Казанский Кинетика ядерных реакторов.Коеффициент реактивности 2012

Сделанные выводы справедливы не только для реактора, но и для любой, так называемой кибернетической системы*.

В случае линейной динамической системы теоретически вопрос об ее устойчивости решается довольно просто. Пусть система представлена посредством линейного дифференциального уравнения или системы уравнений. Тогда ее устойчивость будет определятся общим решением дифференциального уравнения или системы уравнений, которое как раз и описывает поведение системы при отсутствии возмущений (например, после их снятия) и представляет сумму членов вида Ciexp(si·t), где Сi – константы, зависящие от начальных условий, в настоящем контексте, от возмущений, которые вывели систему из равновесия, si – корни характеристического уравнения (собственные числа, в общем случае комплексные), t – время. Отсюда следует, что линейная система будет устойчивой, если действительные части всех корней будут отрицательными, т.е. Re(si)<0.

На самом деле именно в этом случае все экспоненциальные члены общего решения будут затухать, и система после снятия возмущения за конечное время вернется в состояние, близкое к исходному невозмущенному состоянию. Если найдется хотя бы один корень с положительной действительной частью, например Re(sj) > 0, то соответствующий этому корню член Cjexp(sj·t), будет неограниченно возрастать, и система бесконечно удалится от исходного состояния.

Если среди корней есть чисто мнимый корень, то в этом случае в системе после снятия возмущения установятся незатухающие колебания, амплитуда которых зависит от величины возмущения. Про такую систему говорят, что она находится на колебательной границе устойчивости.

Среди корней может найтись и нулевой корень (или даже несколько таких корней), например, sk=0. Это соответствует безразличному состоянию устойчивости. В этом случае, можно рассмотреть остальные ненулевые корни. Если для всех остальных ненулевых корней справедливо Re(si)<0, i ≠ k, то система будет устойчивой по отношению к первой производной, например, обратному

* Кибернетическая система – любая (физическая, биологическая, социальная) система, в которой происходит процессы передачи и преобразования информации.

241

периоду реактора. А мощность реактора может принять любое значение (пример, критический реактор без источника нейтронов). При двух нулевых корнях система будет устойчивой по отношению ко второй производной и т.д.

Таким образом, задача определения устойчивости линейной системы сводится к проверке необходимого и достаточного условия Re(si) < 0, которое легко применить на практике, если известны все корни si. Однако прямое вычисление корней для систем с i > (5÷6) уже практически невыполнимо без применения компьютера и численных методов и была фактически неразрешима в инженерной практике лет пятьдесят назад. Поэтому еще в конце XIX в. были разработаны методы (так называемые критерии устойчивости), позволяющие по коэффициентам дифференциальных уравнений судить об устойчивости системы без вычисления корней характеристического уравнения. Для разных классов систем эти критерии развивались вплоть до шестидесятых годов прошлого века, а для отдельных систем продолжают развиваться и в настоящее время. О некоторых критериях речь пойдет ниже.

Другой вопрос, который возникает при рассмотрении устойчивости, это вопрос о линейности системы. Система уравнений кинетики (5.1) не является линейной, если мы допускаем изменение реактивности при t > 0+, ибо в первом уравнении присутствует произведение переменных w(t)·ρ(t). Аналогично в уравнении теплообмена (5.5) присутствует произведение G(t)·T(t), т.е. при переменном расходе G(t) это уравнение также не является линейным.

В общем случае ни одна реальная система не является строго линейной. Наиболее часто линейные уравнения, которые приняты для описания той или иной системы, получены путем некоторых упрощений, ведущих к линеаризации исходной нелинейной системы. При этом возникает вопрос: возможно ли как-то судить об устойчивости нелинейной исходной системы по ее линеаризованным уравнениям? Если линеаризация осуществлена путем разложения нелинейностей в ряд Тейлора, ответ на данный вопрос дают теоремы российского ученого А.М. Ляпунова, суть которых следующая:

1. Если все корни характеристического уравнения линеаризованной системы имеют отрицательные вещественные части, то исходная нелинеаризованная система будет также устойчивой, ибо малые нелинейные члены не могут нарушить ее устойчивость;

242

2.Если хотя бы один корень характеристического уравнения линеаризованной системы имеет положительную вещественную часть, то исходная нелинеаризованная система будет неустойчивой, ибо малые нелинейные члены не могут сделать ее устойчивой;

3.Если имеются нулевые или чисто мнимые корни, то об устойчивости реальной системы нельзя судить по поведению линеаризованной, ибо малые неучтенные нелинейные члены могут оказать существенное влияние на ее динамику.

Эксплуатация сложных технологических объектов, по сути, сводиться к удержанию заданного набора технологических параметров вблизи некоторых требуемых значений. Если эти значения постоянны во времени, так называемые уставки, то речь идет о задаче регулирования; если заданы детерминированными функциями, то о задаче программного управления, если случайными функциями, то

озадаче слежения. Например, при работе атомной станции в базовом режиме, мощность реактора требуется поддерживать постоянной и равной номинальному значению. Обратный период ректора при этом будет равным нулю. Данный пример представляет типичную задачу стабилизации двух параметров – мощности и обратного периода. В начале пуска энергоблока мощность реактора после достижения критического состояния требуется поднять по задан-

ному закону до уровня приблизительно 1 % от номинального. Наиболее часто мощность увеличивают по экспоненте с заданным периодом 40÷60 с. В том случае по отношению к мощности решается задача программного управления, а по отношению к обратному периоду – задача стабилизации.

Перечисленные задачи в принципе несложно решить на практике, если объект управления устойчив. Однако и в этом случае будут присутствовать некоторые небольшие отклонения управляемых параметров от требуемых значений. Например, мощность реактора w(t) в базовом режиме не для каждого момента времени t будет точно соответствовать номинальному значению w0, а отличатся от w0 на некоторую небольшую величину w(t) = w(t) – w0.

Аналогично обратный период y(t) во время подъема мощности реактора может отличаться от требуемого значения y0 на небольшую величину y(t), и т.д. Появление отклонений w(t), y(t) и др. связано с влиянием на объект одного основного параметра, который играет роль нагрузки, и большого количества второстепенных

243

факторов по большей части случайных и часто вообще неучтенных в расчетах.

Пусть, например, атомная станция работает в базовом режиме. Реактор, парогенератор, турбина и турбогенератор – все агрегаты работают на номинальной мощности, а частота тока в электрической сети равна 50 Гц. Допустим, что по той или иной причине отключили некоторых потребителей электроэнергии, т.е. электрическая нагрузка в сети и, следовательно, нагрузка на турбогенератор уменьшились. Так как реактор продолжает работать на номинальном уровне мощности, то уменьшение электрической нагрузки на турбогенератор вызовет повышение частоты тока в сети. Однако частота сети должна быть в пределах 50±0,2 Гц. Чтобы удержать отклонение частоты f тока в сети в пределах 0,2 Гц, придется уменьшать расход пара на турбину. Это, свою очередь, приведет к росту давления пара в парогенераторе и повышению температуры воды. Изменение температуры воды повлияет на температуру всей активной зоны и через соответствующие эффекты реактивности на мощность реактора, которая изменится на некоторую величину w.

Если система реактор–парогенератор–турбина–турбогенератор (именно система, а не только каждый агрегат по отдельности) устойчива, то в данном случае мощность реактора из-за отрицательного мощностного эффекта уменьшиться ( w < 0), т.е. уменьшение электрической нагрузки приведет к уменьшению мощности реактора. В этом случае говорят, что система обладает свойством саморегулирования. Как правило, изменения мощности только за счет свойств саморегулирования недостаточно. На практике может потребоваться дополнительная коррекция посредством стержней системы управления и защиты. Если же система в целом окажется неустойчивой, то в лучшем случае расходящиеся технологические параметры приведут к срабатываниям технологических и аварийных защит, а в худшем – к аварии.

Из приведенных рассуждений следует, что, во-первых, крайне важно обеспечить устойчивость, как отдельных агрегатов, так и всей системы в целом, а во-вторых, в режимах нормальной эксплуатации вместо самых переменных, определяющих состояние системы, можно рассматривать их приращения – отклонения от некоторых требуемых значений. Так как вся стратегия управления системой направлена на обеспечения малости этих отклонений, то

244

для широкого класса систем их динамику удобно, а самое главное, корректно описать в приращениях посредством линеаризованных уравнений.

5.4.2. Линеаризованные уравнения динамики

Пусть реактор находится в стационарном состоянии с мощностью w0 при реактивности ρ0. Тогда в соответствии с уравнением (5.1) Ci0 = βiw0/(λiΛ) – стационарные приведенные значения запаздывающих нейтронов.

Представим каждую переменную в системе (5.1) через ее стационарное (начальное) значение и возможное отклонение:

w(t) = w0 + w(t); ρ(t) = ρ0 + Δρ(t); Ci(t) = Ci0 + Ci(t)

для всех i групп запаздывающих нейтронов.

Первое уравнение в системе (5.1), как отмечалось выше, нелинейно. Произведем его линеаризацию. Для того чтобы показать одну из возможных методик линеаризации на примере этого урав-

где f – функция представляющая правую часть первого уравнения

(5.1).

Заметим, что производная от мощности w(t) равняется производной от ее отклонения w(t). Правую часть уравнения (5.37) разложим в ряд Тейлора в окрестностях так называемой рабочей или

который состоит из коэффициентов в виде частных производных, вычисленных в рабочей точке, умноженных на соответствующие приращения переменных состояния.

245

Аналогично можно поступить и с остальными уравнениями системы (5.1). Однако обратим внимание, что полученные линеаризованные уравнения имеют нулевые начальные условия, так как w(0) = w0; ρ(0) = ρ0; Ci(0) = Ci0 для всех i, и что уравнения по отношению к Ci(t) в системе (5.1) линейны, поэтому в процессе линеаризации они полностью сохранят свой вид. Следовательно, в линейных уравнениях достаточно формально заменить переменные их приращениями.

После применения формулы (5.38) к первому уравнению (5.1) и

Еще раз подчеркнем, что данная система справедлива для небольших отклонений Δρ(t) от ρ0 ≤ 0 (в противном случае у реактора отсутствует стационарное решение, а при ρ0 ≤ 0 предполагается, что присутствует источник нейтронов q0 = –w0ρ0/Λ) и обусловленных этими отклонениями небольших измений мощности w(t).

На рис. 5.10 приведены переходные процессы по мощности, вызванные скачком реактивности и рассчитанные по исходным и линеаризованным уравнениям при нулевых начальных условиях.

Кроме мощности, для контроля реактора важное значение имеет его обратный период (приведенная скорость изменения мощности) y = 1/Те. Так как мощность во время эксплуатации может сохранять постоянное значение (y = 0; Tе = ∞) и меняться не только экспоненциально (y ≠ const; Tе ≠ const), то в общем случае обратный период целесообразно рассматривать как некоторую переменную y(t), определяющую состояние реактора и связанную с мощностью соотношением

где t – текущий момент времени, τ – переменная интегрирования (0 ≤ τ ≤ t). Если выразить y(t) из (5.40), получим соотношения, по которым вычисляют обратный период специальные устройства – периодомеры:

246

Рис. 5.10. Относительные приращения мощности w(t)/w0, вызванные скачком реактивности Δρ = 0,1 β в момент времени t = 1 c для подкритического (ρ0 = – 1 β)

икритического реактора, рассчитанные по уравнениям кинетики (5.1)

илинеаризованным уравнениям (5.39)

Можно уравнения кинетики дополнить уравнением по отношению к обратному периоду, для чего достаточно первое уравнение системы (5.1) разделить на w(t) в соответствии с (5.41):

Отметим, что (5.41) также нелинейно, а его линеаризация приводит к выражению

Аналогично линеаризации (5.1) можно линеаризовать (5.42) и дополнить систему линеаризованных уравнений уравнением, записанным по отношению к отклонению обратного периода:

247

Сравнить результаты, полученные по (5.42) и (5.44), можно по рис. 5.11.

Анализ отклонений мощности и обратного периода, рассчитанных по уравнениям кинетики и их линеаризованным аналогам (см. рис. 5.10 и 5.11) приводит к выводу, что для устойчивых систем линеаризованные уравнения обеспечивают удовлетворительную точность, однако полученные отклонения по модулю несколько меньше истинных значений.

Рис. 5.11. Приращения обратного периода, вызванные скачком реактивности Δρ = 0,1 β, введенной в критический реактор, рассчитанные по соотношениям (5.42) и (5.44). Установившийся период составил 97 и 124 с соответственно

В случае неустойчивой или нейтрально устойчивой системы (например, критический реактор), решения, полученные по линеаризованным уравнениям, могут существенно отличаться от истинных. Например, у надкритического реактора мощность после скачка на мгновенных нейтронах возрастает по экспоненте, а линеаризованные уравнения дают линейную функцию. Но и в этом случае, вопервых, начальные участки решений несильно разнятся, а вовторых, линеаризованное уравнение по периоду дает достаточно точное решение на всем промежутке времени.

248

Отмеченный недостаток линеаризации компенсируется следующими преимуществами. Нет принципиальных трудностей получения аналитического решения. Нулевые начальные условия, что делает линеаризованные уравнения очень привлекательными для применения аппарата преобразований Лапласа. Выполнение принципа суперпозиции, что существенно упрощает применение методов композиции и декомпозиции для решения задач анализа и синтеза. И, самое главное, наличие простых и наглядных критериев анализа устойчивости исходной системы по ее линеаризованным уравнениям.

Для получения линеаризованных уравнений динамики дополним систему (5.39) и (5.44) линеаризованными аналогами уравнений (5.3)–(5.5) в точке с координатами w0, G0в, T0т, T0в, T0в1.

Уравнение (5.3) линейно и, по сути, уже записано в отклонениях. Перепишем его в виде:

При желании можно добавить еще одно уравнение, позволяющее рассчитать отклонение температуры воды на выходе реактора:

Таким образом, уравнения (5.39), (5.44)–(5.48) представляют линеаризованные уравнения динамики ректора с двумя эффектами реактивности (по температуре топлива и воды), позволяющие рассчитать отклонения мощности, обратного периода, температур топлива и воды (выходы) в зависимости от отклонений реактивности, температуры воды на входе реактора и ее расхода (входы).

Входы и выходы реактора можно изобразить графически, как показано на рис. 5.12.

249