAKOWA. pODOBNO TOMU KAK PONQTIE DIFFERENCIALA FUNKCII BAZIRUETSQ NA PONQTII PRIRA]ENIQ FUNKCII, PONQTIE DIFFE- RENCIALA DIFFERENCIALA FUNKCII y = f(x) W TO^KE x0 BAZIRUETSQ NA PONQTII PRIRA]ENIQ DIFFERENCIALA Mdf = f 0(x0 + Mx)dx ; f 0(x0)dx

\TOJ FUNKCII W \TOJ TO^KE. eSLI x QWLQETSQ NEZAWISIMOJ PEREMENNOJ, TO dx ESTX NE ^TO INOE, KAK PRIRA]ENIE Mx \TOJ PEREMENNOJ, WZQTOE W TO^KE x0 + Mx TEM VE SAMYM, ^TO I W TO^KE x0 . eSLI VE PEREMENNAQ x QWLQETSQ FUNKCIEJ (x = '(t)) DRUGOJ PEREMENNOJ, TO MNOVITELI dx PRI f 0(x0 +Mx) I f 0(x0) RAZLI^A@TSQ MEVDU SOBOJ1, POSKOLXKU NA SEJ RAZ ONI QWLQ@TSQ DIFFERENCIALAMI FUNKCII (x = '(t)) W RAZNYH TO^KAH.

wNE[NE \TO PROQWLQETSQ W RAZLI^II ZAPISI DIFFERENCI- ALOW WTOROGO I SLEDU@]IH PORQDKOW DLQ: A) FUNKCIJ NEZA-

WISIMOJ PEREMENNOJ I B) FUNKCIJ FUNKCIJ.2

sNA^ALA PUSTX y = f(x) | FUNKCIQ NEZAWISIMOJ PERE- MENNOJ x, I PUSTX \TA FUNKCIQ IMEET PROIZWODNU@ f 0(x), A SLEDOWATELXNO, I DIFFERENCIAL df = f 0(x)Mx (SM. S. 187) NE TOLXKO W TO^KE x0 , NO I W NEKOTOROJ EE OKRESTNOSTI. eSLI W TO^KE x0 I WSEH BLIZKIH K NEJ TO^KAH WZQTX ODNO I TO VE3 PRIRA]ENIE Mx, TO SOOTWETSTWU@]EE EMU PRIRA]ENIE Mdf

DIFFERENCIALA FUNKCII y = f(x) (W TO^KE x0) PRIMET WID:

Mdf = f 0(x0 +Mx)Mx ;f 0(x0)Mx.

oSTAETSQ PRIMENITX SHEMU OPREDELENIQ DIFFERENCIALA FUNKCII W TO^KE (SM. S. 186), ^TOBY PRIJTI K SLEDU@]EMU OPREDELENI@ WTOROGO DIFFERENCIALA W TO^KE x0 FUNKCII y = f(x) NEZAWISIMOJ PEREMENNOJ x.

1 iSKL@^AQ SLU^AJ, KOGDA x ESTX LINEJNAQ FUNKCIQ (x = kt + b)

NEZAWISIMOJ PEREMENNOJ.

2 pROISHODIT, KAK GOWORQT, \NARU[ENIE SWOJSTWA INWARIANTNOSTI FORMY (SM. S. 197) DLQ DIFFERENCIALOW WYS[IH PORQDKOW".

3 pRI \TOM DOSTATO^NO MALOE PO ABSOL@TNOJ WELI^INE, ^TOBY DLQ WSEH x, BLIZKIH K x0 , TO^KA x+Mx NE WYHODILA IZ TOJ OKRESTNOSTI TO^KI x0 , GDE FUNKCIQ y = f(x) IMEET DIFFERENCIAL.

222

wTOROJ DIFFERENCIAL1 FUNKCII y = f(x) NEZAWISIMOJ

PEREMENNOJ x W TO^KE x0 ESTX OBOZNA^AEMAQ d2y (ILI d2f ) I ZAWISQ]AQ OT PRIRA]ENIQ Mx = x;x0 WELI^INA, KOTORAQ:

A) PROPORCIONALXNA (Mx)2 (T. E. IMEET WID d2y = a (Mx)2 ) B) OTLI^AETSQ OT PRIRA]ENIQ Mdf DIFFERENCIALA FUNK-

CII2 NA BESKONE^NO MALU@ OTNOSITELXNO (Mx)2 , T. E. WYPOL- NQETSQ SOOTNO[ENIE Mdf ;d2f = o((Mx)2) PRI Mx!0.

fUNKCIQ, U KOTOROJ ESTX WTOROJ DIFFERENCIAL W TO^KE x0 , NAZYWAETSQ DWAVDY DIFFERENCIRUEMOJ W \TOJ TO^KE.

nAPRIMER, DLQ FUNKCII y = x3 DIFFERENCIAL, OTWE^E@- ]IJ PRIRA]ENI@ Mx (WZQTOMU W KAKOJ-LIBO TO^KE x) ESTX

dy = 3x2 Mx (S. 184), TAK ^TO EGO PRIRA]ENIE W TO^KE x0 |

\TO Mdy = 3(x0 +Mx)2Mx ; 3x20Mx = 6x0 (Mx)2 + 3(Mx)3, IZ ^EGO SLEDUET: FUNKCIQ y = x3 QWLQETSQ DWAVDY DIFFERENCIRU-

EMOJ W (PROIZWOLXNO WZQTOJ) TO^KE x0 , IMEQ W NEJ WTOROJ DIFFERENCIAL d2y = 6x0 (Mx)2.

fUNKCIQ y = f(x) (NEZAWISIMOJ PEREMENNOJ x) DWAVDY DIFFERENCIRUEMA W TO^KE x0 TOGDA I TOLXKO TOGDA, KOGDA ONA IMEET W \TOJ TO^KE WTORU@ PROIZWODNU@, PRI \TOM

WTORAQ PROIZWODNAQ I WTOROJ DIFFERENCIAL FUNKCII (W TO^KE x0) SWQZANY SOOTNO[ENIEM d2f = f 00(x0)(Mx)2.

dOKAZATELXSTWO. rAWENSTWO f 00(x0) = lim f 0(x0+Mx) ;f 0(x0)

Mx!0 Mx

(OPREDELQ@]EE WTORU@ PROIZWODNU@ FUNKCII W TO^KE x0) RAWNOSILXNO WYPOLNENI@ SOOTNO[ENIQ

f 0(x0 +Mx) ;f 0(x0) ;f 00(x0)Mx = o(Mx) PRI Mx ! 0,

W SWO@ O^EREDX, RAWNOSILXNOGO SOOTNO[ENI@

1 iLI DIFFERENCIAL WTOROGO PORQDKA.

2 w PREDPOLOVENII, ^TO DIFFERENCIAL df OPREDELEN WO WSEH BLIZKIH K x0 TO^KAH x I OTWE^AET WZQTOMU W KAVDOJ IZ NIH PRIRA]ENI@ Mx (ODNOMU I TOMU VE DLQ WSEH \TIH TO^EK).

223

f 0(x0 +Mx)Mx ;f 0(x0)Mx ;f 00(x0)(Mx)2 = o((Mx)2) PRI Mx ! 0,

KAK RAZ I OZNA^A@]EMU, ^TO

Mdf ;f 00(x0)(Mx)2 = o((Mx)2) PRI Mx ! 0. Q.E.D.

tAK KAK DIFFERENCIAL dx NEZAWISIMOJ PEREMENNOJ x (W TO^KE x0) PO OPREDELENI@ (SM. S. 197) ESTX TO VE SAMOE, ^TO EE

pUSTX TEPERX y = f(x) | FUNKCIQ PEREMENNOJ x, KOTO- RAQ SAMA QWLQETSQ FUNKCIEJ x = '(t) DRUGOJ (UVE NEZAWI- SIMOJ) PEREMENNOJ t. eSLI FUNKCIQ x = '(t) IMEET W TO^KE t0 WTORU@ PROIZWODNU@ '00(t0), A FUNKCIQ y = f(x) IMEET W TO^KE x0 = '(t0) WTORU@ PROIZWODNU@ f 00(x0),2 TO PO TEORE-

ME O PROIZWODNOJ SLOVNOJ FUNKCII (SM. S. 190) KOMPOZICIQ

\TIH FUNKCIJ y = f('(t)) IMEET W OKRESTNOSTI TO^KI t0

PROIZWODNU@ y0 = f 0('(t))'0(t), A PO PRAWILU PROIZWODNOJ

PROIZWEDENIQ (SM. S. 189) | W TO^KE t0 WTORU@ PROIZWODNU@ y00(t0) = ;f 0('(t0)) '0(t0) 0 = f 00('(t0))('0(t0))2 +f 0('(t0))'00(t0).

kAK SLEDSTWIE, FUNKCIQ y = f('(t)) IMEET W TO^KE t0 WTO-

ROJ DIFFERENCIAL

d2f = y00(t0)(Mt)2 = f 00('(t0))('0(t0)Mt)2 +f 0('(t0))'00(t0)(Mt)2,

KOTORYJ, ESLI U^ESTX, ^TO '0(t0)Mt I '00(t0)(Mt)2 | \TO SOOT-

WETSTWENNO DIFFERENCIAL dx I WTOROJ DIFFERENCIAL d2x

1 pOZWOLQ@]EM PREDSTAWITX WTORU@ PROIZWODNU@ FUNKCII (W L@-

WTOROGO DIFFERENCIALA FUNKCII (W TO^KE x0) K KWADRATU DIFFEREN-

CIALA NEZAWISIMOJ PEREMENNOJ x (WEZDE dx2 PONIMAETSQ KAK (dx)2 ). 2 dLQ ^EGO NEOBHODIMO, ^TOBY IH (PERWYE) PROIZWODNYE '0(t) I f 0(x)

SU]ESTWOWALI W OKRESTNOSTQH SOOTWETSTWENNO TO^KI t0 I TO^KI x0 .

zAME^ANIE. pRI WYWODE FORMULY d2f = f 00 (x)dx2 + f 0(x)d2x WTO-

ROGO DIFFERENCIALA FUNKCII y = f(x) ZAWISIMOJ PEREMENNOJ x = '(t)

BYLO SDELANO PREDPOLOVENIE, ^TO t | NEZAWISIMAQ PEREMENNAQ, KOTO-

= f 00(x)dx2 + f 0(x)d2 x.

fORMULU WTOROGO DIFFERENCIALA FUNKCII y = f(x) ZA-

WISIMOJ PEREMENNOJ x OBY^NO POLU^A@T, NE UTRUVDAQ SEBQ TO^NYM OPREDELENIEM WTOROGO DIFFERENCIALA, A DEJSTWUQ ISKL@^ITELXNO PO PRAWILU DIFFERENCIALA PROIZWEDENIQ: d2f = d(df) = d;f 0(x)dx = d;f 0(x))dx + f 0(x)d(dx) =

= f 00(x)dx2 + f0(x)d2x. pRIEM \FORMALXNOGO" PRIMENENIQ PRAWIL DLQ DIFFE-

RENCIALOW (SM. c.199) ISPOLXZU@T I PRI PRAKTI^ESKOM NAHOVDENII WTORYH DIFFERENCIALOW. tAK (W PRODOLVENIE PRI-

1 pRI USLOWII, ^TO \TOT DIFFERENCIAL OPREDELEN WO WSEH BLIZKIH K x0 TO^KAH x I OTWE^AET WZQTOMU W KAVDOJ IZ NIH PRIRA]ENI@ (ODNOMU I TOMU VE) Mx.

2 pOSKOLXKU dx =Mx DLQ NEZAWISIMOJ PEREMENNOJ x.

226

WA@T SILU. nAPRIMER, ESLI x QWLQETSQ FUNKCIEJ x = '(t) DRUGOJ (UVE NEZAWISIMOJ) PEREMENNOJ t, TO POSLEDOWATELX- NOE WY^ISLENIE PROIZWODNYH SLOVNOJ FUNKCII1 y = f('(t) ):

y0(t) = f 0('(t))'0(t),

y00(t) = f 00('(t))('0(t))2 +f 0('(t))'00(t),

y000(t) = f 000('(t))('0(t))3 +f 00('(t))2'0(t)'00(t)+

+f 00('(t))'0(t)'00(t) + f 0('(t))'000(t),

yIV (t) = f IV ('(t))('0(t))4 +f 000('(t))3('0(t))2'00(t)+

+3;f 000('(t))('0(t))2'00(t) + f 00('(t0));('00(t))2 + '0(t)'000(t) + +f 00('(t))'0(t)'000(t)+f 0('(t))'IV (t)

I POSLEDU@]EE UMNOVENIE IH NA SOOTWETSTWU@]IE STEPENI

DIFFERENCIALA dt NEZAWISIMOJ PEREMENNOJ (T. E. PROIZWOLX-

NO WZQTOGO W TO^KE t PRIRA]ENIQ Mt \TOJ PEREMENNOJ) PRIWO-

DQT K FORMULAM DIFFERENCIALOW TRETXEGO I ^ETWERTOGO PORQDKOW FUNKCII y = f(x) ZAWISIMOJ PEREMENNOJ x:

d3f = y000(t)dt3 = f 000(x)dx3 + 3f 00(x)dxd2x + f 0(x)d3x, d4f = yIV (t)dt4 = f IV (x)dx4 + 6f 000(x)dx2d2x+

+3f 00(x)(d2x)2 + 4f 00(x)dxd3x +f 0(x)d4x.

k \TIM VE FORMULAM MOVNO PRIJTI \MEHANI^ESKIM" DIF-

FERENCIROWANIEM RANEE POLU^ENNOJ FORMULY WTOROGO DIF-

WODNYE TREBUEMYH PORQDKOW (SOOTWETSTWENNO W TO^KAH t I x = '(t)).

227

V.2. ~TO NAZYWA@T FORMULOJ tEJLORA

fORMULA tEJLORA (W [IROKOM SMYSLE) ESTX OB]EE NA- ZWANIE SWQZANNYH MEVDU SOBOJ, NO RAZNYH PO PRILOVENIQM FORMUL, POZWOLQ@]IH PO ZNA^ENIQM FUNKCII I EE PROIZWOD- NYH, WY^ISLENNYM W KAKOJ-TO ODNOJ TO^KE, SOSTAWITX PRED- STAWLENIE O POWEDENII FUNKCII I EE KONKRETNYH ZNA^ENIQH W DRUGIH TO^KAH.

iSHODNYMI OB_EKTAMI W \TIH FORMULAH WYSTUPA@T TAK

NAZYWAEMYE MNOGO^LENY tEJLORA pn(x ; x0) TOGO ILI INO- GO PORQDKA n PO PEREMENNOJ x ; x0 , KONSTRUIRUEMYE (PRI USLOWII SU]ESTWOWANIQ U FUNKCII y = f(x) W TO^KE x0 PRO- IZWODNOJ PORQDKA NE NIVE n)1 PO PRAWILU:

I EGO OBY^NO NAZYWA@T MNOGO^LENOM mAKLORENA PORQDKA n FUNKCII y = f(x).

rOVDENIE FORMULY tEJLORA PRINQTO DATIROWATX WYHODOM W 1715 G.

RABOTY tEJLORA2 \pRQMOJ I OBRATNYJ METOD PRIRA]ENIJ" [54], W KO-

TOROJ (NA S. 21{23) ON, OPIRAQSX NA REZULXTATY nX@TONA, PREDSTAWIL PRIRA]ENIE ODNOGO \PEREMENNOGO KOLI^ESTWA" x W WIDE SUMMY (TO^- NEE, RQDA) STEPENEJ PRIRA]ENIQ DRUGOGO \PEREMENNOGO KOLI^ESTWA" z, WZQTYH S KO\FFICIENTAMI, SODERVA]IMI PROIZWODNYE (\FL@KSII") x, WY^ISLENNYE PRI NEKOTOROM NA^ALXNOM ZNA^ENII z. w SWO@ O^EREDX, mAKLOREN3 NA S. 610{611 WTOROGO TOMA \tRAKTATA O FL@KSIQH" [47], PRIZNAWAQ PRIRORITET tEJLORA, DAL DRUGOJ WYWOD \TOGO PREDSTAWLE- NIQ, BERQ W KA^ESTWE NA^ALXNOGO ZNA^ENIQ z = 0.

1 sLEDUET OTMETITX, ^TO ESLI f(n)(x0) = 0, TO STEPENX MNOGO^LENA pn(x ;x0) FAKTI^ESKI OKAZYWAETSQ MENX[EJ n.

2 Taylor, Brook (1685{1731) | ANGLIJSKIJ MATEMATIK.

3 Maclaurin, Colin (1698{1746) | [OTLANDSKIJ MATEMATIK.

WOWANI@ PROIZWODNOJ f 0(x0)).

dLQ DOKAZATELXSTWA UTWERVDENIQ DOSTATO^NO, PREDPOLO- VIW, ^TO ONO WERNO DLQ KAKOGO-TO NATURALXNOGO ^ISLA n, WYWESTI EGO SPRAWEDLIWOSTX DLQ ^ISLA n+1. |TO POZWOLQET SDELATX PRAWILO lOPITALQ (SM. S. 215).

eSLI FUNKCIQ y = f(x) IMEET W TO^KE x0 PROIZWODNU@ PORQDKA n+1, TO PRIMENENIE DANNOGO PRAWILA K FUNKCIQM

pEANO NA S. 71{73 EGO \lEKCIJ PO ANALIZU BESKONE^NO MALYH" [50].

230

ESTX RAZNOSTX MEVDU FUNKCIEJ y = f (x) (A ONA IMEET W TO^- KE x0 PROIZWODNU@ PORQDKA n)1 I EE MNOGO^LENOM tEJLORA PORQDKA n, A POTOMU2