Шведенко Начала математического анализа 2011

71

Замечание. При замене в условии утверждения неравенства xn yn на строгое xn < yn утверждать можно лишь нестрогое неравенство lim xn lim yn ; это видно на примере последовательностей −n1 и n1 .

“Принцип сэндвича”. Если {xn} и {xn} — сходящиеся

последовательности, причем lim xn = lim xn = x, а последовательность {yn} такова, что xn yn xn для всех n, начиная с некоторого, то последовательность {yn} также является сходящейся и lim yn = x.1

Доказательство. Так как lim xn = x и lim xn = x, для любого положительного числа ε существуют такие натуральные числа n1 и n1 , что

Если за n0 взять какое-либо натуральное число, не меньшее как обоих чисел n1 и n1, так и того числа n, начиная с которого выполняются неравенства xn yn xn , то для всех натуральных чисел n > n0 выполненными окажутся также неравенства x −ε < xn yn xn < x + ε, так что истинным оказывается утверждение ε > 0 n0 n(n > n0 |yn−x|< ε),

т.е. lim yn = x. Q.E.D.

1Наглядной иллюстрацией сформулированного свойства, объясняющей его название, служит известное наблюдение: если в с´эндвиче —

изделии, состоящем из двух ломтей хлеба, проложенных какой-либо начинкой, — оба ломтя хлеба направляются в (один и тот же) рот, то туда же уходит и начинка. Термин “сэндвич” (а его применяют и к изделиям непищевого назначения) вошел в обиход после того, как английский мореплаватель и государственный деятель Джон Монтегю, 4-й граф Сэндвич (John Montagu, 4-th Earl of Sandwich, 1718–1792) отметился в лондонском обществе тем, что сутки провел за игровым столом, подкрепляясь (дабы не пачкать рук) исключительно такими изделиями. (The Oxford English Dictionary. Oxford, 1989, v. XIV, p. 456.)

72

Применение вышеприведенных свойств сходящихся последовательностей иллюстрирует разбор двух важных примеров (и следующих за ними утверждений).

бинома Ньютона (см. с. 26) и опуская в ее правой части все слагаемые, кроме первого и третьего, можно заключить,

3Непосредственным раскрытием скобок или примением формулы

бинома Ньютона.

4С учетом свойств арифметического корня (см. с. 35, замечание 1).

73

можно заметить, что вторая из последних двух дробей мень-

n > n0, где n0 — наибольшее из чисел n1, n2.

Если последовательность {xn} положительных чисел схо-

√

дится к числу x, то последовательность n x1 · · · xn средних геометрических элементов этой последовательности также сходится к x.

Доказательство. Пусть ε — любое положительное число, а n1 — такое натуральное число, что для всех натуральных чисел n > n1 выполняются неравенства x − 2ε < xn < x + 2ε . Тогда

этого для всех достаточно больших n (б´ольших некоторого

74

для всех n, б´ольших√наибольшего из чисел n1, n2, выполняется и неравенство n x1 · · · xn < x + ε.

Если x = 0, то этого неравенства достаточно, чтобы утвер-

√

ждать1, что lim n x1 · · · xn = 0 = lim xn . Если же x > 0, то

достаточно больших n (б´ольших некоторого n3) выполняет-

всех n > n0, где n0 — наибольшее из чисел n1, n2, n3.

Доказанное утверждение позволяет сделать следующий важный вывод.

Если для последовательности {xn} положительных чисел

1 Ввиду произвольности числа ε > 0.

√

2 С заменой их неравенством n x1 · · · xn > x − ε, если число x − ε

оказывается отрицательным.

3 В случае неотрицательности числа x−ε (а потому и числа x−2ε ).

77

II.2. Какие последовательности называют монотонными и какие из них сходятся

Последовательность {xn} действительных чисел называется : а) возрастающей, б) неубывающей, в) убывающей,

г) невозрастающей, если истинны, соответственно, утвер-

ждения: а) n(xn < xn+1), б) n(xn xn+1), в) n(xn > xn+1), г) n(xn xn+1); названные виды последовательностей объ-

единяют термином монотонные последовательности 1.

Замечание 1. Так как любая возрастающая последовательность является неубывающей, а любая убывающая — невозрастающей, все установленное для неубывающих последовательностей, справедливо и для возрастающих , а то, что верно для невозрастающих , остается верным и для убывающих .

Замечание 2. Поскольку добавление или отбрасывание любого конечного числа начальных элементов последовательности не влияют на ее сходимость (см. с. 66, свойство 2), в формулировках утверждений о пределах монотонных последовательностей условие монотонности можно заменить на монотонность, начиная с некоторого “номера”.

Теорема о сходимости ограниченных монотонных последовательностей. Любая ограниченная монотонная

последовательность является сходящейся. Точнее:

1)если неубывающая последовательность {xn} ограничена сверху, то она сходится;

2)если невозрастающая последовательность {xn} ограничена снизу, то она сходится.

1Словосочетания типа монотонно возрастающая (вместо возрастающая) являются избыточными, поскольку возрастание уже есть проявление монотонности (греч. µoνoτ oνoς — однообразный.

78

Доказательство (к примеру, пункта 1). Ограниченность сверху последовательности {xn} = x1 , x2 , . . . означает то же самое, что ограниченность сверху множества {x1, x2, . . . } ее элементов.1 Согласно теореме существования точных граней

(см. с. 42) у множества {x1, x2, . . . } есть точная верхняя грань — действительное число x со свойствами:

а) x является верхней границей этого множества: любой элемент множества {x1, x2, . . . } не больше числа x;

б) любое число, меньшее x (а его можно записать в виде x −ε, где ε > 0), не является верхней границей этого множества: существует элемент xn0 {x1, x2, . . . }, превосходящий это число2.

Выполнение этих свойств, имеющих формульную запись

а) n(xn x) и б) ε > 0 n0 (xn > x −ε), влечет истинность утверждения

ε > 0 n0 n(n > n0 x −ε < xn < x + ε),

т. е. сходимость последовательности {xn} к числу x.

Любая неограниченная монотонная последовательность является бесконечно большой. Точнее:

1)неограниченная неубывающая последовательность расходится к +∞;

2)неограниченная невозрастающая последовательность расходится к −∞.

Доказательство (к примеру, пункта 2). Неограниченная

1Как отмечалось (см. с. 23), последовательность {xn} = x1, x2, . . .

имножество {x1, x2, . . . } ее элементов — это разные объекты (различающиеся так же как график функции y = f (x) и его проекция на

ось y): если xn = xm (при n =m), то xn и xm — различные элементы

последовательности {xn} = x1, x2, . . . , представляющие один и тот же элемент множества {x1, x2, . . . }.

2А следовательно — ввиду неубывания последовательности {xn} — превосходящими число x −ε оказываются и все элементы xn с n > n0.

79

невозрастающая последовательность {xn} является (в силу неравенств x1 x2 . . .xn xn+1 . . . ) неограниченной снизу. Каким бы ни было положительное число h, существует поэтому элемент xn0 последовательности {xn}, меньший числа −h, так что (ввиду невозрастания последовательно-

сти) −h > xn0 xn0+1 xn0+2 · · · , и истинным оказывается утверждение h > 0 n0 n(n > n0 xn < −h). Q.E.D.

Примеры. 1. Если |q| < 1, то {qn} — бесконечно малая

последовательность.

Так как |q| |q|2 |q|3 · · · 0, последовательность

{|q|n} является невозрастающей и ограниченной снизу. Поэтому она сходится к некоторому числу x, к которому сходится и последовательность {|q|n+1} — последовательность {|q|n} с отброшенным первым элементом. Равенства

{q }, являются бесконечно малыми.

nk

2. Последовательность an является бесконечно малой при любом k = 1, 2, . . . и любом a с |a| > 1, а последова-

bn

тельность ! является бесконечно малой при любом b. n

Как следствие для всех достаточно больших значений n вы-

полняются неравенства xn+1 < 1 и yn+1 < 1, т. е. обе последо- xn yn

вательности {xn} и {yn} оказываются убывающими (во всяком случае, начиная с некоторого “номера”). Поскольку обе последовательности ограничены снизу (числом 0), они схо-

80

дятся к некоторым (неизвестным пока) числам: lim xn = x, lim yn = y . Так как к этим же числам x и y сходятся также последовательности {xn+1} и {yn+1}, переход к пределам

3. Каким бы ни было положительное число a, последо-

Последовательность {xn}, являясь убывающей и ограниченной снизу (поскольку все xn > 0), сходится к некоторому числу x, к которому сходится и последовательность {xn+1} (последовательность {xn} с отброшенным первым элемен-