Шведенко Начала математического анализа 2011
.pdf
211
TEOREMU lAGRANVA K FUNKCII y = f(x) NA OTREZKE I S KON- CEWYMI TO^KAMI x0 I x:
Mf = f(x);f(x0) = f 0(c)(x;x0) = f 0(x0 + Mx)Mx,
GDE c | NEKOTORAQ TO^KA, PROMEVUTO^NAQ MEVDU x0 I x, A
POTOMU PREDSTAWIMAQ W WIDE c = x0 + (x;x0) 0 < <1.
2. kRITERIJ POSTOQNSTWA FUNKCII NA PROMEVUT-
KE. dLQ TOGO ^TOBY FUNKCIQ y = f(x) BYLA POSTOQNNOJ NA PROMEVUTKE I R, NEOBHODIMO I DOSTATO^NO, ^TOBY \TA FUNKCIQ IMELA RAWNU@ NUL@ PROIZWODNU@ WO WSEH WNUTREN-
NIH TO^KAH PROMEVUTKA I I BYLA NEPRERYWNOJ (SLEWA ILI
SPRAWA) W KONCEWYH TO^KAH \TOGO PROMEVUTKA1. dOKAZATELXSTWO. eSLI f(x) = c NA PROMEVUTKE I, I x0 |
WNUTRENNQQ TO^KA \TOGO PROMEVUTKA, TO |
|
|
||||||||
|
f 0(x0) = lim |
( |
); ( 0) = lim c;c = 0 |
|||||||
|
|
|
f x |
f x |
|
|
|
|
|
|
|
|
x!x0 |
x;x0 |
x!x0 x;x0 |
||||||
ESLI VE x0 | WKL@^AEMAQ |
W PROMEVUTOK I EGO KONECEWAQ |
|||||||||
(NAPRIMER, PRAWAQ), TO f(x0) = c |
I |
lim |
f(x) = c, T. E. WY- |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
x!x0;0 |
|
|
|
POLNENO USLOWIE NEPRERYWNOSTI SLEWA FUNKCII W TO^KE x0 . |
||||||||||
|
oBRATNO, ESLI FUNKCIQ y = f(x) WO WSEH WNUTRENNIH TO^- |
|||||||||
KAH PROMEVUTKA I IMEET PROIZWODNU@, RAWNU@ NUL@, A W EGO |
||||||||||
KONCEWYH TO^KAH1 NEPRERYWNA SLEWA ILI SPRAWA, TO DLQ L@- |
||||||||||
BYH DWUH TO^EK x1 x2 |
2 I PRIMENENIE TEOREMY lAGRANVA K |
|||||||||
FUNKCII y = f(x) NA OTREZKE, SOEDINQ@]EM \TI TO^KI, DA- |
||||||||||
ET: f(x1);f(x2) = 0 (x1 |
;x2) = 0, T. E. f(x1) = f(x2) DLQ L@BYH |
|||||||||
DWUH TO^EK x1 x2 2I. Q.E.D. |
|
|
|
|
|
|||||
|
pRIMER |
. fUNKCIQ y = arcsin x + arccos x NEPRERYWNA NA |
||||||||
|
|
|||||||||
OTREZKE [;1 1] (SM. S. 159) |
I IMEET WNUTRI \TOGO OTREZKA |
|||||||||
PROIZWODNU@, RAWNU@ NUL@ SLEDOWATELXNO,
arcsin x + arccos x = arcsin1+ arccos 1 = 2 , ;1 6x 61.
1 w TOM SLU^AE, ESLI ONI WKL@^A@TSQ W PROMEVUTOK I.
212
3. pRIZNAK WOZRASTANIQ FUNKCII NA PROMEVUTKE. eSLI FUNKCIQ y = f(x), QWLQQSX NEPRERYWNOJ NA PROMEVUTKE
I, IMEET PROIZWODNU@ f 0(x) >0 W KAVDOJ WNUTRENNEJ TO^KE \TOGO PROMEVUTKA (ZA WOZMOVNYM ISKL@^ENIEM KONE^NOGO ^ISLA EGO TO^EK), TO FUNKCIQ y = f(x) QWLQETSQ WOZRASTA@- ]EJ NA PROMEVUTKE I.
dOKAZATELXSTWO. pUSTX x1 I x2 | L@BYE DWE TO^KI PRO- MEVUTKA I, PRI^EM x1 < x2 . eSLI f 0(x) > 0 W KAVDOJ TO^KE
|
2 |
( 1 |
|
2), |
|
0 |
x |
|
x |
x |
|
TO PRIMENENIE |
TEOREMY lAGRANVA K FUNKCII |
y = f(x) NA OTREZKE [x1 x2] DAET: f(x2);f(x1) = f (c)(x2;x1),
GDE x1 < c < x2 , TAK ^TO (POSKOLXKU f 0(c) > 0) WYPOLNQETSQ NERAWENSTWO f(x1) <f(x2).
eSLI VE SREDI TO^EK, PROMEVUTO^NYH MEVDU x1 I x2 , ESTX (DLQ OPREDELENNOSTI) DWE TO^KI c1 I c2 , W KOTORYH NE WYPOLNENO USLOWIE f 0(x) > 0, TO K NERAWENSTWU f(x1) < f(x2) MOVNO PRIJTI, PRIMENQQ TEOREMU lAGRANVA NA KAVDOM IZ OTREZKOW [x1 c1] [c1 c2], [c2 x2] I \SKLADYWAQ" POLU^ENNYE NERAWENSTWA f(c1);f(x1) >0, f(c2);f(c1) >0 f(x2);f(c2) >0. tEM SAMYM DLQ TO^EK x1 x2 2 I DOKAZANO WYPOLNENIE IM- PLIKACII x1 < x2 ) f(x1) <f(x2). Q.E.D.
3'. pRIZNAK UBYWANIQ FUNKCII NA PROMEVUTKE. eSLI FUNKCIQ y = f(x), QWLQQSX NEPRERYWNOJ NA PROMEVUTKE
I, IMEET PROIZWODNU@ f 0(x) < 0 W KAVDOJ WNUTRENNEJ TO^KE \TOGO PROMEVUTKA (ZA WOZMOVNYM ISKL@^ENIEM KONE^NOGO ^ISLA EGO TO^EK), TO FUNKCIQ y = f(x) QWLQETSQ UBYWA@]EJ NA PROMEVUTKE I.
pRIMERY. 1. fUNKCIQ y = x3 DLQ KOTOROJ (x3)0 = 3x2 > 0
PRI x 6=,0QWLQETSQ WOZRASTA@]EJ NA DEJSTWITELXNOJ OSI.
2. fUNKCIQ y = cos x, IMEQ PROIZWODNU@ cos0 x = ;sin x,
OTRICATELXNU@ WO WSEH WNUTRENNIH TO^KAH OTREZKA [0 ],
QWLQETSQ UBYWA@]EJ NA \TOM OTREZKE.
213
4. kAKIH RAZRYWOW NE BYWAET U PROIZWODNOJ FUNK-
CII. eSLI NA PROMEVUTKE I FUNKCIQ y = f(x) QWLQETSQ PRO- IZWODNOJ NEKOTOROJ FUNKCII y = '(x) (T. E. f(x) = '0(x) DLQ
|
|
2 |
|
|
|
1 |
WSEH x |
|
I ), |
TO FUNKCIQ y = f(x) NE IMEET NA PROMEVUTKE I |
|||
TO^EK USTRANIMOGO RAZRYWA ILI RAZRYWA 1-GO RODA . |
||||||
|
dOKAZATELXSTWO |
. pUSTX x0 | TO^KA PROMEVUTKA I, W KO- |
||||
|
|
|||||
TOROJ FUNKCIQ y = f(x) IMEET PREDEL SPRAWA |
lim f(x) = b. |
|||||
|
|
|
|
|
|
x!x0+0 |
pO OPREDELENI@ (SM. S. 125) \TO OZNA^AET, ^TO DLQ L@BOGO |
||||||
^ISLA " >0 |
SU]ESTWUET TAKOE ^ISLO >0, ^TO DLQ WSEH ZNA- |
|||||
^ENIJ x 2(x0 x0 + ) WYPOLNQETSQ NERAWENSTWO jf(x);bj< ". |
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
( 0 |
|
0 + |
|
) |
|
2 |
|
|
|
|
||
wZQW L@BOE ZNA^ENIE x |
|
|
x |
x |
|
|
|
|
I PRIMENIW K FUNKCII |
|||||||||||||
y = '(x) NA OTREZKE [x0 x] TEOREMU lAGRANVA , POLU^A@T: |
|
|||||||||||||||||||||
|
' x |
' x |
'0 |
c x |
|
x |
|
= f(c), GDE x0 |
< c < x < x0 + , |
|
||||||||||||
|
( |
); |
( |
0) = |
( )( |
; |
0) |
|
||||||||||||||
|
|
x;x0 |
|
|
x;x0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
TAK ^TO |
|
( 0) |
|
b = f(c) |
b < ", ESLI x0 < x < x0 + . |
|
||||||||||||||||
|
|
( ); |
|
|
||||||||||||||||||
|
|
' x |
' x |
; |
j |
|
|
|
; j |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
x;x0 |
|
|
|
|
' x |
; |
' x |
|
|
|
|
|
||||||||
|TO OZNA^AET, |
^TO b |
= |
|
lim |
|
( ) |
( 0) , IZ ^EGO SLEDUET |
|||||||||||||||
( |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x!x0+0 |
|
x;x0 |
0) = lim |
' x ' x |
), |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( |
( |
); |
( 0) |
|||
|
WWIDU SU]ESTWOWANIQ PROIZWODNOJ '0 x |
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x!x0 |
|
x;x0 |
|
|
^TO b = '0(x0) = f(x0). tEM SAMYM USTANOWLENO, ^TO ESLI |
||||||||||||||||||||||
FUNKCIQ y = f(x) = '0(x) IMEET W TO^KE x0 |
2 I PREDEL SPRA- |
|
WA, TO WYPOLNQETSQ SOOTNO[ENIE |
lim f(x) = f(x0). w SILU |
|
|
x!x0+0 |
|
TAKIH VE RASSUVDENIJ, ESLI FUNKCIQ y = f(x) = '0(x0) IMEET
W TO^KE x0 |
2 |
I PREDEL SLEWA, |
TO |
lim |
f(x) = f(x0). Q.E.D. |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
x!x0;0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
0 |
1 iNA^E GOWORQ, ESLI f(x) = '0(x) NA PROMEVUTKE I, TO W L@BOJ TO^KE |
|||||||||
|
|
|
|
|
= |
|
( ) |
|
( |
|
|
x |
|
\TOGO PROMEVUTKA FUNKCIQ y |
|
f x LIBO QWLQETSQ NEPRERYWNOJ |
|
A |
|||||
ESLI x0 | KONCEWAQ TO^KA PROMEVUTKA I, TO NEPRERYWNOJ SLEWA ILI
SPRAWA), LIBO IMEET W NEJ RAZRYW 2-GO RODA.
2 tAK KAK FUNKCIQ y = '(x) IMEET PROIZWODNU@ ('0(x) = f(x)) NA PROMEVUTKE I, ONA QWLQETSQ NEPRERYWNOJ NA OTREZKE [x0 x] I.
214
tEOREMA kO[I1. eSLI FUNKCII2 y =f(x) I y = g(x):
A) NEPRERYWNY NA OTREZKE I R ,
B) IME@T PROIZWODNYE f 0(x) I g0(x) WO WSEH WNUTRENNIH
TO^KAH x \TOGO OTREZKA, PRI^EM g0(x) 6= 0W L@BOJ IZ NIH, TO
f(b);f(a) = f 0(c) ,3, g(b);g(a) g0(c)
GDE a I b | KONCEWYE TO^KI4 OTREZKA I, A c | NEKOTORAQ WNUTRENNQQ TO^KA \TOGO OTREZKA.
dOKAZATELXSTWO5. nA OTREZKE I FUNKCIQ
f(b);f(a)
y = f(x); g(b);g(a) ;g(x);g(a)
UDOWLETWORQET WSEM TREM USLOWIQM TEOREMY rOLLQ (S. 208), W SILU KOTOROJ PROIZWODNAQ
;f(x) |
( ) ; |
( ) |
g(x) |
|
g(a) |
= f 0(x) |
( ); |
( ) g0 |
(x) |
||
|
f b |
f a |
; |
|
|
|
|
|
f b |
f a |
|
|
; g(b) ;g(a) |
|
|
; |
|
0 |
|
; g(b) ;g(a) |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|||||
\TOJ FUNKCII RAWNA NUL@ |
W NEKOTOROJ WNUTRENNEJ TO^KE c |
||||||||||
OTREZKA I , T. E. f 0(c) = |
( ); |
( ) g0 |
(c). Q.E.D. |
|
|
||||||
|
|
|
|
f b |
|
f a |
|
|
|
|
|
g(b);g(a)
sTAW[IJ KLASSI^ESKIM \KZAMENACIONNYJ WOPROS, NE WYTEKAET LI TEOREMA kO[I IZ TEOREMY lAGRANVA, PRIMENENNOJ (NA TOM VE OTREZKE I) K FUNKCIQM y =f(x) I y = g(x) (S POSLEDU@]IM \DELENIEM" UTWERVDAEMYH DLQ NIH TEOREMOJ lAGRANVA RAWENSTW), IMEET SLEDU@]IJ OTWET: RASSUVDAQ UKAZANNYM OBRAZOM, MOVNO POLU^ITX LI[X RAWENSTWO
f(b);f(a) = f 0(c1) , W KOTOROM c1 I c2 | NEKOTORYE WNUTRENNIE TO^KI g(b);g(a) g0(c2)
OTREZKA I (NE OBQZATELXNO SOWPADA@]IE).
1 wPERWYE SFORMULIROWANA I DOKAZANA FRANCUZSKIM MATEMATIKOM kO[I W 1829 G. ([35], S. 243).
2 pRINIMA@]IE DEJSTWITELXNYE ZNA^ENIQ.
3 zNAMENATELI W OBEIH ^ASTQH \TOGO RAWENSTWA NE RAWNY NUL@ W SILU PREDPOLOVENIQ, ^TO g0(x) 6=0WNUTRI OTREZKA I.
4 wNE ZAWISIMOSTI OT TOGO, a< b ILI a >b.
5 pO SHEME DOKAZATELXSTWA TEOREMY lAGRANVA (SM. S. 210).
215
IV.5. w ^EM SOSTOIT PRAWILO lOPITALQ
w PISXME OT 7 I@NQ 1694 G. MARKIZ DE lOPITALX1, POPROSIL SWOEGO NASTAWNIKA W MATEMATIKE iOGANNA bERNULLI UKAZATX \SPOSOB RE[ITX
p2a3x ; x4 ;ap3 aax
URAWNENIE y = a ;p4 ax3 PRI x= a" 2. w OTWETNOM PISXME OT
22 I@LQ 1964 G. i.bERNULLI SOOB]IL OB]EE PRAWILO (\regle generale"),
SOSTOQ]EE W TOM, ^TO \...NADO RAZDELITX DIFFERENCIAL ^ISLITELQ DRO- BI NA DIFFERENCIAL ZNAMENATELQ..."3. s SOGLASIQ i.bERNULLI lOPI-
TALX WKL@^IL SOOB]ENNOE EMU PRAWILO (ILL@STRIRUQ EGO TEM VE PRI- MEROM) W SWOJ U^EBNIK ([13], S. 308{310), W REZULXTATE ^EGO I WOZNIK I UTWERDILSQ (K DOSADE i.bERNULLI) TERMIN \PRAWILO lOPITALQ".
w SOWREMENNOJ FORMULIROWKE PRAWILO lOPITALQ (\RAS-
KRYTIQ NEOPREDELENNOSTEJ |
0 |
I |
1") IMEET SLEDU@]IJ WID. |
|||||||||
0 |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
pUSTX W NEKOTOROJ OKRESTNOSTI TO^KI4 a OBE FUNKCII |
||||||||||
|
|
y = f(x) I y = g(x) IME@T PROIZWODNYE, PRI^EM g0(x) 6=,0 |
||||||||||
|
|
I PUSTX LIBO |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1) limf(x) = 0 I |
limg(x) = 0, |
|
|
|||||||
|
|
x!a |
|
|
x!a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
LIBO |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2) limf(x) = |
1 |
I |
limg(x) = |
1 |
|
|
||||
|
|
x!a |
|
x!a |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
0 |
(x) |
= b, SLEDUET, ^TO lim f(x) |
|
||||
|
|
TOGDA IZ TOGO, |
^TO lim f0 |
= b.5 |
||||||||
|
|
|
|
x!a g |
(x) |
|
|
|
x!a g(x) |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
1 Guillaume Franc,ois Marquis de l'H^opital (1661{1704), OFICER FRAN-
CUZSKOJ KAWALERII, PO SLABOSTI ZRENIQ OSTAWIW[IJ WOENNU@ SLUVBU I ZANQW[IJSQ MATEMATIKOJ. s ODOBRENIQ lEJBNICA NAPISAL I W 1696 G. IZDAL PERWYJ W ISTORII U^EBNIK PO DIFFERENCIALXNOMU IS^ISLENI@
\Analyse des in niment petits", IME@]IJSQ I W RUSSKOM PEREWODE [13].
2 sEJ^AS BY SKAZALI: NAJTI PREDEL PRI x!a. w ORIGINALE (NA S. 226
IZDANNOJ PEREPISKI i.bERNULLI [32]: \la maniere de resoudre l'equation
y = p2a3xa;;xp44 ax;a3p3 aax lorsque x = a" (aa TOGDA NE PISALI KAK a2).
3 w ORIGINALE (NA S. 235 W [32]): \... il faut diviser la di erentielle du numerateur de la fraction generale par la di erentielle du denumerateur..."
4 kONE^NOJ ILI BESKONE^NOJ I NE WKL@^AEMOJ W \TU OKRESTNOSTX.
5 pRI \TOM b MOVET BYTX KAK KONE^NYM ^ISLOM, TAK I 1.
216
dANNOE UTWERVDENIE WYTEKAET IZ SLEDU@]EGO EGO WARI- ANTA DLQ PREDELOW SPRAWA, ESLI U^ESTX, ^TO SPRAWEDLIW I \SIMMETRI^NYJ" EMU WARIANT DLQ PREDELOW SLEWA.
pUSTX W NEKOTOROJ PRAWOJ OKRESTNOSTI TO^KI1 a FUNKCII y = f(x) I y = g(x) IME@T PROIZWODNYE, PRI^EM g0(x) 6=,0
I PUSTX LIBO
1) |
lim |
f(x) = 0 I |
lim |
g(x) = 0, |
|
|
||||||
|
x!a+0 |
|
|
|
|
|
x!a+0 |
|
|
|
|
|
LIBO |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2) |
lim |
f(x) = |
1 |
I |
lim |
g(x) = |
1 |
|
|
|||
|
x!a+0 |
|
|
|
x!a+0 |
|
|
|
||||
|
|
|
|
0 |
(x) |
|
|
|
|
f(x) |
|
|
TOGDA ESLI |
lim |
f0 |
= b,2 TO I |
lim |
= b. |
|||||||
|
|
|
x!a+0 g |
(x) |
|
|
x!a+0 g(x) |
|
||||
dOKAZATELXSTWO. pUSTX (a d)
TO^KI a, W KOTOROJ FUNKCII y = f(x) I y = g(x) IME@T PROIZ-
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
(x) = b,TO, |
WODNYE, PRI^EM g0(x) |
6 |
=.0eSLI SU]ESTWUET |
lim f0 |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x!a+0 g |
(x) |
||
WZQW L@BOE POLOVITELXNOE ^ISLO |
", MOVNO, \UMENX[AQ" |
|||||||||||
OKRESTNOSTX (a d) (SDWIGAQ TO^KU d WLEWO), MOVNO DOBITXSQ |
||||||||||||
TOGO, ^TOBY DLQ WSEH x |
2 |
(a d) WYPOLNQLISX NERAWENSTWA |
||||||||||
|
|
|
f 0 |
x |
|
" |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
" |
( ) |
|
3 |
|
|
|
||
|
b ; 2 |
< g0(x) < b + 2 . |
|
|
|
|||||||
eSLI WYPOLNENO USLOWIE 1) |
lim |
f(x) = 0 I |
lim g(x) = 0, |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
x!a+0 |
|
|
|
|
x!a+0 |
|
TO, WZQW (PROIZWOLXNO) TO^KU x 2 (a d) I TO^KU x1 2 (a x) I PRIMENIW K FUNKCIQM y = f(x) I y = g(x) NA OTREZKE [x1 x] TEOREMU kO[I, POLU^IW TAKIM OBRAZOM SOOTNO[ENIE
f(x);f(x1) = f 0(c) , GDE x1 < c< x (A SLEDOWATELXNO, c 2(a d)),
( ) ( ) g(x);g x1 g0 c
1 a MOVET BYTX TO^KOJ DEJSTWITELXNOJ OSI ILI ;1 (W POSLEDNEM |
||||||||||
2 |
|
! |
a+0 OZNA^AET, ^TO x |
!;1 |
. |
|
|
|
|
|
SLU^AE ZAPISX x |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
b MOVET BYTX KAK KONE^NYM ^ISLOM, TAK I 01. |
|
0 |
|
|
|||||
3 w SLU^AE KONE^NOGO b, I NERAWENSTWA 2 |
|
f (x) |
|
f |
(x) |
< ;2" |
||||
" < g0(x) |
ILI |
g0(x) |
||||||||
SOOTWETSTWENNO SLU^AQM b =+1 I b= ;1. |
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
217 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
||
MOVNO ZAKL@^ITX (WWIDU PREDYDU]IH NERAWENSTW DLQ fg0((xx)) ): |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
b |
|
|
|
" < g(x);g |
(x |
1) |
|
< b + " |
,1 LI[X TOLXKO a < x1 < x < d |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
f x |
|
|
f x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
( ) |
|
|
( |
1) |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
PEREHOD W \TIH;NERAWENSTWAH K PREDELU PRI x1 !a+0 (I FIK- |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
" |
|
|
|
|
( |
) |
|
|
|
|
|
" |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
SIROWANNOM x) DAET: |
|
|
b ; |
|
|
6 |
f x |
6 b + |
|
|
(A SLEDOWATELXNO, |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
2 |
g(x) |
2 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
f(x) |
; |
|
b |
|
< ")2 |
KAK TOLXKO a < x < c, T. E. |
|
lim |
f(x) |
= b. |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
g(x) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x!a+0 g(x) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
pRI USLOWII VE 2) |
|
lim |
|
f(x) = |
1 |
I |
lim g(x) = |
1 |
TAKVE |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x!a+0 |
|
|
|
|
|
|
|
x!a+0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
SLEDUET PRIMENITX TEOREMU kO[I, |
NO NA SEJ RAZ NA OTREZKE |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
[x x2], |
GDE a < x < x2 < d. pRIJDQ K NERAWENSTWAM |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
b |
|
|
|
|
|
" < g(x);g |
(x2) |
|
< b |
+ " |
,3 |
|
ESLI a < x < x2 < d, |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
; |
|
|
|
f x |
f x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
( ) |
|
( |
|
|
2) |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
MOVNO, WZQW W NIH;x (NE MENQQ x2 ) DOSTATO^NO BLIZKIM K a |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
(S TEM, ^TOBY ZNA^ENIE |
g x |
|
g x |
|
|
BYLO POLOVITELXNYM)4 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
( |
|
); |
|
( |
2) |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
g(x) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
PRIWESTI IH (UMNOVENIEM NA |
|
g x |
; |
g x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
( |
) |
|
( |
2) ) K WIDU |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
( ) |
; |
|
|
( |
|
2) |
b |
|
" + |
|
|
( 2) |
< |
|
( ) |
|
g(x) |
|
+ |
( ); |
( 2) |
|
b + " 5. |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
< |
|
( |
2) |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
g x |
|
|
g x |
|
|
|
; |
|
; |
|
|
|
f x |
|
|
|
|
|
|
f x |
|
|
f x |
|
|
|
|
g x |
|
g x |
; |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
g(x) |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
g(x) |
|
|
|
|
g(x) |
|
|
|
g(x) |
|
|
|
|
g(x) |
|
|
2 |
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
1 s ZAMENOJ W SLU^AE BESKONE^NOGO b \TIH NERAWENSTW NERAWENSTWOM |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
f x |
|
|
|
|
f x |
|
PRI |
b = + |
|
|
|
I NERAWENSTWOM |
f x |
|
f x |
< |
|
|
2" PRI |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
2" < g(x);g |
(x1) |
1 |
g(x);g(x1) |
; |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
( ) |
; |
|
|
( |
1) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( ) |
; |
( 1) |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
b =;1. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f(x) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f(x) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
2 sOOTWETSTWENNO, |
"< |
|
PRI b |
=+1 I |
<;" PRI b =;1. |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
g(x) |
g(x) |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
3 s ZAMENOJ IH NERAWENSTWOM 2" < |
f x |
|
|
f x |
|
|
PRI b = + |
|
|
I NERA- |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
g(x) |
;g |
(x2) |
1 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f x |
|
f x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( |
) |
; |
( 2) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
WENSTWOM |
|
|
< |
|
|
|
2" PRI b = |
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
g(x) |
;g |
(x |
2) |
; |
;1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( |
) |
; |
( |
2) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
lim |
|
|
g x |
|
|
g x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
4 sLEDUET U^ESTX, ^TO |
|
|
|
|
|
( |
); |
( |
2) = 1. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x!a+0 |
|
|
|
g(x) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
5 sOOTWETSTWENNO, |
2" |
g x |
|
|
|
g x |
2) |
+ |
f x |
|
|
|
f x |
PRI b = + |
|
|
I |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
( |
); |
|
( |
|
( |
2) < |
|
( |
) |
1 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
( ) |
< |
|
|
|
2" |
|
|
( ) |
; |
( 2) + |
|
|
( |
|
|
g(x) |
|
|
|
|
g(x) |
|
|
|
g(x) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2) . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
f x |
|
|
; |
|
|
|
|
g x |
|
g x |
|
|
|
|
f x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
g(x) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
g(x) |
|
|
|
|
|
|
g(x) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
218
wWIDU TOGO, ^TO |
lim |
g x |
g x |
= 1, A |
lim |
f x |
= 0, IZ |
( ); |
( 2) |
( 2) |
|||||
|
x!a+0 |
g(x) |
|
x!a+0 |
g(x) |
|
|
\TIH NERAWENSTW SLEDUET, |
^TO DLQ WSEH x, DOSTATO^NO BLIZ- |
||||||
KIH K a, WYPOLNQ@TSQ NERAWENSTWA b ;" < |
f(x) |
|
< b + ",1 T. E. |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
g(x) |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
lim f(x) |
= b. Q.E.D. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
x!a+0 g(x) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
pRIMER FUNKCIJ f(x) = x2 sin |
1 |
|
|
I g(x) = sin x, BESKONE^NO |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
x |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
! |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
MALYH PRI x |
0, POKAZYWAET NEOBRATIMOSTX PRAWILA lOPI- |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
TALQ: DLQ \TIH FUNKCIJ lim f(x) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
(x) NE |
|||||||||||||||||||||||||
|
= 0, TOGDA KAK |
|
lim f0 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
SU]ESTWUET. |
|
|
|
|
|
|
|
x!0 g(x) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x!0 g |
(x) |
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
! |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
nA PRIMERE VE FUNKCIJ f(x) = exp |
|
|
;x2 |
|
|
|
|
g(x) = x (OBE |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
ONI BESKONE^NO MALYE PRI x |
|
|
|
|
|
|
0) WIDNO, |
|
^TO PRQMOE PRI- |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
MENENIE PRAWILA lOPITALQ MOVET LI[X USLOVNITX \RAS- |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f |
0 |
( ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 exp |
;; |
|
1 |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
2 |
|
|
|
|
||||||||||||||
KRYTIE NEOPREDELENNOSTI": lim |
|
|
|
x |
|
= lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
NAJ- |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x!0 |
|
g x) |
|
|
|
|
|
|
|
x!0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
exp |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
;x |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
TI NE PRO]E, ^EM lim |
( ) |
= lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. w DANNOM SLU^AE |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
g(x) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
x!0 |
|
|
|
x!0 |
|
|
|
|
|
|
;x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
PRAWILO lOPITALQ LU^[E PRIMENITX, PEREHODQ K BESKONE^NO |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
BOLX[IM (PRI x |
! |
0) FUNKCIQM f(x) = x |
|
I g(x) = exp |
|
: |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
x2 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
exp |
|
|
;x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
lim |
|
|
|
|
|
|
= lim |
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
= 0 |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x! |
0 |
|
|
|
|
|
|
;x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x! |
0 |
|
exp |
x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
( |
1 |
)0 |
|
|
|
|
|
|
|
; |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
; |
|
|
|
|
* |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
lim |
|
|
|
|
|
|
= lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= lim |
|
|
|
|
exp |
|
= 0 |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
1 |
|
0 |
2 |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
2 |
|
|
;x |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
x!0 |
(exp |
x2 |
) |
|
x!0 ; |
x3 |
|
exp |
x2 |
|
|
|
|
|
x!0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
exp |
|
|
; |
1 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
(TO^NO TAK VE POLU^A@T, ^TO lim |
|
|
x2 |
|
|
|
|
=0, A PRIMENQQ PRAWILO |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x!0 |
|
|
|
|
|
|
;x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
lim |
exp |
|
|
; |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
lOPITALQ NESKOLXKO RAZ | ^TO |
|
|
|
x2 |
|
|
|
=0 PRI n>2). |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x!0 |
|
|
|
;xn |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
1 sOOTWETSTWENNO, "< |
f(x) |
PRI b=+1 I |
|
f(x) |
<;" PRI b =;1. |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
g(x) |
|
g(x) |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
219
V. wYS[IE PROIZWODNYE I DIFFERENCIALY
V.1. kAK OPREDELQ@T WYS[IE PROIZWODNYE I DIFFERENCIALY FUNKCIJ
pROIZWODNYMI I DIFFERENCIALAMI WYS[IH (WTOROGO I SLEDU@]IH) PORQDKOW NAZYWA@T PROIZWODNYE PROIZWODNYH, DIFFERENCIALY DIFFERENCIALOW I T. D.
s PONIMANIEM TOGO, ^TO S^ITATX PROIZWODNYMI WYS[IH PORQDKOW, SLOVNOSTEJ NE WOZNIKAET1: KAK PISAL W 1823 G. kO[I2, \IZ DANNOJ FUNKCII y = f(x) W OB]EM SLU^AE MOVNO WYWESTI MNOVESTWO NOWYH FUNKCIJ, KAVDAQ IZ KOTORYH BU- DET PROIZWODNOJ PREDYDU]EJ. |TI NOWYE FUNKCII ESTX TO,
^TO NAZYWA@T PROIZWODNYMI RAZLI^NYH PORQDKOW DLQ y ILI f(x), S ISPOLXZOWANIEM DLQ NIH OBOZNA^ENIJ
ILI
y0 y00 y000 yIV yV : : : y(n)
f 0(x) f 00(x) f 000(x) fIV (x) f V (x) : : : f(n)(x)." 3
qSNO, ^TO PRI TAKOM PONIMANII PROIZWODNOJ PORQDKA n DLQ EE SU]ESTWOWANIQ W TO^KE x0 NEOBHODIMO (NO NE DOSTA- TO^NO), ^TOBY PROIZWODNAQ PORQDKA n ;1 SU]ESTWOWALA NE TOLXKO W \TOJ TO^KE, NO I W NEKOTOROJ EE OKRESTNOSTI.
1 oSTA@TSQ LI[X WOPROSY, W KAKIH TO^KAH ONI SU]ESTWU@T, KAK IH WY^ISLQTX I ^EMU ONI RAWNY.
2 iSPOLXZUEMYE kO[I OBOZNA^ENIQ PROIZWODNYH NE PRETERPELI IZ- MENENIQ NADO LI[X DOBAWITX, ^TO POD PROIZWODNOJ NULEWOGO PORQDKA
PONIMA@T SAMU FUNKCI@: y(0) |
def |
f (0) |
def |
= y, |
(x) = f(x). |
3 w ORIGINALE ([35], S. 69): \... d'une fonction donnee y = f(x) on pourra deduire en general une multitude de fonctions nouvelles dont chacune sera la derivee de la precedente. Ces fonctions nouvelles sont ce
qu'un nomme les derivees des diverses ordres de y ou f(x), et on les
indique a l'aide des notations
y0 y00 y000 yIV yV : : : y(n)
ou
f0(x) f00(x) f 000(x) fIV (x) f V (x) : : : f(n)(x)."
220
xn |
ESLI x | RACIONALXNOE ^ISLO |
tAK, FUNKCIQ y = ( 0 |
ESLI x | IRRACIONALXNOE ^ISLO |
IMEET (PRI L@BOM n >1) PROIZWODNU@ (RAWNU@ NUL@) TOLX-
KO W TO^KE x = 0, A POTOMU PROIZWODNOJ WTOROGO PORQDKA (I SLEDU@]IH) \TA FUNKCIQ NE IMEET NI W ODNOJ TO^KE.
fORMULA PROIZWODNOJ PROIZWEDENIQ (f g)0 = f 0g+f g0 IME-
ET OBOB]ENIE NA PROIZWODNYE WYS[IH PORQDKOW, NAZYWAEMOE
n
FORMULOJ lEJBNICA1: (f g)(n) =XCnkf(k)g(n;k) .
k=0
wYWESTI \TU FORMULU MOVNO (KAK \TO I DELAL lEJBNIC),
SWODQ EE K FORMULE BINOMA nX@TONA (f + g)n = Pn
k=0
(SM. S. 26): DOSTATO^NO ZAMETITX, ^TO ESLI PROIZWODNYM FUNK- CIJ f I g SOPOSTAWITX IH STEPENI (S TEMI VE POKAZATELQ- MI, ^TO I PORQDKI PROIZWODNYH), TO
A) PRAWOJ ^ASTI RAWENSTWA (f g)0 = f0g +f g0 BUDET SOOT-
WETSTWOWATX PERWAQ STEPENX BINOMA f +g
B) PEREHOD OT (f g)(n;1) K (f g)(n) = ;(f g)(n;1) 0 BUDET PRO- IZWODITXSQ PO TOMU VE PRAWILU, ^TO I PEREHOD OT (f+g)n;1 K (f+g)n = (f+g)n;1(f+g): PODOBNO TOMU KAK KAVDOE SLAGAEMOE W (f +g)n;1 (POSLE RASKRYTIQ SKOBOK) PRI UMNOVENII NA f +g ZAMENQETSQ DWUMQ, W ODNOM IZ KOTORYH UWELI^IWAETSQ NA EDINICU POKAZATELX STEPENI f , A W DRUGOM | POKAZATELX STEPENI g, KAVDOE SLAGAEMOE W (f g)(n;1) (POSLE RASKRYTIQ SKOBOK) PRI WZQTII PROIZWODNOJ ZAMENQETSQ DWUMQ, W ODNOM IZ KOTORYH UWELI^IWAETSQ NA EDINICU PORQDOK PROIZWODNOJ f , A W DRUGOM | PORQDOK PROIZWODNOJ g.
1 wPERWYE \TA FORMULA (PRAWDA, PRIMENITELXNO NE K PROIZWODNYM, A K DIFFERENCIALAM) WSTRE^AETSQ W PISXMAH 1695 G. lEJBNICA K i. bERNULLI ([46], S. 175, 221).