Казанский Кинетика ядерных реакторов.Коеффициент реактивности 2012

Сравнительно простой вид обращенных уравнений позволяет создавать электронные приборы – реактиметры, вычисляющие и отображающие в режиме реального времени реактивность реактора по сигналу одного или нескольких детекторов нейтронов. Если в основу реактиметра положен аналоговый способ обработки информации, то такие приборы называются аналоговыми. Соответственно, если информация обрабатывается на цифровых устройствах, преобладающих с конца 90-х годов прошлого века, например, на микропроцессорах, то – цифровыми.

61

Рассмотрим решение уравнений (1.83)–(1.83а), которое реализуется в цифровых реактиметрах. Если интенсивность источника нейтронов известна или пренебрежимо мала, то реактивность ρ/βэфф может быть найдена путем интегрирования зависимости мощности от времени с весовыми функциями exp[–λi(t–τ)]. Однако при этом функцию n(t) приходится заменять дискретной последовательностью Nj = n(tj), tj = tj-1 + t, если детектор нейтронов работает в токовом режиме, или количеством отсчетов в заданном временном интервале t,

t j

если детектор работает в импульсном режиме, а интегрирование в (1.83) – суммированием.

C учетом сказанного выше реактивность в данный момент времени tj может быть записана, например, на основе (1.83) в виде

Как следует из (1.85), для вычисления ρ/βэфф в данный момент времени tj необходимо знать поведение мощности при t < tj, т.е. строго говоря, требуется регистрация и запоминание отсчетов детектора с момента включения реактиметра (t = 0) до текущего момента времени tj. Поэтому непосредственная реализация выражения (1.85) на ЦВМ затруднительна, ибо требует неограниченной памяти для хранения последовательности {Nj} и исключительного быстродействия для вычисления в реальном масштабе времени все возрастающего ряда.

Однако если учесть, что обе экспоненты в выражении (1.85) имеют отрицательные показатели и ряд должен сходиться, то сходится любая его частная сумма. Это позволяет ограничить количество членов ряда и для расчета реактивности в момент времени tj начинать суммирование не с t = 0, а с некоторого момента 0 < tm < tj при j > m и хранить в памяти реактиметра ограниченную последовательность значений {Nk: r = j – m, …, j}.

62

Отметим также, что последний член в (1.85), учитывающий начальные условия, равен единице при t=0 и экспоненциально убивает по мере роста t. При t > (3÷5)/λ реактиметр фактически «забывает» начальные условия (кривая 4, рис. 1.11). Величину (3÷5)/λ можно использовать также в качестве оценки интервала вычисления суммы, т.е. выбрать m из условия tj – tj-m > (3÷5)/λ.

Высказанные соображения позволяют упростить (1.85) до вида, удобного для практической реализации на ЦВМ:

Кривая 3 на рис 1.11 – это результат численного эксперимента, который дает представление о возможностях решения с использованием (1.86). Численный эксперимент состоит в следующем: задается некоторая зависимость реактивности от времени ρ(t) и интенсивность источника q; посредством уравнений кинетики (1.68) вычисляется n(t); выбирается t и по нему – множество {Nj}; по формуле (1.86) вычисляются оценки реактивности {ρ(tj)}.

Из полученных результатов следует, что выражение (1.86) дает приемлемые результаты по истечении 150–200 с после включения реактиметра и даже при суммировании на относительно коротком отрезке времени 65 с и хранении 650 точек, относительная погрешность алгоритма не превышает 5 %.

Начальную погрешность в нулевой момент времени можно устранить, если включить в (1.86) член, учитывающий начальные условия (кривая 2, на рис. 1.11). Можно также реализовать отображение рассчитанной реактивности по истечении двух–трех минут после включения реактиметра.

В приведенной записи уравнения (1.86) для вычисления реактивности интегрирование заменено суммированием, и погрешность такого приближения будет зависеть от ширины выбранного интервала t. Расчеты показывают, что при выборе t < 0,01 с этой погрешностью (менее 0,5 %) можно пренебречь. Но тогда требуется значительный объем оперативной памяти ЦВМ. Оказывается, что можно существенно сократить погрешность, связанную с заменой интегрирования суммированием, если скорость счета детектора на участке t представлять в аналитической форме (обычно кусочно-

63

линейная или кусочно-экспоненциальная). В этом случае даже при t = 1с погрешность не превышает 2 %.

Для измерений реактивности необходимо знать эффективную активность источника нейтронов в реакторе, расчет которой следует проводить в соответствии с формулой (1.27). Погрешность расчетного значения qэфф может быть значительной, а расчеты весьма обременительны. Но эффективная активность источника нейтронов может быть определена в отдельных опытах заранее. Пусть реактор в течение времени t* был критическим или слегка надкритическим (Т > 200 с), а затем в момент t = 0 его реактивность изменилась. За-

Уравнение (1.87) представляет собой прямую линию, определяемую двумя параметрами Q и ρ/βэфф. Используя вычисленные

значения yj и xj для t > 0, т.е. когда реактивность реактора постоянна, можно методом наименьших квадратов найти искомые параметры – реактивность и эффективную интенсивность источника нейтронов. Ясно, что такой алгоритм не может быть реализован в реальном масштабе времени, поскольку в этом случае необходимо сначала измерить величины Nk (k ≤ j), а затем уже вычислить xj и yj

и найти Q и ρ/βэфф. Рассмотренный алгоритм определения Q при-

меним в тех случаях, когда справедливо приближение точечной кинетики. Поэтому опыты по определению эффективной интенсивности источника нейтронов имеет смысл проводить при малых возмущениях реактивности (ρ ≤ 0,1% k/kэфф).

Уже неоднократно отмечалось, что при измерениях значений ρ/βэфф используются уравнения точечной кинетики, которые не всегда могут быть пригодными в реальной ситуации. Существенная поправка на так называемые пространственные эффекты может

64

быть внесена на основе общих соображений. В чем оказывается приближенность уравнений точечной кинетики?

Дело в том, что о числе нейтронов в реакторе или его мощности мы судим по скорости счета или величине тока какого-либо детектора нейтронов, расположенного во вполне определенном месте r0

и имеющего вполне определенную эффективность регистрации нейтронов ε(rG0 ,t) . Мы не случайно указали, что эффективность

данного детектора зависит от времени. Дело не только (и не столько!) в том, что при изменениях мощности реактора может изменяться эффективность детектора из-за того, что в принципе изменяется спектр в месте расположения детектора. Более важно то обстоятельство, что отношение потока нейтронов в точке r0 к полно-

му числу нейтронов в реакторе не остается постоянным, поскольку в реакторе при перемещении стержней регулирования изменяется пространственное распределение нейтронов. Оказывается, что обращенное решение уравнения кинетики может приводить к значительным вариациям измеряемой величины реактивности в зависимости от местоположения детекторов. Это явление называют «пространственным эффектом». Учет расчетных или экспериментальных эффективностей детекторов приводит к более устойчивым результатам.

С учетом сделанных замечаний в уравнениях вместо N или Nj следует записать скорость счета реального детектора Nd, деленную на эффективность.

Таким образом, оказывается возможным найти корректно величину ρ/βэфф, если использовать измеренную зависимость Nd(t) и рассчитать зависимость ε(r0 ,t) . Для этого необходимо решить

уравнение кинетики реактора, чтобы найти потоки нейтронов и сопряженное условно-критическое уравнение для нахождения функции ценности. Такие задачи надо решать для каждого конкретного случая измерения реактивности, учитывая конкретные причины ее изменения (перемещение стержней регулирования, изменение концентрации поглотителя в теплоносителе, изменение размеров активной зоны и т. п.).

Однако при использовании рассчитанных зависимостей эффективности детекторов от времени невозможно проводить измерения реактивности в реальном масштабе времени. Действительно, для

65

учета пространственных эффектов при нахождении реактивности по обращенному решению уравнения кинетики необходимо в это уравнение записать измеренные скорости счета детектора, умноженные на рассчитанную эффективность детектора. Поэтому вначале измеряется и записывается временная зависимость скорости счета детектора, затем эти скорости корректируются на временную зависимость эффективности и только после этого находят реактивность.

Есть и другая возможность определения ρ/βэфф с учетом эффективности детекторов, в которой нет необходимости проводить сложные расчеты для нахождения ε(r0 ,t) . В этом подходе предпо-

лагается, что известен общий вид функции ε(r0 ,t) с точностью до

постоянного множителя, который может быть определен в том же эксперименте. Рассмотрим подробно этот вариант учета эффективности детекторов. Если в момент t = 0 происходит мгновенное из-

ложений уравнение для нахождения ρ/βэфф можно записать для t ≥ 0 в виде

Все три неизвестных параметра могут быть найдены методом наименьших квадратов. Часто бывает удобнее заранее измерить Q ,

66

введя в реактор малые возмущения реактивности, тогда задача сводится к нахождению методом наименьших квадратов двух параметров ρ/βэфф и ω. На рис. 1.12 приведены измеренные зависимости ρ/βэфф от времени при сбросе стержня в критический реактор, определенные в приближении точечной кинетики для трех различных расположений детекторов в реакторе.

Как видно из результатов измерений реактивности, расположение детекторов существенно влияет на результат измерений – отличие достигает (после стабилизации показаний реактиметра) 0,15 βэфф.

Рис. 1.12. Показания цифрового реактиметра, ρ/βэфф, в функции времени при сбросе стержня в реактор (точки). Те же показания при учете пространственных эффектов (прямые линии 1–3)

На этом же рисунке приведены результаты нахождения реактивности с учетом ступенчатого изменения эффективности детекторов. Для этого случая результаты отличаются не более чем на 0,02 βэфф. Приведенные результаты получены на физической модели реактора на быстрых нейтронах. Для больших реакторов типа РБМК пространственные эффекты гораздо больше, и их учет описанной методикой не приводит к столь впечатляющим результатам.

Наконец, имеет смысл отметить еще один используемый на практике способ минимизации пространственных эффектов. Если в реакторе расположить несколько детекторов нейтронов, подключенных к реактиметру, который работает по усредненному сигналу

67

их сигналу, то значение измеренной реактивности будет ближе к реальному. Например, на РБМК-1000 реактиметр работает от 12-ти детекторов, расположенных в четырех каналах вне активной зоны на трех уровнях.

Заметим также, что при измерениях больших отрицательных реактивностей (ρ/βэфф < –5) результаты весьма чувствительны к параметрам запаздывающих нейтронов. Это, в частности, приводит к систематическим погрешностям из-за неопределенности в величинах ai и λi. На современном уровне знаний погрешность в опреде-

лении величины ρ/βэфф (при ρ/βэфф ≈ –5) достигает 20 %.

Кроме алгоритмов расчета реактивности на основе обращенного решения уравнений кинетики (1.83), (1.83а), существуют и другие способы, пригодные для реализации в реактиметрах.

Рассмотрим некоторые из них.

Обращенное решение (1.83) получено на основе исходных уравнений кинетики (1.68). Если в качестве исходных уравнений взять разностные уравнения (1.37)–(1.38), и разрешить (1.37) по отношению к реактивности ρ(j), то получим некий дискретный аналог ре-

шения (1.83):

Данный алгоритм выгодно отличается от (1.85) и (1.86) отсутствием суммирования на интервале времени, в результате чего достаточно удерживать в памяти всего два значения для каждой переменной. С другой стороны, он устойчив только при относительно малом временном шаге h (h рекомендуется выбирать меньше 0,1·Λ/β), что требует высокого быстродействия аппаратуры контроля нейтронного потока. Если, например, Λ = 10-5 с, то h ≈ 2 мс или частота регистрации количества нейтронов 5 кГц. Такую частоту можно обеспечить только в токовом режиме детекторов нейтронов на достаточно высоких уровнях мощности.

68

На рис. 1.13 приведены результаты расчета реактивности по (1.93)–(1.94) в условиях, аналогичных расчету, выполненному для

(1.85) и (1.86).

Как следует из полученных результатов, и данный алгоритм обеспечивает расчет как постоянную, так и меняющуюся во времени реактивность с погрешностью при выбранных параметрах не превосходящую 3%. При этом алгоритм уже на втором шаге дает правильный результат.

В заключение рассмотрим еще один метод расчета реактивности по мощности реактора. Особенность данного метода заключается в том, что реактивность оценивается на основе некоторой меры расхождения между текущим уровнем мощности реактора и ее расчетной величиной, полученной посредством решения уравнений кинетики по текущей оценке реактивности.

Несмотря на то, что данный метод* был предложен в эпоху аналоговых вычислительных устройств, он также удобен для реализа-

* Королев В.В. Устройство для автоматического вычисления мгновенного значения реактивности ядерного реактора. АС № 196387, 1965.

69

ции в цифровых реактиметрах. Суть метода заключается в следующем. Представим уравнения кинетики как оператор A, связывающий мощность или число нейтронов c реактивностью, т.е. {n(t)}=A{ρ(t)}. Найти реактивность по известной мощности означает реализовать обратный оператор А-1, т.е., ρ(t)=A-1{n(t)}. Один из способов «переворачивания» оператора, выражаясь техническими терминами, состоит во включении его в цепь отрицательной обратной связи (более подробно вопрос об обратных связях и устойчивости реактора будет обсуждаться в п. 5.4). Если в качестве прямой

и при KI → ∞, KIB/(1+KIBA) → A-1, а оценка ρ~(t) → ρ(t), т.е. при большом коэффициенте передачи KI, поведение системы в основ-

ном зависит от A-1, и оценка реактивности ρ~(t) может быть как угодно близка к ее истинному значению ρ(t).

Если выбрать в качестве оператора B интеграл по времени относительной ошибки между измеренным количеством нейтронов (мощностью) n(t) и вычисленным n~(t), т.е. вычислять реактивность в виде

то описываемый метод получает простой физический смысл – оценка реактивности ρ~(t) автоматически подстраивается таким образом, чтобы полученная на ее основе оценка мощности n~(t) совпадала с измеренной мощностью n(t).

Для реализации данного метода на ЦВМ в качестве уравнений кинетики выберем, например, разностные уравнения (1.39)–(1.40), а вместо (1.96) запишем его разностный аналог:

70