Казанский Кинетика ядерных реакторов.Коеффициент реактивности 2012

На рис. 1.14 приведены результаты расчета реактивности ρ~(t) по (1.97)–(1.99) при тех же условиях, что и для предыдущих мето-

дов (см. рис. 1.11 и 1.13).

В заключение заметим, что рассматриваемый алгоритм требует определенного времени (15–20 с) для выхода на рабочий режим, связанный с произвольно заданными начальным условием ρ~(0)=0 (рис. 1.14, позиция 2).

Уменьшение временного шага h приводит к уменьшению погрешности вычисления реактивности. Однако каким бы малым не был шаг h, при использовании меры вида (1.96) всегда будет некоторое расхождение между текущим уровнем мощности реактора и ее расчетной величиной при меняющейся во времени реактивности. Это расхождение обратно пропорционально коэффициенту KI.

71

1.6.6. Приближенное решение уравнения кинетики методом мгновенного скачка

Заманчиво найти аналитическое решение уравнения кинетики, которое позволило бы спрогнозировать поведение мощности реактора во времени при заданном (во времени) изменении реактивности.

Рассмотрим критический реактор без внешних источников нейтронов в приближении одной группы запаздывающих нейтронов. Поведение количества нейтронов в реакторе после скачка реактивности на значение Δρ, пренебрегая переходным процессом на мгновенных нейтронах, можно представить (см. (1.61)) в следующем виде:

Любую зависимость ρ(t) можно представить как последовательность малых скачков реактивности Δρi, происходящих через равные промежутки времени t. Если в момент t = 0 происходит скачок реактивности Δρ1, то через время t количество нейтронов в реакторе в приближении мгновенного скачка составит

В момент времени t = t происходит вновь скачкообразное из-

72

Если устремить t → 0 и заменить суммирование интегрированием, то, принимая во внимание tк = к t и Δρ1 + Δρ2 +…+ Δρi =

= ρ(к t)=ρ(tк), получим

В частности, если ρ(t)=Δρt/ t=αt, т.е. линейный во времени рост реактивности в заданном временном интервале 0÷t0, то при t ≤ t0

n(t) = βэфф × n(0) βэфф −αt

В обычной ситуации αt < βэфф, поэтому с достаточной степенью точности можно считать

Полученное уравнение (1.105) позволяет вычислить в приближении мгновенного скачка поведение мощности, если задано изменение реактивности во времени.

Больший интерес представляет собой дифференциальная форма уравнения в приближении мгновенного скачка, которая позволяет, например, записывать связь реактивности с мощностью. Если уравнение (1.105) продифференцировать, то получаем

dn(t)/dt = n(t)[λρ(t) +dρ(t)/dt]/[βэфф – ρ(t)]. (1.110)

73

В этом случае зависимость ρ(t) можно понимать в более общем смысле, например, ρ(t) = f(t) + p(n)n(t). Здесь f(t) – зависимость реактивности только от времени (ввод реактивности с помощью стержней регулирования, потеря реактивности из-за выгорания топлива и т.п.), p(n) – функция, связывающая количество нейтронов в реакторе (мощность реактора) с реактивностью.

Уравнение (1.110) может быть записано и для мощности, поскольку мощность и количество нейтронов в реакторе пропорциональны. Поэтому (dn/dt)/n = (dw/dt)/w.

Уравнение (1.110) можно получить исходя из рассмотрения уравнения кинетики с одной группой запаздывающих нейтронов. При этом становится ясным условие применимости рассматриваемого приближения.

Если предположить, что производная в уравнении кинетики с одной группой запаздывающих нейтронов (см. первое уравнение (1.49)) мала, то можно ею пренебречь и получить соотношение

n1(t) = [λΛc(t) + Λq]/(βэфф – ρ(t))

или

где n1(t) – приближенный вид функции n(t). Подставим с(t) в уравнение для предшественников запаздывающих нейтронов (1.49) и получим

dn1/dt = {n1(t)[λρ(t) +dρ(t)/dt] +

+ λΛq + λdq/dt}/[βэфф – ρ(t)], (1.112)

которое совпадает с уравнением (1.110) при q = 0.

При необходимости учета источника в реакторе и желании решать уравнение (1.112) относительно мощности, необходимо

Решение уравнения кинетики в приближении мгновенного скачка n1(t) будет тем ближе к точному решению, чем меньше скорость изменения количества нейтронов в реакторе (чем меньше реактивность).

Контрольные вопросы

1. Какое соотношение между количеством нейтронов и количеством эмиттеров запаздывающих нейтронов в реакторе (критическом, подкритическом, надкритическом)?

74

2.Пусть найдено асимптотическое поведение количества нейтронов в реакторе в виде n(t) = n(0) exp(ωt). В предположении одной группы запаздывающих нейтронов найти асимптотическое поведение количества источников запаздывающих нейтронов, c(t).

3.Что произойдет с критическим реактором, если в него мгновенно

ввести реактивность ρ > βэфф?

4.Что произойдет с критическим реактором, имеющим n0 нейтронов, если в него мгновенно ввести n1 нейтронов?

5.Как будет себя вести критический реактор, если в него ввести источник нейтронов?

6.Можно ли (и каким образом) определить подкритичность реактора, мгновенно вводя (или выводя) в реактор источник нейтронов?

7.Задано асимптотическое поведение мощности реактора в виде

n(0) exp(ωt). Найти связь между реактивностью и периодом реактора (формулу обратных часов), используя уравнения кинетики без источника нейтронов (для концентрации предшественников запаздывающих нейтронов используйте уравнения в интегральной форме).

8. Используя уравнения (1.29), вывести обращенное решение уравне-

ний кинетики. Показать, что при ρ < βэфф можно пренебречь членом

dn Λ . dt nβэфф

9. Объяснить, почему возникли бы сложности при управлении реактором при βэфф = 0.

10.Провести качественный вывод уравнений кинетики.

11.Какое необходимо сделать допущение, чтобы из уравнения переноса нейтронов и сопряженного уравнения получить уравнения кинетики?

12.Каким образом удается ввести в уравнения переноса нейтронов kэфф или реактивность?

13.Получить квазистационарное асимптотическое уравнение.

14.Выполните строгий вывод уравнений кинетики.

15.Преобразуйте дифференциальную форму уравнения кинетики в приближении мгновенного скачка в интегральную.

75

Глава 2. ИЗМЕНЕНИЕ НУКЛИДНОГО СОСТАВА В ПРОЦЕССЕ РАБОТЫ РЕАКТОРА И ЕГО ВЛИЯНИЕ НА РЕАКТИВНОСТЬ

2.1.Выгорание топлива

2.1.1.Основные процессы, происходящие в активной зоне. Глубина выгорания топлива

В энергетических реакторах с тепловой мощностью в несколько тысяч мегаватт происходит значительное количество реакций деления и других ядерных превращений. Например, в реакторе на тепловых нейтронах с тепловой мощностью 3000 МВт за время работы в течение года в результате деления ядер накапливается около 1080 кг осколков деления (т.е. новых нуклидов), и по порядку величин такое же количество рождается новых нуклидов в результате реакций радиационного захвата нейтронов тяжелыми ядрами. Самый большой по загрузке реактор на тепловых нейтронах (реактор РБМК) имеет в активной зоне около 180 т топлива в виде двуокиси урана с 2 %-ным содержанием изотопа 235U. Нуклидный состав реактора изменяется за год приблизительно на 1,5–2,0 %. Это очень большое изменение, если учесть, что в основном исчезают ядра делящихся нуклидов.

Степень изменения состава исходной топливной композиции характеризуют глубиной выгорания топлива. Глубина выгорания – это масса разделившихся ядер, отнесенная к первоначальной массе тяжелых ядер (торий, уран, трансурановые элементы), загруженных в реактор. Это относительная характеристика, имеющая размерность % т.я. (процент выгоревших тяжелых ядер).

Другая более распространенная единица измерения глубины выгорания связана с выработанной энергией и определяется как отношение генерируемой этим топливом тепловой энергии к первоначальной массе топлива (МВт сут/кг).

Найдем связь между этими единицами глубины выгорания. Для этого надо использовать связь между массой выгоревших

тяжелых ядер и выработанной энергией. Вычислим, какая масса ядер должна разделиться, чтобы выработать энергию в 1 МВт сут.

76

Запишем связь между энергией, выраженной в МВт сут., и энергией в МэВ. Выразим энергию 1 МВт сут в мегаэлектронвольтах:

1 МВт сут = 8,64 1010 Дж = 5,39·1023 МэВ.

Для выработки такого количества энергии надо, чтобы в Nf ядрах произошли реакции деления, и в каждом акте деления выделилась энергия Ef: Nf = 5,39·1023 [МэВ] / Ef [МэВ].

Масса разделившихся ядер с атомным весом Аf :

Мf [г] = Nf Аf /6·1023 = 5,39·1023 [МэВ] Аf /6·1023Ef [МэВ] = = 0,898·Аf /Ef [МэВ].

Для получения энергии 1 МВт сут надо превратить в осколки деления 0,898·Аf/Ef г делящихся нуклидов. Следовательно, для достижения глубины выгорания в 1 МВт сут/кг требуется превратить в осколки деления {0,898·10-1 Аf /Ef [МэВ]} % т.я.

Таким образом, найдено соотношение между единицами измерения глубин выгорания:

[МВт сут/кг]/[%т.я.] = 10·Ef [МэВ]/0,898Аf или [% т.я.]/ [МВт сут/кг] = 0,0898Аf /Ef [МэВ].

Если в одном акте деления выделяется энергия 200 МэВ, а атомная масса топлива равна 238, то выгоранию 1 % т.я. соответствует 9,34 МВт сут/кг или выгоранию 1 МВт сут/кг соответствует

0,107 % т.я.

Чем больше глубина выгорания, тем меньше затраты на изготовление топливных сборок и тепловыделяющих элементов, тем меньше подпитка реактора ядерным топливом. Ограничения больших глубин выгорания для реакторов на быстрых нейтронах связано с изменением технических свойств конструкционных материалов под действием потоков быстрых нейтронов, приводящих к повреждению топливных элементов и сборок. На быстрых промышленных реакторах глубина выгорания не превышает 10 % т.я. В экспериментах достигнуты более впечатляющие показатели – вплоть до 20 % т.я.

В реакторах на тепловых нейтронах глубина выгорания ограничивается обогащением топлива и конструктивными особенностями ТВС и твэлов. При использовании топлива с обогащением 4,4 % глубины выгорания достигали 45–50 МВт сут/кг. Совершенствование конструкции ТВС и увеличение обогащения до 5 % позволило достичь глубины выгорания до 60–65 МВт сут/кг.

77

В результате деления ядер в топливе накапливаются осколки деления – радиоактивные нуклиды со средними атомными весами. Осколки деления, появляющиеся в активной зоне реактора, «отравляют» реактор, поскольку с их появлением увеличивается бесполезное поглощение нейтронов и, следовательно, уменьшается kэфф.

Как рассчитать отравление реактора осколками деления, принимая во внимание громадное количество осколков и их индивидуальные особенности (постоянная распада, сечение поглощения нейтронов)?

Для реакторов на быстрых нейтронах такой расчет существенно упрощается. Дело в том, что средние сечения радиационного захвата для спектра нейтронов этих реакторов слабо отличаются один от другого, и если не принимать во внимание магические ядра, для которых сечения поглощения аномально малы, то средние сечения будут отличаться друг от друга не более чем в 2–3 раза. Большое число ядер со слабо отличающимися средними сечениями позволяет считать, что есть один эффективный осколок деления со своим сечением. И действительно, не очень важно, что все нуклиды в результате радиоактивных распадов превращаются в своих соседей – сечения взаимодействия у них близки.

Другая ситуация для реакторов на тепловых нейтронах. Сечения радиационного захвата тепловых нейтронов не подда-

ются какой-либо простой классификации и могут значительно отличаться для изотопов одного элемента. Здесь приходится принимать во внимание некоторые отдельные нуклиды, поскольку велико их влияние на реактивность из-за аномально больших сечений поглощения нейтронов и больших вероятностей образования этих осколков. Естественно, в этом случае необходимо учитывать и время жизни этих осколков, и их выгорание в реакторе. Эти процессы, которые называют нестационарным отравлением реактора, будут рассмотрены в следующем параграфе.

Как уже отмечалось, деление ядер не единственный процесс, приводящий к изменению состава топлива. В результате ядерных реакций радиационного захвата нейтронов, в гораздо меньшей степени реакций (γ,n), (n,2n) также изменяется нуклидный состав топлива. И эти изменения могут приводить к появлению как положительной, так и отрицательной составляющих эффекта реактивности.

78

Во всех действующих реакторах в состав топлива входит нуклид 238U. Урановое топливо для реакторов на тепловых нейтронах обязательным образом содержит этот нуклид – естественную составляющую обогащенного топлива. В реакторах на быстрых нейтронах даже при использовании плутония уран вводят в топливо специально, чтобы реализовать воспроизводство ядерного топлива. Ценность для топливного цикла 238U в том, что в результате поглощения нейтрона происходят ядерные превращения этого нуклида в делящийся нуклид 239Pu:

Превращение ядер 238U в ядра 239Pu приводит к появлению положительной составляющей в балансе реактивности. Сечение радиационного захвата нейтронов ядрами 238U в реакторах на тепловых нейтронах составляет около 2,7 барн, а в реакторах на быстрых нейтронах около 0,6 барн. При поглощении нейтронов ядрами 239Pu происходит не только реакция деления ядра, но и реакция радиационного захвата нейтрона:

6500 лет

Поэтому в смешанном уран-плутониевом топливе в значительных количествах может быть 240Pu. Этот нуклида имеет эффективный порог деления, который составляет около 0,1 МэВ. В случае поглощения нейтрона ядром 240Pu образуются делящиеся тепловыми нейтронами ядра 241Pu:

Имеют значение и другие реакции. В результате радиационного захвата нейтронов делящимися ядрами образуются ядра, которые не делятся тепловыми нейтронами и имеют существенно меньшие средние сечения деления в реакторах на быстрых нейтронах. Вот эти существенные реакции:

241 Pu + n → 242Pu →α 238 U

3.7 105 лет

79

Последняя реакция в (2.4) приводит к образованию 238Pu. Количество ядер этого нуклида мало, но из-за его сравнительно короткого периода полураспада (Т1/2 = 87,7 года) он вносит заметный вклад в энерговыделение, а его большая вероятность спонтанного деления (Т1/2 = 4,8·1010 лет) увеличивает нейтронную активность отработавшего топлива.

Другими словами, после использования топлива в реакторе в нем (топливе) образуются осколки деления, и увеличивается средний атомный номер тяжелых ядер (происходит обогащение элементов более тяжелыми изотопами), периоды полураспада которых намного меньше периодов полураспада изотопов естественного урана. Эти обстоятельства приводят к громадной удельной радиоактивности выгруженного топлива.

Насколько значительно изменяется состав топлива, видно из табл. 2.1, в которой приведен состав топлива в зависимости от глубины выгорания, полученный в эксперименте на реакторе ВВЭР-210. Начальная загрузка исследуемого топлива состояла из урана с 2 %-ным содержанием 235U.

Как видно из приведенных данных, по мере работы реактора накапливаются более тяжелые нуклиды – изотопы плутония, америций, кюрий. Общая тенденция, достаточно очевидная, – чем больше глубина выгорания, тем больше трансурановых нуклидов. Следует обратить внимание на наличие максимума в количестве ядер 239Pu в функции глубины выгорания топлива. Основная причина снижения количества ядер плутония (при постоянной плотности потока нейтронов) связана с выгоранием ядер 238U, т.е. с уменьшением скорости наработки ядер плутония. В скобках указан изотопный состав в процентах. В последней колонке дана относительная концентрация плутония.

В реакторе на быстрых нейтронах со смешанным уранплутониевым топливом несколько другая тенденция – по мере увеличения глубины выгорания количество всех трансурановых ядер в активной зоне уменьшается. Основная причина в том, что в реакторе на быстрых нейтронах отношение сечения радиационного захвата к сечению деления для всех ядер заметно ниже, чем для реактора на тепловых нейтронах. В тоже время суммарное количество ядер

80