Казанский Кинетика ядерных реакторов.Коеффициент реактивности 2012

Как следует из приведенного решения, анализируя поведение мощности реактора во времени можно измерить введенную в критический (в данном случае) реактор реактивность. Для этого надо выполнить два условия: очень быстро вводить реактивность, так, чтобы время ввода было меньше t*; иметь возможность измерить квазистационарный уровень мощности при t = t*. Тогда в соответствии с (1.60)

Рис. 1.6. Временная зависимость относительного количества нейтронов

вреакторе (мощности реактора) без источника нейтронов при мгновенном введении реактивности в момент t = 0

Если реактивность ρ/βэфф вводится в реактор, количество нейтронов которого изменяется во времени с асимптотическим периодом 1/ω0, т.е. реактор имеет реактивность ρ0/βэфф, то справедливо

(см. (1.58.5)):

Решим задачу по нахождению n(t), если в критический реактор без источника нейтронов мгновенно введена «пачка» нейтронов, используя импульсный источник нейтронов.

51

Поскольку в рассматриваемом случае ρ = 0, то ω2 = 0 и ω1= = –βэфф/Λ. Пусть в реакторе при t < 0 задано n0 нейтронов. Естественно, что это количество нейтронов не будет изменяться во времени в связи с вводом в реактор пачки нейтронов n1. В таком случае уравнение (1.54) можно представить в виде суммы: уравнение (1.54), в котором при t = 0 n1 нейтронов, а количество эмиттеров запаздывающих нейтронов, связанных с введением в реактор пачки нейтронов в момент времени t = 0, естественно, равно 0, т.е. c(0) = 0 и количество нейтронов в реакторе n0 при t < 0. Учитывая сделанные замечания и явный вид (1.54), получим

Из (1.63) следует, что при t = 0 в реакторе будет n(0) = n0 + n1 нейтронов, но через сравнительно короткое время (порядка нескольких времен жизни мгновенных нейтронов) установится стационарное количество нейтронов в реакторе

n(t >> Λ) = n0 + n1λΛ/βэфф. (1.63а)

Причем спад количества нейтронов будет происходить по экспоненциальному закону с показателем ω1 = –βэфф/Λ (рис. 1.7).

Рис. 1.7. Временная зависимость количества нейтронов в критическом реакторе без источника нейтронов, если в момент времени t = 0 в него введено мгновенно n1 нейтронов

По временному спаду потока нейтронов в реакторе можно найти ω1 и, следовательно, отношение βэфф/Λ. К сожалению, в условиях критического реактора не представляется возможным измерить ω1

52

из-за необходимости использовать нейтронный импульс большой мощности. Поэтому измеряют значения ω1 при разных подкритических состояниях реактора с известной реактивностью ρi. При этом ω1i = –(βэфф – ρi)/Λ. Затем строят зависимость измеренных значений ω1i от реактивности ρi и путем экстраполяции находят βэфф/Λ.

Итак, впрыскивание в реактор n1 нейтронов приведет в асимптотике к увеличению их числа всего лишь до λΛn1 / βэфф нейтронов.

Для реактора на быстрых нейтронах это составит 5·10-5n1, если

βэфф ≈ 4·10-3.

Напрашивается вопрос: куда исчезли введенные в реактор нейтроны? Дело в том, что в равновесном состоянии количество нейтронов намного меньше количества источников запаздывающих нейтронов, а равновесие может быть достигнуто лишь при условии n = cλΛ / βэфф . Поэтому подавляющая часть введенных в реактор

нейтронов будет израсходована на «создание» источников запаздывающих нейтронов.

Импульсное возбуждение подкритического реактора позволяет определить его реактивность в единицах βэфф. Рассмотрим подкритический реактор без источника нейтронов (для упрощения выкладок). В момент t = 0 в реактор вводится нейтронный импульс с количеством нейтронов n1, тогда при t = 0 n(0) = n1 и с(0) = 0. Из (1.54) следует

n(t)/n1 = {(ω1 + λ)expω1t – (ω2 + λ)expω2t}/(ω1 – ω2). (1.64)

Поскольку ω1 >> ω2 и ω1 >>λ, то c хорошей точностью можно записать

причем второй экспоненциальный член мал и имеет малый показатель. Поэтому спад после каждого нейтронного импульса происходит на низком и слабо изменяющемся во времени фоне.

С помощью специальных электронных схем измеряют n(t) и находят ω1. Если измерить постоянные ω1 при разных известных подкритических состояниях реактора, то можно путем экстраполяции найти значение ω1 при ρ = 0, т.е. ω1кр = –βэфф/Λ, и тогда при любом другом j-ом подкритическом состоянии реактора его реактивность можно найти, используя измеренные ω1j и ω1кр : ρj/βэфф = ω1j Λ/βэфф, следовательно,

53

полагая, что Λ и βэфф не зависят от степени подкритичности реактора. Изучение спада во времени количества нейтронов в реакторе после возбуждения реактора с помощью импульсного нейтронного источника лежит в основе импульсного метода измерения реактивности подкритического реактора.

Рассмотрим следующую задачу. В критический реактор вводится постоянный источник нейтронов. Начальные условия: n(0) = n0;

c(0) = n0βэфф/(λΛ); q(0) ≠ 0; ω1 = –βэфф/Λ и ω2 = 0. Подстановка на-

чальных условий в (1.54) приводит к необходимости раскрыть неопределенность в члене, содержащем источник нейтронов q. Найдем предел для этого члена при ω2→0:

limω2→0λq{[ω2expω1t – ω1(1 + ω2t)]/(ω1–ω2) + 1}/ω1ω2 = = λq [expω1t – ω1t – 1]/(ω1)2.

Тогда зависимость количества нейтронов в реакторе во времени примет вид:

При мгновенном вводе источника нейтронов в реактор происходит всплеск на мгновенных нейтронах, который заканчивается при expω1t* ≈ 0. Пусть t* = 4/ ω1|. За это время количество нейтронов в реакторе вырастает примерно на qΛ/βэфф, если q/λn0 >> 1, а затем будет происходить линейный во времени рост количества нейтронов в реакторе:

n(t) = n0 + λΛ2q(βэффt/Λ – 1)/β2эфф ≈ n0 + λtqΛ/βэфф. (1.67)

Рис. 1.8. Зависимость количества нейтронов (мощности реактора)

от времени, если в момент времени t = 0 в критический реактор мгновенно ввели источник нейтронов интенсивностью Q (шкала времени для временной зависимости, изображенной пунктиром, указана

в верхней части рисунка)

54

Временное поведение n(t) при мгновенном введении источника в реактор показано нарис. 1.8 для λΛ/β = 0,01; λ = 0,1с-1 и q/n0 = 0,1 c-1.

Приведенные примеры использования уравнения (1.54) для получения временных зависимостей n(t) можно распространить и на другие задачи.

1.6.4. Решение уравнений кинетики в приближении шести групп запаздывающих нейтронов.

Уравнение обратных часов

Запишем уравнения кинетики реактора с учетом шести групп запаздывающих нейтронов, считая, что внешних источников нейтронов нет:

Перейдем к нахождению решения n(t). Используем преобразования Лапласа для уравнений (1.68) и получим уравнения

подставим сi(s) в верхнее уравнение системы (1.69) и получим:

i

Уравнение (1.71) представляет собой отношение двух полиномов по s; степени полиномов в числителе и знаменателе равны соответственно 6 и 7. В соответствии с формулой разложения (см. приложение 1, (П1.8), (П1.9)), если степень числителя меньше сте-

55

пени знаменателя, а корни знаменателя ωj являются простыми числами, то оригинал изображения n(s) находят по формуле

где A(s) и B(s) – соответственно числитель и знаменатель (1.71), а

Сj = A(ωj)/[dB(s = ωj)/ds].

Другими словами, решение уравнения кинетики без источника нейтронов имеет вид суммы экспонент с весовыми множителями Сj и показателями экспонент ωj, которые являются корнями знамена-

теля в (1.71).

Знаменатель (1.71), приравненный нулю, представляет собой алгебраическое уравнение седьмого порядка относительно s, и его называют характеристическим уравнением. Его j корней обозначим

Следовательно, постоянные ωj связаны с реактивностью характеристическим уравнением (1.73). Соотношение (1.73) называют уравнением обратных часов. Название это появилось в первые годы эксплуатации ядерных реакторов. Один обратный час определялся как реактивность, которая соответствует асимптотическому экспоненциальному изменению мощности с периодом разгона, равным одному часу.

Используя (1.71) и (1.72), запишем явное выражение для весового множителя Сj:

Сj = n(0) [Λ + Σβэфф,i/(ωj + λi)]/[Λ + Σβэфф,iλi/(ωj + λi)2 ]. (1.74)

На рис. 1.9 изображены зависимости ωj от реактивности, полученные путем численного решения уравнения (1.73). Видно, что каждому значению реактивности соответствует семь значений ωj.

56

При положительной реактивности шесть ωj являются действительными отрицательными числами, близкими к постоянным распада запаздывающих нейтронов, а одно ωj = ωо имеет положительный знак. По мере роста времени после возмущения (введения реактивности) именно экспоненциальный член с ωо станет, в конце концов, определяющим. Поэтому в итоге устанавливается нарастание мощности по экспоненциальному закону.

Рис. 1.9. Зависимость значений ωj от реактивности

Величину Те=1/ω0 называют установившимся или асимптотическим периодом реактора (это время, за которое количество нейтронов вырастает в е раз). По прошествии некоторого времени все экспоненты с отрицательными ωj станут пренебрежимо малыми, а выражение для n(t) примет вид

Значение ω0 находят как наибольший корень характеристического уравнения (1.73). По асимптотическому измеренному периоду можно найти ω0 и, используя уравнение (1.73), в котором вместо ωj надо подставить ω0, определить реактивность:

Выражения (1.76) – это формулы обратных часов, которые позволяют вычислить асимптотический период реактора по заданной

57

реактивности. Эта формула была получена ранее (см. п. 1.2) при анализе асимптотических решений уравнения переноса нейтронов. Предположим, что реактивность ρ < βэфф, тогда установившийся период будет велик, и в знаменателе (1.76) можно пренебречь единицей по сравнению с произведением λiTе; при этом будет справедливо выражение

которое является одной из форм формулы обратных часов. Величина ∑βэффi / λi есть среднее время жизни запаздывающих

i

нейтронов, которое значительно больше, чем Λ. С учетом этого получим выражение для установившегося периода через реактивность

откуда следует, что Те при малых значениях ρ не зависит от времени генерации нейтронов, и скорость переходного процесса определяется вкладом запаздывающих нейтронов.

При больших ρ время генерации нейтронов и, соответственно, время жизни мгновенных нейтронов оказывают значительное влияние на установившийся период. Предположим, что ρ > βэфф, тогда Те будет настолько мал, что произведением λiTе по сравнению с единицей можно пренебречь, и

ρ = Λ +βэфф , (1.79)

Te

58

На рис 1.10 приведены зависимости значений асимптотических периодов от реактивности при различных значениях времени генерации мгновенных нейтронов, Λ.

Рис. 1.10. Зависимость значения асимптотического периода от реактивности для 235U

1.6.5. Обращенное решение уравнения кинетики. Реактиметры

Уравнения кинетики (1.68), содержащие производные dci/dt, можно решить относительно ci(t) и получить в интегральной форме (см. приложение 1):

Если считать, что начало отчета t = 0 и текущий момент времени t разделяет достаточный отрезок времени (на практике t > (3÷5)/λ, см. формулу (1.58.3)), то (1.82) можно переписать в виде:

59

Одно из выражений ci(t), например (1.82), подставим в уравнение кинетики (1.49), содержащее dn/dt, и с учетом, что ci(0) = = βi(эфф)n(0)/(λiΛ), после незначительных преобразований выразим ρ(t)/βэфф через интегральные параметры:

где aiэфф = βэфф i /βэфф.

Полученное выражение (1.83) представляет одну из форм обращенного решения уравнения кинетики. Другую форму записи можно получить, если вместо (1.82) использовать (1.82а). В этом случае в (1.83) отсутствует член, учитывающий в явном виде начальные условия n(0), и нижний предел интегралов свертки отодвинут на –∞:

Приведенные выше решения интересны тем, что позволяют следить во времени за реактивностью реактора, определенным образом обрабатывая информацию о числе нейтронов в реакторе (или о его мощности). Естественно, что показания любого детектора нейтронов будут пропорциональны числу нейтронов в реакторе или мощности, или плотности потока нейтронов.

Для практических приложений обращенное уравнение кинетики можно упростить. Величину y(t) = [1/n(t)]·[dn(t)/dt) [с-1] называют обратным (инверсным) периодом реактора (см. также п. 5.4.2). При асимптотическом поведении мощности y = ω0 = 1/ Те и может быть рассчитан по формуле обратных часов (1.18). Например, при

ρ/βэфф ≈ 0,6 y = 0,3 с–1 и, следовательно, даже для реакторов на тепловых нейтронах yΛ/βэфф = 0,005. В этом примере Λ взяты для теп-

ловых нейтронов (Λ ≈ 10-4 с). Влияние члена yΛ/βэфф на оценку реактивности продемонстрировано на рис. 1.11 (кривая 5). Для реак-

торов на быстрых нейтронах Λ ≈ 10-6с и последним членом в (1.83а)

60