Казанский Кинетика ядерных реакторов.Коеффициент реактивности 2012

ΣaH / Σ49a , ΣaB / Σ49a и др., как следует из графиков рис. 3.4, будут от-

рицательными. Для реактора на тепловых нейтронах с содержанием 239 Pu порядка 2 % значение ∂θ/∂T = +6 10-5 1/K.

В реакторах на тепловых нейтронах в топливе наряду с ураном всегда есть и накопленный плутоний, поэтому значения ∂θ/∂T будут смещаться в положительную сторону по мере накопления плутония.

По мере накопления в топливе осколков деления значения θ будут уменьшаться. Для большинства осколков деления сечения поглощения в области тепловых энергий нейтронов уменьшается с ростом энергии нейтронов (обратно пропорционально скорости нейтронов или корню квадратному из энергии нейтронов), т.е. с ростом температуры. Для таких осколков деления отношение сечения поглощения к сечению деления 235U будет расти с ростом температуры нейтронного газа. Следовательно, появление этих осколков деления будет создавать отрицательную составляющую в величине ∂θ/∂T.

Для некоторых осколков деления с аномально большими сечениями поглощения нейтронов тепловых энергий зависимость сечения поглощения от температуры нейтронного газа более сложная. Например, отношение сечения поглощения нейтронов ядрами 135Xe

ксечению деления ядер 235U с ростом температуры вначале растет,

а выше температуры 550 К падает. Поэтому при температурах выше 550 К накопление равновесного количества ядер 135Хе приводит

кпоявлению положительной составляющей в величине ∂θ/∂T (см. рис. 3.3) для реактора с урановым топливом.

При использовании энергетического плутония (плутоний, извлекаемый из отработавшего топлива реакторов на тепловых ней-

тронах) в реакторах на тепловых нейтронах составляющая ТКР2 будет более положительной в сравнении с реактором, загружаемым урановым топливом.

Приведенные выше соображения носят качественный характер и позволяют понять основные причины влияния на реактивность изменений средней энергии тепловых нейтронов при росте или снижении температуры замедляющей среды.

131

3.2.3. Влияние на реактивность доплер-эффекта (третья составляющая температурного коэффициента реактивности)

Доплер-эффект – третья составляющая ТКР3 или ∂ρ3/∂T, объясняется, как будет показано далее, изменением зависимости сечения поглощения нейтронов от их энергии вблизи резонансов. При абсолютном нуле зависимость сечения поглощения нейтронов от их энергии совпадает с формой резонанса (формула Брейта– Вигнера), с ростом температуры зависимость сечения от энергии вблизи резонанса «расплывается» – становится шире и ниже в сравнении с аналогичной зависимостью в случае абсолютного нуля.

Как известно из разделов ядерной и нейтронной физики, зависимость сечения взаимодействия нейтрона с неподвижным ядром вблизи резонансной энергии (при этом энергия нейтрона в сумме с энергией связи его в ядре близка к энергии одного из уровней возбужденного состояния ядра) описывается формулой БрейтаВигнера:

где σc (E0 ) – сечение радиационного захвата при резонансной

энергии (в максимуме резонанса), т.е. при Еn = Е0; Г – полная ширина уровня составного ядра при его возбуждении нейтроном с энергией Е0.

Зависимость сечения от энергии для изолированного (отдельного) резонанса показана на рис. 3.5.

Обратите внимание на то, что при энергиях нейтронов, малых по сравнению с резонансной (En/Е0 << 1), знаменатель в (3.29) оказывается постоянной величиной, и сечение радиационного захвата оказывается обратно пропорциональным скорости нейтронов, т.е. (Е0/Еn)1/2. В частности, при энергии нейтронов соответствующей (тепловому движению Еth (обычно Еth много меньше энергии резонанса Е0) сечение будет пропорционально (Г/Е0)2/4. Другими словами, чем шире резонанс, тем (при заданных энергиях Еth и Е0) больше вклад в сечение при тепловой энергии, причем вклад пропорционален квадрату ширины резонанса.

132

ядра, т.е. энергия нейтрона в системе центра масс Е*. Именно это значение энергии нейтрона определяет зависимость вероятности взаимодействия (сечения) от энергии. Значение Е* зависит не только от энергии нейтрона в лабораторной системе координат Еn, но и от относительного направления движения ядра А и нейтрона. Из курса механики известно, что Е* = mnA(v + u)2/2(A+1) (где v и u – векторы скоростей нейтрона и ядра). Поэтому моноэнергетический (в лабораторной системе координат) поток нейтронов будет иметь «разные» энергии взаимодействия и, следовательно, разные вероятности взаимодействия с ядрами в зависимости от того, под какими углами происходят столкновения нейтрона с направлением движения ядра и какова энергия ядра. Например, если векторы скоростей v и u ортогональны, то Е* = Еn. Наибольшее значение Е* приобретает при движении нейтрона и ядра навстречу друг другу. При этом энергия взаимодействия будет равна сумме кинетических энергий нейтрона En и ядра ЕА, т.е. Е* = Еn + ЕА.

Всоответствующих разделах нейтронной физики показано, что

всистеме центра масс энергия взаимодействия (энергия нейтрона

Е*) моноэнергетических нейтронов с энергией Еn (в лабораторной системе координат) с ядрами, имеющими энергию теплового движения kТ, имеет гауссово распределение, максимум которого расположен при энергии возбуждения численно совпадающей с энергией нейтрона в лабораторной системе координат:

kT – энергия теплового движения ядер среды с атомной массой А. На первый взгляд, кажется, что влияние теплового движения на

резонансную область энергий должно быть несущественным. Однако значение растет как корень квадратный из энергии и даже для тяжелых ядер с A = 238 оказывается сравнимым с ширинами резонансов и при нормальных температурах. Например, при Т = = 293 К и энергиях от 0,1 эВ до 1 кэВ значения лежат в пределах

от 6,5 до 650 мэВ. Средние значения ширин резонансов при этих энергиях для 235U составляет примерно 33 мэВ. Для 238U при энер-

гии первого резонанса (6,8 эВ) значение при температуре 293 К составляет 53 мэВ, а ширина резонанса – 25 мэВ.

134

Следовательно, наблюдаемое при измерениях сечение взаимодействия нейтрона с энергией En в лабораторной системе координат, совпадающее по энергии с положением резонанса Е0, не будет совпадать с сечением σc(E0), рассчитанным по формуле Брейта– Вигнера для случая неподвижных ядер (3.29). Наблюдаемое в опыте сечение можно рассчитать, принимая во внимание возможность реализации различных энергий взаимодействия (3.30) для нейтрона с определенной энергией в лабораторной системе координат. Для этого надо провести свертку распределений (3.29) и (3.30):

где σc(E*) – зависимость от энергии по формуле Брейта– Вигнера (3.29), в которой энергия нейтрона Еn заменена энергией взаимодействия Е*, ϕ(En, E*, kT) – распределение энер-

гий взаимодействия моноэнергетических нейтронов с энергией Еn с ядрами среды, имеющих энергию движения kT.

Сопоставляя (3.31) и (3.29), можно сделать следующие выводы. Во-первых, ход сечения в функции энергии вблизи резонанса зависит от температуры среды. Поэтому в зависимости сечения от энергии вблизи резонанса необходимо в качестве параметра указывать температуру среды, т.е. σc(En, kT). Во-вторых, по мере роста температуры наблюдаемая ширина резонанса будет увеличиваться. В этом можно убедиться либо путем проведения расчетов, результаты которых приведены на рис. 3.6, либо путем достаточно очевидных качественных соображений.

На рис. 3.6 вблизи кривых указаны цифры, характеризующие энергию теплового движения ядер, Г/2 = Г/4[kTEn/(1+A)]1/2. По оси абсцисс отложены разность энергий нейтрона в лабораторной системе координат и энергии, при которой расположен резонанс, нормированные на полную ширину резонанса при нулевой температуре, т.е. (E0 – En )/Г. По оси ординат отложены сечения взаимодействия, нормированные на сечение в максимуме, вычисленное в предположении неподвижных ядер (при температуре абсолютного нуля).

В частности, если принять во внимание параметры первого резонанса 238U (Г = 0,027 эВ, E0 = 6,8 эВ), то температуре 293 К будет

соответствовать кривая с Г/2 ≈ 0,25. При температуре 1200 К Г/2 ≈ 0,1 и зависимость сечения от энергии оказывается еще более сглаженной.

135

Заметим, что количество взаимодействий не будет зависеть от температуры, если плотность потока нейтронов в выбранном узком энергетическом интервале будет постоянной, т.е. не будет зависеть от энергии движения ядер среды, т.е. от температуры среды. Это следует из (3.32).

Если же плотность потока нейтронов внутри выбранного энергетического интервала является функцией энергии нейтронов, то тогда количество взаимодействий будет зависеть от температуры, поскольку форма резонанса является функцией температуры.

А может ли спектральное распределение нейтронов в узком энергетическом интервале зависеть от энергии? Оказывается это возможно.

Зависимость плотности потока замедляющихся нейтронов от их энергии была получена Э. Ферми. Спектр Ферми – спектр замедляющихся в слабопоглощающей среде нейтронов, обратно пропорциональный сечению взаимодействия нейтронов с ядрами и энергии нейтронов:

где С0 – некоторая постоянная; Σtt(En) – полное макроскопическое сечение взаимодействия нейтронов со всеми ядрами среды в функции энергии.

Нас интересует количество взаимодействий в узком энергетическом интервале, ширина которого сопоставима с ширинами резонансов Г. Ширины резонансов обычно намного меньше энергии резонанса. Поэтому для узкого энергетического интервала Е << En спектральное распределение можно записать в следующем виде,

Эту же зависимость можно получить качественно. Действительно, количество нейтронов в заданном энергетическом интервале будет зависеть от их времени жизни в этом интервале. Время жизни нейтронов с заданной энергией будет определяться временем между двумя соударениями нейтрона с ядрами среды. Средний пробег между двумя соударениями – это величина, обратно пропорциональная полному макроскопическому сечению взаимодей-

137

ствия нейтронов с ядрами. Следовательно, время жизни между двумя соударениями будет обратно пропорционально произведению полного макроскопического сечения на скорость нейтрона vn, т.е. 1/Σttvn. А поскольку рассматривается узкий энергетический интервал, то можно считать скорость неизменной и энергетическую зависимость плотности потока нейтронов полагать обратно пропорциональной зависимости от полного сечения взаимодействия нейтронов с ядрами. При вычислении значений Σtt надо принимать во внимание, что не при каждом упругом или неупругом соударении нейтрон может выйти за пределы рассматриваемого энергетического интервала, поскольку после одного соударения возможно изменение энергии меньшее, чем ширина рассматриваемого энергетического интервала. Поэтому только часть сечений рассеяния входит в состав полного сечения Σtt.

В состав активной зоны реактора входит много элементов. В выбранном энергетическом интервале полное сечение взаимодействия будет являться суммой макроскопических сечений всех составляющих элементов активной зоны, в том числе и резонансное сечение отдельного нуклида. Сечение взаимодействия этого нуклида с нейтронами будет существенно изменяться внутри интервала E, а сечения взаимодействия остальных нуклидов, у которых нет резонансов в интервале E, можно считать постоянными. Поэтому полное макроскопическое сечение в энергетическом интервале E

где Σt(En) – полное макроскопическое сечение взаимодействия нейтронов с ядрами, имеющими резонанс в выбранном энергетическом интервале; Σ0 – полное макроскопическое сечение всех ядер (кроме ядер с резонансом в данном энергетическом интервале). Σ0 не зависит от энергии в узком энергетическом интервале, и его называют сечением разбавления.

Последнее утверждение справедливо, если остальные ядра не имеют резонансов в выделенном энергетическом интервале. В таком случае спектральное распределение нейтронов в узком энерге-

138

Запишем значения средних сечений (3.33а) для двух предельных случаев. В одном будем полагать, что плотность ядер с резонансом мала по сравнению с плотностью других ядер. Другими словами, будем считать, что Σ0 >> Σt(En), и тогда плотность потока нейтронов внутри выбранного интервала постоянна, т.е. ϕ(En) = const. В другом случае будем считать, что плотность ядер с резонансом превышает плотность остальных ядер настолько, что Σ0 << Σt(En). Следовательно, в выбранном энергетическом интервале ϕ(En) = = C/Σt(En). В этом случае плотность потока нейтронов в интервале E является функцией энергии нейтронов и будет зависеть от температуры, поскольку форма резонансного сечения является функцией температуры.

Вычислим среднее сечение радиационного захвата нейтронов <Σс(kT)> для двух указанных выше случаев.

В первом случае, когда Σ0 >> Σt(En) и φ(En) = С1/Σ0= const, среднее значения сечения определяется следующим образом:

= ∫ dEnΣс (En ,kT ) / E.

E

Оказалось, что при Σ0>>Σt(En) вычисленное среднее значение се-

чения радиационного захвата не зависит от температуры, по-

скольку интеграл от функции Σс(Е, kТ) не зависит от температуры

(см. (3.32)).

Число радиационных захватов в единицу времени в единице объема (3.33) можно вычислить, используя среднее значение сечения и интегральную плотность потока нейтронов в выбранном энергетическом интервале:

где < Φ >= ∫dEnC1 / Σ0 = C1 E / Σ0 .

E

Таким образом, при единичной плотности потока нейтронов в выбранном энергетическом интервале происходит количество взаимодействий, равное численно среднему сечению данной реакции в выбранном энергетическом интервале. При этом (напомним)

139

среднее сечение вычисляется в предположении независящей от энергии функции усреднения, т.е. при независимости от энергии плотности потока нейтронов внутри интервала.

Во втором случае, когда Σ0 << Σt (En) и φ(En) = C1/Σt(En), среднее сечение радиационного захвата получается усреднением резонанс-

ного сечения по плотности потока обратно пропорциональной зависимости резонансного сечения от энергии.

Среднее сечение радиационного захвата во втором случае можно записать в виде

E

Примем во внимание, что в пределах резонанса отношение сечения радиационного захвата к полному сечению есть величина постоянная и равная отношению соответствующих ширин резонанса – радиационной и полной, которые не зависят от температуры,

т.е. Σс(Еn, kТ)/Σt(En, kT) = Гγ/Г= const. Умножим и разделим числитель и знаменатель (3.39) на Гγ/Г, введем новую постоянную С2 =

= С1(Гγ/Г) и заменим (Гγ/Г)Σt(En, kT) на Σc(En, kT). Тогда получим следующее соотношение для среднего сечения радиационного за-

хвата:

Для второго рассматриваемого случая среднее сечение оказывается зависимым от формы резонанса и, следовательно, от температуры среды.

Число радиационных захватов в единицу времени в единице объема для второго случая также можно вычислить, используя среднее значение сечения и интегральную плотность потока нейтронов:

где

< Σc (kT ) >= E /1/ Σc (En ,kT ) ;

140