Казанский Кинетика ядерных реакторов.Коеффициент реактивности 2012

Если использовать среднее время жизни мгновенных нейтронов

A = kэффΛ, то

(1.20a)

Смысл последнего соотношения ясен: скорость затухания потока нейтронов определяется разностью скоростей увода нейтронов (обратная величина среднего времени жизни мгновенных нейтронов) и скоростей их генерации (обратная величина времени генерации мгновенных нейтронов).

1.3. Вывод уравнений кинетики

До сих пор определение реактивности строилось на анализе связи асимптотических характеристик ω0 и α0 с kэфф. Но для этих целей (определения kэфф или реактивности реактора) можно использовать анализ переходных процессов. Воспользуемся введенными ранее уравнениями переноса нейтронов (1.1) и условно-критическим уравнением для ценности нейтронов (1.9). Каждый член уравнения

(1.1) умножим на Фк+ , а каждый член уравнения (1.9) – на Ф и

проинтегрируем по всем переменным. В результате получим следующие уравнения

Для получения уравнения (1.21) к уравнению (1.1) был добавлен и из него вычтен член ∑βi fiQ Φ с тем, чтобы образовать оператор

i

репродукции нейтронов в результате делений в виде χQΦ . Вычтем из уравнения (1.21) уравнение (1.22) и получим

31

при этом были приняты во внимание свойства прямых и сопряженных операторов (см.(1.12)). Следует также отметить, что во втором и четвертом членах правой части (1.23) знак суммирования может быть вынесен за скобки, обозначающие интегрирование по всему фазовому пространству. Решение уравнения (1.23) в представленном виде можно осуществить на ЭВМ. Однако есть приближенные решения, основанные на разделении переменных. Так, при реше-

нии уравнения (1.23) искомую функцию Φ(rG, E,Ω,t) представляют

Первый множитель, зависящий только от времени, называют амплитудным фактором, а второй – форм-функцией. Во многих практически важных задачах можно считать, что временное поведение определяется, в основном, амплитудным фактором, а формфункция слабо зависит от времени.

Если же предположить, что форм-функция не зависит от времени, то получаем так называемую точечную модель реактора, которая реализуется, строго говоря, при рассмотрении асимптотического временного поведения для реактора реальных размеров. Приближенно точечная модель описывает временное поведение реактора при слабых возмущениях критичности.

Воспользовавшись (1.24), получим

Подставим (1.24) и (1.25) в (1.23), разделим на Φк+ 1υψ и полу-

чим уравнение, которое принято называть уравнением кинетики,

где Λ и βэфф имеют тот же смысл, что и ранее (см. (1.15), (1.16) соответственно), а эффективные количества эмиттеров запаздываю-

щих нейтронов сiэфф и эффективный источник нейтронов qэфф определены следующим образом:

32

Связь между сiэфф (t) и n(t) найдем, используя записанное ранее уравнение для эмиттеров запаздывающих нейтронов (1.2), преобразовав его следующим путем: подставим в (1.2) Φ(rG, E,Ω,t) в виде (1.24), умножим левую и правую части на Φк+ fi , проинтегрируем

по всем переменным и разделим на Φк+ 1υψ . После этих преобра-

зований имеем

Уравнения кинетики обычно записывают, вводя реактивность:

Уравнения кинетики в виде (1.29), как уже отмечалось, принято называть уравнениями кинетики для точечной модели реактора или точечными уравнениями кинетики. «Точечная модель» реализуется только в том случае, если возможно допустить разделение пере-

менных (1.24).

1.4. Качественный вывод уравнений кинетики

Введем среднее время жизни мгновенных нейтронов в реакторе

– A. Обратная величина 1/A – это вероятность исчезнуть в единицу

времени родившемуся в реакторе нейтрону в результате поглощения ядрами или утечки за пределы реактора. Используем также и время генерации нейтронов Λ, обратная величина которого есть вероятность в единицу времени образования нейтрона в реакторе. Из введенного ранее эффективного коэффициента размножения реактора следует, что

33

Рассмотрим баланс полного числа нейтронов в реакторе, не различая нейтроны по энергии, по координатам их положения и по направлению их движения. Это означает, что рассматривается односкоростная точечная модель процессов, происходящих в реакторе.

Предположим, что в реакторе в некоторый момент времени было n нейтронов, тогда скорость их исчезновения равна n/A, а скорость их

образования kэффn/A. Однако часть нейтронов n(1–βэфф)kэфф/A появля-

ется мгновенно, а часть nkэффβэфф/A – с запаздыванием. Надо при-

нять во внимание, что в реакторе всегда есть эмиттеры запаздывающих нейтронов, которые образовались в результате деления ядер до этого момента времени. Если их количество в реакторе обозначить ci, где i – номер группы, то скорость излучения запаздывающих нейтронов равна Σλici. Кроме того, если учесть, что в реакторе могут находиться нейтроны, рождающиеся при спонтанном делении ядер (238U, 240Pu, 242Pu), а также нейтроны из специально помещенных в реактор источников (Be(α,n), 252Cf и др.), интенсивность которых q не зависит от плотности потока нейтронов в реакторе, то уравнение баланса нейтронов будет выглядеть следующим образом:

где в правой части уравнения последовательно записаны скорости утечки (исчезновения) нейтронов, рождения мгновенных нейтронов деления, рождения запаздывающих нейтронов и появления нейтронов из различных источников нейтронов.

Образование и распад эмиттеров запаздывающих нейтронов описываются уравнением

где nβэффi kэфф / A – скорость образования эмиттеров запаздывающих нейтронов, а λici – скорость их исчезновения.

34

Если в уравнениях (1.31) и (1.32) заменить A = kэффΛ и ввести

ρ = (kэфф – 1)/kэфф, то мы получим уравнения кинетики (1.29), выведенные с использованием прямого и сопряженного уравнений переноса нейтронов. При этом надо будет иметь в виду, что в уравнениях (1.31) и (1.32) количество эмиттеров запаздывающих нейтронов, доля запаздывающих нейтронов, время жизни мгновенных нейтронов и активность источника нейтронов должны вычисляться в соответствии с ранее полученными соотношениями (1.15), (1.16)

и (1.27).

Интересно сопоставить, насколько отличаются эффективные значения интегральных параметров в формулах (1.29) от активности источника, доли запаздывающих нейтронов, количества предшественников запаздывающих нейтронов, которые были использованы при качественном выводе уравнений кинетики. Как следует из (1.27), эффективный источник нейтронов отличается от физического так же, как ценность нейтронов источника от ценности нейтронов деления. Эффективная доля запаздывающих нейтронов незначительно (10–15 %) отличается от физической для данного нуклида и определяется отношением ценности запаздывающих нейтронов к ценности мгновенных нейтронов деления (см. (1.16)).

Эффективное количество эмиттеров запаздывающих нейтронов определяется отношением ценности запаздывающих нейтронов к ценности плотности нейтронов в реакторе (cм. (1.27)). Это отличие также невелико – во всяком случае, не более 20 %.

Следует отметить, что n допустимо выражать в любых единицах, если только размерности n и ci одинаковы и при условии, что источник нейтронов q (нормированный должным образом) выражен в единицах dn/dt.

Рассмотренные выше уравнения кинетики получены в предположении независимости от времени пространственного распределения плотности потока нейтронов. Тогда под n может пониматься какая-либо интегральная характеристика реактора, которая пропорциональна плотности потока нейтронов в любой точке реактора и в любой момент времени (например, полное количество нейтронов в реакторе, скорость деления ядер, полная мощность реактора или средняя удельная мощность).

35

Поясним на примере последнее замечание. Как следует из уравнений кинетики, количество нейтронов в реакторе связано с эффективным количеством эмиттеров запаздывающих нейтронов и с эффективной активностью источника нейтронов.

Количество нейтронов в реакторе связано с его мощностью. Если вместо n ввести мощность w, то все уравнения надо будет разделить на переводной коэффициент от количества нейтронов в реакторе к его мощности. Сделать это просто.

В рассматриваемом приближении при n нейтронах в реакторе число рождаемых нейтронов в единицу времени равно νF, где F – скорость делений в реакторе, которая связана с мощностью реактора. Эта скорость появления нейтронов должна соответствовать

скорости исчезновения нейтронов, т.е. nkэфф/A, следовательно, n =

= νAkэффw [Вт] 3,12 1010 [дел/с Вт]. Здесь предполагается, что при одном делении выделяется энергия 200 МэВ, тогда для скорости выделения энергии или мощности 1 Вт требуется 3,12 1010 дел/с. Таким образом, если вместо n ввести мощность w, то количество эмиттеров и источник нейронов надо разделить на 3,12 1010 νkэффA,

и мощность будет в данном случае измеряться в ваттах. С учетом вышесказанного количество n нейтронов в реакторе и его мощность w в каждый момент времени представляют пропорциональные величины.

Можно найти и количество эмиттеров в реакторе. Напомним (а это следует из уравнения (1.32)), что при dci/dt = 0 n/ci = λiΛ/βi. Выше уже отмечалось, что количество нейтронов в реакторе связано с мощностью n = 3,12·1010 Λw (Вт). Откуда следует, что количество эмиттеров запаздывающих нейтронов

с= Σсi = 3,12·1010w (Вт)/Σλi/βi,

ипри мощности 1 Вт их количество порядка 3·109 и не зависит от среднего времени жизни мгновенных нейтронов. А количество нейтронов в реакторе намного меньше и при одной и той же мощ-

ности зависит от времени генерации Λ. При 1 Вт в реакторе на быстрых нейтронах n ≈ 105, а в реакторе на тепловых нейтронах n ≈

≈ 2·107.

36

1.5. Разностные уравнения кинетики и их решение на ЦВМ

Для нахождения изменения количества нейтронов в реакторе от времени (временного поведения мощности реактора) необходимо решить систему семи дифференциальных уравнений:

Эта система содержит семь неизвестных функций: n(t) и сi(t). К ним следует добавить зависимости, описывающие поведение во времени ρ(t) реактивности, например, в виде линейной функции

и зависимость интенсивности внешнего источника нейтронов q(t) от времени, в частности, константу, отличную или равную нулю. Изменение реактивности во времени (в основном по линейному закону) связано, например, с выгоранием топлива и накоплением осколков деления, введением поглощающих стержней и др.

Для решения данной задачи надо знать начальные условия – количество нейтронов n(0) = n0. При этом начальные количества эмиттеров запаздывающих нейтронов определяются из условия стационарного состояния реактора при t = 0. Подставляем в (1.34) dci/dt = 0 и получаем

Допустим, что решение в виде аналитической зависимости n(t) известно. Тогда для построения, например, графика n(t) на интервале времени [0, T] придется выбрать конечный набор точек tj и для каждой из этих точек найти значение nj = n(tj), 0 ≤ tj ≤ T для всех j, т.е. заменить исходную непрерывную функцию фиксированным количеством точек. Для таких точек можно записать так называемые разностные или дискретные уравнения – дискретные аналоги исходных дифференциальных уравнений.

Для этого используем, например, левую разность n(tj) = n(tj) –

– n(tj–1) и заменим в (1.33) производную dn(t)/dt на близкую ей ве-

37

личину n(tj)/h, где некоторая константа h = tj – tj–1 для всех j = 1, 2, …, ≈ T/h. Мы предполагаем, что n(t) – решение исходного дифференциального уравнения и непрерывна. Тогда очевидно, что при h→0 отношение разностей n(tj)/h стремится к производной dn(t)/dt.

Аналогично все производные dci(t)/dt в (1.34) заменим на нормированные на h разности сij(tj)/h и с целю упрощения индексации вместо tj будем указывать только текущий индекс «j», учитывая, что tj = j·h. Тогда исходные уравнения (1.33)–(1.34) можно переписать в виде:

Полученные выражения (1.37) и (1.38) и представляют одну из возможных форм записи разностных уравнений кинетики.

Разрешим (1.37) относительно n(j) и (1.38) – относительно ci(j), добавим выражение для вычисления текущего момента времени и получим рекуррентные формулы (так называемую явную расчетную схему) для расчета текущего значения количества нейтронов n(j) и количества эмиттеров ci(j) по известным текущим величинам ρ(j), q(j) и предыдущим значениям n(j–1) и ci(j–1):

Данный подход также называют методом Эйлера численного решения дифференциальных уравнений.

На рис. 1.2 приведены кривые изменения количества нейтронов во времени, полученные методом Эйлера и на основе известного аналитического решения. Преимуществом метода Эйлера является его наглядность и простота, недостатком – сильная зависимость точности расчета от величины h (табл. 1.1) и, как следствие, – малая его допустимая величина. При расчетах временных зависимо-

38

стей n(t) по (1.39)–(1.40) рекомендуется выбрать временной шаг из условия h < 0,1Λ/β.

Время t, с

Рис. 1.2. Относительные изменения количества нейтронов n(t)/n0 реактора, обусловленные мгновенным вводом реактивности в критический реактор при q = 0, Λ = 10 -3 с, β = 0,64·10-2, вычисленные по (1.39)–(1.40) ,

с шагом h = 0,1 c

Таблица 1.1

Зависимость погрешности (%) от величины временного шага h (с) и величины скачка реактивности ρ расчета количества нейтронов по (1.39)–(1.40) относительно аналитического решения при t = 20 c

Кроме простейшего метода Эйлера, существует множество других методов численного решения дифференциальных уравнений

39

как с фиксированным временным шагом, так и переменным, которые в основном отличаются способом аппроксимации производных. Для точных расчетов с относительно большим h часто пользуются методом Рунге–Кутта 4-го порядка.

1.6. Аналитические решения уравнений кинетики

Аналитические решения* уравнений кинетики не всегда возможны без введения каких-либо упрощений или приближений. Тем не менее, аналитические соотношения позволяют иметь хорошее качественное представление о поведении мощности реактора во времени при различных начальных условиях и вводимых возмущениях. Приводимые ниже аналитические решения связываются с конкретными применениями.

1.6.1. Стационарные состояния. Формула обратного умножения

Стационарные состояния реализуются в тех случаях, когда dn/dt = dci/dt = 0. Подставляя эти значения в (1.31) и (1.32), получаем

Если в реакторе нет посторонних источников (q = 0) и n ≠ 0, то стационарное состояние реализуется при kэфф = 1, что согласуется с приведенным ранее определением. Если в реакторе q ≠ 0, то ста-

Это означает, что подкритический реактор (kэфф < 1) имеет определенный стабильный уровень мощности при заданной интенсивности источника. Количество нейтронов (и мощность) тем больше, чем ближе kэфф к единице.

* Аналитические решения – это решения, как правило, неоднородных дифференциальных уравнений первого порядка. С такими уравнениями мы встретимся и в других разделах данного учебного пособия. Поэтому в приложениях 1 и 2 приведены (для напоминания) способы решения уравнений.

40