Шведенко Начала математического анализа 2011

101

III. pREDEL I NEPRERYWNOSTX FUNKCII

III.1. ~TO PONIMA@T POD PREDELOM FUNKCII W TO^KE I EE NEPRERYWNOSTX@ W NEJ

~ISLO b NAZYWA@T PREDELOM FUNKCII y = f(x)

\DLQ L@BOGO POLOVITELXNOGO ^ISLA (OBOZNA^AEMOGO ") SU]ESTWUET TAKOE POLOVITELXNOE ^ISLO (OBOZNA^AEMOE ), ^TO DLQ L@BOGO ZNA^ENIQ x, UDOWLETWORQ@]EGO NERAWENST- WAM 0<jx;aj< , WYPOLNQETSQ NERAWENSTWO jf(x) ;bj< ""

\DLQ L@BOGO POLOVITELXNOGO ^ISLA " SU]ESTWUET TAKAQ

-OKRESTNOSTX TO^KI a, ^TO DLQ L@BOJ (NO OTLI^NOJ OT a)

TO^KI x IZ \TOJ OKRESTNOSTI ZNA^ENIE f(x) OTLI^AETSQ OT ^ISLA b MENX[E, ^EM NA "".2

dANNOE OPREDELENIE PREDELA FUNKCII3 NADLEVIT SOPRO- WODITX SLEDU@]IMI ZAME^ANIQMI.

1. oPREDELENIE OTNOSITSQ K FUNKCIQM KAK DEJSTWITELX- NOJ, TAK I KOMPLEKSNOJ PEREMENNOJ. rAZLI^IE SWODITSQ K

GEOMETRI^ESKOJ TRAKTOWKE NERAWENSTW: W SLU^AE KOMPLEKS-

NOJ PEREMENNOJ x (KOGDA EE ^A]E OBOZNA^A@T z) NERAWENSTWA

0 < jz;aj< WYRAVA@T PRINADLEVNOSTX TO^KI z 2C KRUGU RADIUSA S (ISKL@^ENNYM) CENTROM a 2C .

1 rANEE W HODU BYLA ZAPISX limf (x) = b.

x=a

2 ~ISLA I IZOBRAVA@]IE IH TO^KI WOSPRINIMA@T W ANALIZE KAK SINONIMY, ODNAKO W ZDESX UDOBNEE GOWORITX O ^ISLE b I TO^KAH a I x.

3 |TO BAZOWOE OPREDELENIE, EGO RAZNOWIDNOSTI OBSUVDA@TSQ DALEE.

102

2. iZ OPREDELENIQ SLEDUET, ^TO PONQTIE \PREDELA FUNK- CII W TO^KE" QWLQETSQ HARAKTERISTIKOJ POWEDENIQ FUNKCII W OKRESTNOSTI DANNOJ TO^KI, ISKL@^AQ SAMU \TU TO^KU:

ZNA^ENIE f(a) (BUDX ONO OPREDELENO ILI NET) NE WLIQET NI NA

SU]ESTWOWANIE, NI NA WELI^INU PREDELA FUNKCII y = f(x) W TO^KE a.

3. sLEDUET U^ITYWATX SPECIFIKU POSTROENIQ OTRICANIJ FORMUL, W KOTORYE WHODQT ZNA^ENIQ FUNKCIJ. k PRIMERU, ESLI OTRICANIEM PO OTNO[ENI@ K NERAWENSTWU jx ; aj <

SLUVIT NERAWENSTWO jx ; aj > , TO OTRICANIEM PO OTNO-

[ENI@ K NERAWENSTWU jf(x) ;bj < " QWLQETSQ UTWERVDENIE:

\LIBO jf(x);bj >", LIBO ZNA^ENIE f(x) NE OPREDELENO"1. oTRICANIE UTWERVDENIQ \^ISLO b ESTX PREDEL FUNKCII

y = f(x) W TO^KE a" STROITSQ PO\TOMU SLEDU@]IM OBRAZOM:

:8">0 9 >0 8x;0<jx;aj< )jf(x) ;bj<" =

= 9">0 8 >0 9x;0<jx;aj< ^ ((jf(x) ;bj>")_(:!f(x)))

(\SU]ESTWUET TAKOE POLOVITELXNOE ^ISLO (OBOZNA^AEMOE "),

^TO W L@BOJ OKRESTNOSTI TO^KI a ESTX OTLI^NAQ OT a TO^KA x, W KOTOROJ ZNA^ENIE f(x) LIBO OTLI^AETSQ OT ^ISLA b NE MENX[E, ^EM NA ", LIBO NE OPREDELENO").

iNOGDA OPREDELENIE PREDELA FUNKCII W TO^KE PREDWARQ-

@T PREDPOLOVENIEM: \pUSTX FUNKCIQ y = f(x) OPREDELENA W NEKOTOROJ OKRESTNOSTI TO^KI a, ISKL@^AQ, WOZMOVNO, SAMU \TU TO^KU". hOTQ NALI^IE \TOGO PREDPOLOVENIQ PERED FOR-

MULOJ

8">0 9 >0 8x;0<jx;aj< )jf(x) ;bj<"

1 w FORMULXNOM WIDE: :;jf (x);bj<" =;jf(x);bj>" _;:!f(x) , GDE !f (x) | SIMWOLI^ESKAQ ZAPISX TOGO, ^TO \OPREDELENO ZNA^ENIE f(x)". (nAGLQDNAQ ANALOGIQ: LOVNOSTX UTWERVDENIQ \W MOEM \Bentley" NE BOLX[E DWUH BUTYLOK WINA" IMEET WARIANTY: \W MOEM \Bentley" BOLX[E DWUH BUTYLOK WINA" I \NIKAKOGO \Bentley" U MENQ NET".)

103

QWLQETSQ IZBYTO^NYM1, ONO POZWOLQT SOKRATITX ZAPISX OT-

8">0 9 >0 8t;0<jtj< )jf(t+a) ;bj<" ,

A POTOMU ZADA^A NAHOVDENIQ PREDELA FUNKCII y = f(x) W

TO^KE a RAWNOSILXNA ZADA^E (^ASTO BOLEE UDOBNOJ DLQ RE- [ENIQ) OTYSKANIQ PREDELA FUNKCII y = f(t+a) W NULE.

iZ SAMOGO OPREDELENIQ SINUSA DEJSTWITELXNOGO ^ISLA2 SLEDUET NERAWENSTWO j sin xj6jxj, TAK ^TO S U^ETOM FORMUL

sin x;sin a = 2 cos x+a sin x;a , cos x;cos a =;2 sin x+a sin x;a

2 2 2 2

WYPOLNQ@TSQ NERAWENSTWA

j sin x ;sin aj 6 jx;aj I j cos x ;cos aj 6 jx;aj,

W SILU KOTORYH ISTINNOSTX UTWERVDENIJ

1 dANNOE PREDPOLOVENIE ZALOVENO W SAMOJ FORMULE: ESLI SKOLX UGODNO BLIZKO OT TO^KI a ESTX TO^KI x, W KOTORYH ZNA^ENIE f(x) NE OPREDELENO, TO ZNA^ENIE FORMULY ESTX \LOVX".

2 sin x ESTX PROEKCIQ NA \WERTIKALXNU@" OSX DUGI EDINI^NOJ OKRUV- NOSTI DLINY jxj, OTMERENNOJ OT TO^KI 1 \GORIZONTALXNOJ" OSI SOOT- WETSTWENNO \PROTIW HODA ^ASOWOJ STRELKI" W SLU^AE x >0 I W OBRATNOM NAPRAWLENII, ESLI x < 0.

104

8">09 >08x;0 < jx;aj< ) j sin x ;sin aj< " , 8">09 >08x;0 < jx;aj< ) j cos x ;cos aj< "

WYTEKAET (KAK I W PREDYDU]EM PRIMERE) IZ WOZMOVNOSTI WYBORA = ".

3. fUNKCIQ y = sin x1 NE IMEET PREDELA W TO^KE 0.

dLQ PROIZWOLXNO WZQTOGO POLOVITELXNOGO ^ISLA PUSTX

IMEET >:PREDEL, RAWNYJ NUL@, W L@BOJ TO^KE a ^ISLOWOJ OSI.

pUSTX | RASSTOQNIE OT ^ISLA a (TO^KI ^ISLOWOJ OSI) DO BLIVAJ[EGO K NEMU (NO OTLI^NOGO OT NEGO) CELOGO ^ISLA.

1 sU]ESTWOWANIE TAKOGO NATURALXNOGO ^ISLA n GARANTIRUET AKSIO-

MA aRHIMEDA (SM. S. 29).

2 kAKIM BY NI BYLO DEJSTWITELXNOE ^ISLO b, DOSTATO^NO WZQTX " = 1

I DLQ L@BOGO ^ISLA > 0 WZQTX W KA^ESTWE x ^ISLO 1 PRI b >0

; 2 +2 n

I 1 PRI b < 0.

2 +2 n

105

tOGDA f(x) = 0 DLQ L@BOGO x S 0<jx;aj< , TAK ^TO ISTINNO

UTWERVDENIE 8a8">09 >08x;0<jx;aj< ) jf(x);0j< ").

5. lim x2 = a2.

x!a

~TOBY DOKAZATX ISTINNOSTX UTWERVDENIQ

8">09 >08x;0 < jx;aj< ) jx2 ;a2j< " ,

TREBUETSQ PROWESTI NEBOLX[U@ PODGOTOWITELXNU@ RABOTU. eSLI jx;aj< , TO jxj= jx;a +aj6 +jaj, A SLEDOWATELXNO,

jx2 ;a2j= jx;aj jx+aj< (2jaj+ )

ZNA^IT, WYPOLNENIE IMPLIKACII jx ; aj< ) jx2 ; a2j < " BUDET OBESPE^ENO, ESLI POLOVITELXNYE ^ISLA " I UDOWLE- TWORQ@T NERAWENSTWU (2jaj+ )6". pO\TOMU DOSTATO^NO DLQ L@BOGO ^ISLA ">0 WZQTX =pa2 + ";jaj | POLOVITELXNYJ KORENX KWADRATNOGO URAWNENIQ 2 + 2jaj ;" = 0 (ILI L@BOE MENX[EE POLOVITELXNOE ^ISLO).

6. limpx = pa PRI L@BOM a >0.

x!a

kAKIM BY NI BYLO POLOVITELXNOE ^ISLO ", WZQW W KA-

^ESTWE NAIMENX[EE IZ POLOVITELXNYH ^ISEL a I "pa,

MOVNO UTWERVDATX: KAKIM BY NI BYLO DEJSTWITELXNOE ^IS-

1 pOSKOLXKU 6a, NERAWENSTWO jx;aj< OBESPE^IWAET POLOVITELXNOSTX ^ISLA x, TAK ^TO ZNA^ENIE px OPREDELENO (SM. S. 33).

fUNKCI@ y = f(x) PEREMENNOJ1 x NAZYWA@T NEPRERYWNOJ W TO^KE a, ESLI ISTINNO UTWERVDENIE, WYRAVAEMOE FORMU- LOJ

8">0 9 >0 8x;jx;aj< )jf(x) ;f(a)j<" ,

SMYSL KOTOROJ: \DLQ PROIZWOLXNO WZQTOGO POLOVITELXNO- GO ^ISLA SU]ESTWUET TAKAQ OKRESTNOSTX TO^KI a, ^TO DLQ L@BOJ TO^KI x IZ \TOJ OKRESTNOSTI ZNA^ENIQ f(x) I f(a) RAZLI^A@TSQ MENX[E, ^EM NA WZQTOE POLOVITELXNOE ^ISLO"2.

1 dEJSTWITELXNOJ ILI KOMPLEKSNOJ | S TEM LI[X RAZLI^IEM, ^TO

KOMPLEKSNU@ PEREMENNU@ ^A]E OBOZNA^A@T z, A NE x.

2 dRUGOJ WARIANT PRO^TENIQ: \DLQ PROIZWOLXNO WZQTOGO POLOVI-

TELXNOGO ^ISLA " SU]ESTWUET TAKOE POLOVITELXNOE ^ISLO , ^TO W L@BOJ TO^KE x, OTSTOQ]EJ OT TO^KI a MENX[E, ^EM NA , ZNA^ENIE f(x) OTLI^AETSQ OT ZNA^ENIQ f (a) MENX[E, ^EM NA "".

108

wWIDU TOGO, ^TO SMYSL FORMULY NE MENQETSQ PRI ZAMENE W NEJ NERAWENSTWA jx;aj < NERAWENSTWAMI 0 < jx;aj < ,

NEPRERYWNOSTX FUNKCII y = f(x) W TO^KE a RAWNOSILXNA

WYPOLNENI@ SLEDU@]IH USLOWIJ:

A) FUNKCIQ y = f(x) ODNOWREMENNO OPREDELENA I IMEET PREDEL W TO^KE a,

B) PREDEL \TOJ FUNKCII W TO^KE a I EE ZNA^ENIE W NEJ

SOWPADA@T: limf(x) = f(a).

x!a

zDESX PROQWLQETSQ RAZLI^IE PONQTIJ PREDELA I NEPRE- RYWNOSTI FUNKCII W TO^KE: ESLI PREDEL OTRAVAET POWEDENIE FUNKCII W OKRESTNOSTI TO^KI, ISKL@^AQ SAMU \TU TO^KU,

TO NEPRERYWNOSTX, NAPROTIW, SWQZYWAET POWEDENIE FUNKCII W OKRESTNOSTI TO^KI I EE ZNA^ENIE W SAMOJ TO^KE.

iZ RAZBORA PRIMEROW NA S. 103{106 SLEDUET:

1) FUNKCII y = x, y = jxj, y = x2 , A TAKVE FUNKCII y = sin x I y = cos x, QWLQ@TSQ NEPRERYWNYMI W L@BOJ TO^KE DEJSTWITELXNOJ OSI

n!+1

W KAVDOJ TO^KE DEJSTWITELXNOJ OSI, QWLQETSQ NEPRERYWNOJ TOLXKO W TEH IZ NIH, KOTORYE SOOTWETSTWU@T NECELYM ^IS- LAM: W TO^KAH, IZOBRAVA@]IH CELYE ^ETNYE ^ISLA, ZNA^E-

NIE FUNKCII (RAWNOE EDINICE) OTLI^NO OT EE PREDELA (RAW-

NOGO NUL@) W TO^KAH VE, IZOBRAVA@]IH CELYE NE^ETNYE

^ISLA, ZNA^ENIE FUNKCII NE OPREDELENO

4) KAVDAQ IH FUNKCIJ y = pn x n = 2 3 : : : QWLQETSQ

NEPRERYWNOJ W L@BOJ TO^KE a 2 (0 +1).

5) FUNKCIQ w = ez NEPRERYWNA W L@BOJ TO^KE a (KAK DEJ- STWITELXNOJ OSI, TAK I KOMPLEKSNOJ PLOSKOSTI).

109

III.2. kAK \KWIWALENTNO OPREDELQ@T PREDEL I NEPRERYWNOSTX FUNKCII W TO^KE

kRITERIJ1 (\KWIWALENTNOE OPREDELENIE) PREDELA FUNKCII W TO^KE\^EREZ POSLEDOWATELXNOSTI". uTWERV-

DENIE

A) \FUNKCIQ y = f(x) IMEET W TO^KE a PREDEL, RAWNYJ b", PO OPREDELENI@2 WYRAVAEMOE FORMULOJ

8">0 9 >0 8x;0<jx ;aj< )jf(x) ;bj<" ,

RAWNOSILXNO UTWERVDENI@

B) DLQ L@BOJ, SHODQ]EJSQ K TO^KE a, POSLEDOWATELXNOSTI fxng TO^EK, OTLI^NYH OT a, ZNA^ENIQ f(xn) OBRAZU@T POSLE- DOWATELXNOSTX ff(xn)g, SHODQ]U@SQ K ^ISLU b.

dOKAZATELXSTWO. 1. pUSTX ISTINNO UTWERVDENIE a), I DLQ PROIZWOLXNO WZQTOGO POLOVITELXNOGO ^ISLA " PUSTX | TO

POLOVITELXNOE ^ISLO, KOTOROE SU]ESTWUET3 DLQ WZQTOGO ^ISLA ". eSLI fxng | KAKAQ-LIBO SHODQ]AQSQ K a POSLEDOWA- TELXNOSTX TO^EK, OTLI^NYH OT a, TO DLQ UKAZANNOGO ^ISLA (KAK I DLQ L@BOGO POLOVITELXNOGO ^ISLA) SU]ESTWUET TA- KOE ^ISLO n0, ^TO DLQ WSEH NATURALXNYH ^ISEL n >n0 WYPOL- NQ@TSQ NERAWENSTWA 0 < jxn ;aj< , A SLEDOWATELXNO, WWIDU ISTINNOSTI UTWERVDENIQ A), I NERAWENSTWO jf(xn) ; bj < ". |TIM USTANOWLENA SHODIMOSTX POSLEDOWATELXNOSTI ff(xn)g K ^ISLU b, A S NEJ I ISTINNOSTX UTWERVDENIQ B).

2. pUSTX UTWERVDENIE A) LOVNO, T. E. ISTINNO EGO OTRI- CANIE, WYRAVAEMOE (KAK OTME^ALOSX NA S. 102) FORMULOJ

1 w RAWNOJ STEPENI OTNOSITSQ K FUNKCIQM DEJSTWITELXNOJ I KOMPLEKSNOJ PEREMENNOJ: UPOMINAEMYE W NEM ^ISLA MOGUT BYTX KAK DEJ-

STWITELXNYMI, TAK I MNIMYMI, A TO^KI | KAK DEJSTWITELXNOJ OSI, TAK I KOMPLEKSNOJ PLOSKOSTI.

2 sM. S. 101.

3 sOGLASNO FORMULE, WYRAVA@]EJ UTWERVDENIE a).

110

jf(xn);bj>" (LIBO ZNA^ENIE f(xn) NE OPREDELENO). pOSLEDOWA- TELXNOSTX fxng SHODITSQ K ^ISLU a, EE \LEMENTY OTLI^NY OT a, ODNAKO POSLEDOWATELXNOSTX ff(xn)g NE SHODITSQ K ^ISLU b (LIBO NE OPREDELENA). nALI^IE TAKOJ POSLEDOWATELXNOSTI

fxng OZNA^AET LOVNOSTX UTWERVDENIQ B): Q.E.D.

kRITERIJ (\KWIWALENTNOE OPREDELENIE) NEPRERYW- NOSTI FUNKCII W TO^KE \^EREZ POSLEDOWATELXNOSTI". uTWERVDENIE

A) \FUNKCIQ y = f(x) QWLQETSQ NEPRERYWNOJ W TO^KE a", PO OPREDELENI@1 WYRAVAEMOE FORMULOJ

8">0 9 >0 8x;jx;aj< )jf(x) ;f(a)j<" ,

RAWNOSILXNO UTWERVDENI@

B) \DLQ L@BOJ POSLEDOWATELXNOSTI TO^EK fxng, SHODQ]EJ- SQ K TO^KE a, POSLEDOWATELXNOSTX ff(xn)g ZNA^ENIJ FUNKCII W TO^KAH xn SHODITSQ K ZNA^ENI@ f(a)".

dOKAZATELXSTWO2. 1. pUSTX ISTINNO UTWERVDENIE A). eSLI fxng | L@BAQ SHODQ]AQSQ K a POSLEDOWATELXNOSTX TO^EK xn, TO, WZQW L@BOE ^ISLO ">0 I SU]ESTWU@]EE DLQ NEGO ^ISLO> 0, MOVNO UTWERVDATX (POSKOLXKU lim xn = a) SU]ESTWO- WANIE NATURALXNOGO ^ISLA n0 SO SWOJSTWOM: ESLI n >n0, TO jxn; aj< , A SLEDOWATELXNO, jf(xn);f(a)j< ". |TIM DOKAZANA SHODIMOSTX POSLEDOWATELXNOSTI ff(xn)g K ^ISLU f(a).

1 sM. S. 107.

2 pO SHEME DOKAZATELXSTWA PREDYDU]EGO UTWERVDENIQ, NO S TEM OT- LI^IEM, ^TO DLQ PEREMENNOJ x (BUDX ONA DEJSTWITELXNOJ ILI KOMP-

LEKSNOJ) ZNA^ENIE x = a NE ISKL@^AETSQ.