Казанский Кинетика ядерных реакторов.Коеффициент реактивности 2012

Связь количества нейтронов в реакторе и реактивности (1.42а) называют формулой обратного умножения.

Физический смысл соотношений (1.42) в том, что в подкритическом реакторе количество нейтронов обратно пропорционально модулю реактивности. Эту закономерность используют при контроле состояния подкритических систем. Скорость счета импульсов детектора Nд, регистрирующего нейтроны и расположенного в активной зоне реактора или рядом с ней, будет (при определенных условиях) обратно пропорциональна реактивности размножающей системы:

«Определенные условия» – число импульсов детектора, пропорциональное полному количеству делений в реакторе. Это реализуется в тех случаях, когда допустимо рассматривать реактор безразмерным, например, как физическую точку, или при реактивности реактора близкой к нулю.

Формула обратного умножения используется для нахождения экстраполяционного значения неизвестной критической массы из так называемой экстраполяционной кривой. Построение экстраполяционной кривой осуществляется следующим образом. До загрузки первой порции топливных сборок в реактор измеряют скорость счета детектора (пусть она обозначается Nd0), а затем по одной из осей по мере загрузки топливных сборок откладывают Nd0/Ndi, а по другой оси – общее количество топливных сборок после i-той загрузки. Совершенно ясно, что при стремлении kэфф к единице, т.е. при увеличении количества топливных сборок в активной зоне реактора, отношение Nd0/Ndi стремится к нулю.

На рис. 1.3 показан реальный ход зависимости отношения Nd0/Ndi от количества загруженных в реактор топливных сборок при наборе критической массы реактора БН-600. Показаны две зависимости: 1 – при всех поглощающих стержнях, находящихся в реакторе, 2 – при всех поглощающих стержнях, извлеченных из реактора. Вблизи kэфф = 1 отрезок экстраполяционной кривой оказывается линейным и позволяет уверенно находить экстраполированное значение критической массы (в данном случае числа топливных сборок).

Используя формулу обратного умножения, можно найти подкритическое состояние реактора, если известна реактивность како-

41

го-либо его предыдущего состояния. Действительно, если при ка- кой-то вполне определенной конфигурации активной зоны скорость счета детектора была N1, то N1=–Λq/ρ1. Соответственно, при другой конфигурации активной зоны будет другая реактивность ρ2 и, следовательно, другая скорость счета детектора N2, поэтому

N1/N2=ρ2/ρ1.

Рис. 1.3. Нормированная обратная скорость счета детектора

взависимости от количества тепловыделяющих сборок, загруженных

вреактор БН-600 (данные получены при наборе критической массы

реактора):

1 – все поглощающие стержни находятся в реакторе;

2 – все поглощающие стержни извлечены из реактора

1.6.2. Решение уравнений кинетики без учета запаздывающих нейтронов (разгон на мгновенных нейтронах)

Рассмотрим случай, когда dn/dt положительно и очень велико. Именно при этих условиях можно считать, что запаздывающие нейтроны не успевают внести свой вклад в развитие цепной реакции. Формально это условие можно реализовать, положив λi = 0.

Источник нейтронов также не принят во внимание, полагая, что роль источника нейтронов сводится к формированию начального уровня мощности. В этих приближениях решение имеет вид

42

Оказывается, что запаздывающими нейтронами можно пренебречь, если вводится реактивность ρ > βэфф. При этом период реактора Те оказывается малым и по порядку величины определяется

Поэтому экспоненциальный рост мощности реактора при ρ ≥ βэфф обычно называют «разгоном мощности на мгновенных нейтронах».

Здесь уместно задать вопрос: а возможно ли управление цепной

Отметим, что управление таким реактором было бы чрезвычайно сложным в техническом отношении. Действительно, среднее время жизни нейтронов в водо-водяных и графитовых реакторах не превышает 10-3÷10-4 с. Поэтому даже в таких «медленных» реакто-

рах при ρ = 10-4 k/kэфф мощность увеличивалась бы за 1с при Λ=10-4 в 2,7 раза. Для управления таким реактором потребовалось бы вво-

дить контролируемые изменения реактивности не более 10-5 k/kэфф. Технически это осуществить возможно, но в энергетическом реакторе при нормальных режимах работы флуктуации реактивности

лежат на уровне (10-5÷10-6) k/kэфф. Например, вполне возможны быстрые изменения температуры на десятые доли градуса, а это

значит, что «уследить» с помощью механических средств за таким реактором не представляется возможным.

43

В заключение отметим, что рассматриваемое приближение уравнения кинетики без учета запаздывающих нейтронов в виде (1.44) можно использовать при анализе поведения мощности реактора при быстром вводе реактивности, превышающей βэфф.

1.6.3. Решение уравнений кинетики в приближении одной эффективной группы запаздывающих нейтронов

Для качественного анализа временного поведения реактора рассмотрим уравнение кинетики в приближении одной группы запаздывающих нейтронов, т.е. будем считать, что все нейтроны имеют одну постоянную распада λ. Такой приближенный анализ дает качественно те же результаты, что и решение с шестью группами запаздывающих нейтронов, а в определенных случаях – даже близкие и количественные результаты. Кроме того, приближение одной группы запаздывающих нейтронов используют при аналитическом решении динамических задач, и этот подход оказывается весьма эффективным. Наконец, уравнение кинетики в приближении одной группы запаздывающих нейтронов имеет наглядное аналитическое решение. Запишем уравнения кинетики с одной группой запаздывающих нейтронов:

Решим эту систему дифференциальных уравнений с помощью преобразований Лапласа (основные соотношения преобразований Лапласа даны в приложении 1). После преобразования система

Исключим из первого уравнения системы с(s) (изображение функции c(t)) и найдем n(s) (изображение функции n(t)):

44

Квадратные скобки знаменателя ни что иное как полином второго порядка, который можно представить в виде (s – ω1)(s – ω2), где ω1 и ω2 – корни квадратного уравнения знаменателя (1.51). Приравняв знаменатель нулю, находим корни квадратного уравнения:

Функция n(s) может быть представлена в виде следующей суммы:

n(s)/n(0) = s/(s–ω1)(s–ω2) + {λ[n(0)+c(0)]+q}/[(s–ω1)(s–ω2)] +

+ λq/[s(s–ω1)(s–ω2)]. (1.53)

В приложении 1 даны формулы для обратного преобразования, применяя которые, получаем явный вид искомой функции n(t) (при этом исключили с(0), на основе соотношения c(0) = βэффn(0)/(λΛ), которое следует из (1.49) при стационарных начальных условиях):

Для корней уравнения ω1 и ω2 при условии βэфф – ρ >> λΛ > 0 можно использовать приближенные формулы:

При условии ρ – βэфф >> λΛ > 0 приближенные формулы для

Итак, получено аналитическое решение уравнений кинетики с одной группой запаздывающих нейтронов, которое можно представить в виде n(t) = Аexp(ω1t) + Bexp(ω2t) + C. Это решение справедливо, если известны начальные условия, т.е. n(0) и с(0), и в момент t = 0 происходит скачкообразное изменение реактивности и/или активности источника, или количества нейтронов в реакторе.

45

И это понятно, поскольку при получении (1.50) и реактивность, и источник нейтронов предполагались постоянными величинами.

Еще один полезный результат из полученного решения – связь между реактивностью и собственными числами ω1 и ω2 или между реактивностью и периодом увеличения (уменьшения) мощности реактора в соответствии с (1.52), (1.55) и (1.56).

Связь между реактивностью и корнями ω1,2 можно представить в более общем виде. Приравняем знаменатель (1.51) нулю и разрешим его относительно ρ. Тогда получим явную связь между ρ и s,

Это соотношение при s = ω2 дает возможность найти реактивность по асимптотическому периоду роста мощности реактора, т.е. это – формула обратных часов при одной группе запаздывающих нейтронов (сравните с (1.18)).

Проанализируем, как связаны ω1 и ω2 с реактивностью. Прежде всего, отметим, что при βэфф – ρ >> λΛ в соответствии с (1.55) корень ω1 связан со временем жизни мгновенных нейтронов, а корень ω2 – со средним временем жизни запаздывающих нейтронов. Поэтому почти во всей области значений реактивности |ω1| >> |ω2|, кроме значений ρ/βэфф = 1 + λΛ/βэфф ± ε. В указанной узкой области значений ρ/βэфф (ε по порядку величин равно λΛ/βэфф) корни близки по своей величине |ω1| = |ω2|, но имеют разные знаки (см. (1.56)).

Из рассмотрения значений корней (1.55) следует, если ρ < 0, то ω1 < 0 и ω2 < 0. Это означает, что все переходные процессы в реакторе затухают после изменения реактивности до значения ρ/βэфф < 0, и устанавливается асимптотический во времени спад мощности (количества нейтронов) реактора с показателем экспоненты ω2.

Если 0 < ρ < βэфф, то ω1 < 0 и ω2 > 0. Это означает, что происходит рост мощности, который в конце концов происходит по экспо-

ненциальному закону с показателем ω2.

Если ρ > βэфф, то в соответствии с (1.55а) знаки корней не изменяются и по-прежнему ω1 < 0 и ω2 > 0. Но при этих условиях значение корня ω2 связано со временем жизни мгновенных нейтронов и

|ω1|<< |ω2|.

46

На рис. 1.4 приведены зависимости ω1 и ω2 от реактивности для

Λ = 2·10-6 с, βэфф = 7·10-3, λ = 0,1 с-1. Эти исходные данные близки к аналогичным для реактора на быстрых нейтронах с урановым топ-

ливом.

Рис. 1.4. Зависимость корней ω1 и ω2 от реактивности ρ/βэфф для случая

одной группы запаздывающих нейтронов с λ = 0,1с-1 при Λ = 2 10-6с

и βэфф = 7 10-3

Отметим, что временное поведение n(t) зависит от выбранного среднего значения λ (см. (1.55) и (1.56)).

Найдем среднее значение λ для реактора при установившемся асимптотическом поведении во времени, т. е. при n(t) = n0exp(ω0t).

Запишем интегральную форму уравнения для предшественников запаздывающих нейтронов по отношению к принужденной составляющей, обусловленной n(t), применив преобразование Лапласа (см. приложение 1, пример 2) к дифференциальному уравнению для предшественников запаздывающих нейтронов (1.49):

Подставим в это уравнение асимптотическое изменение во времени количества нейтронов в реакторе, т.е. n0exp(ω0t) и после интегрирования получаем

47

Решение уравнения (1.54) позволяет получить зависимость n(t) после того, как в реакторе, находившемся в стационарном состоянии, происходит скачкообразное изменение какого-либо интегрального параметра – реактивности, числа нейтронов в реакторе, интенсивности источника. При решении такого рода задач полезно использовать приближенный вид (1.54), принимая во внимание, что во многих случаях справедливы следующие неравенства:

ω1 >> ω2 ; λΛ<< β –ρ .

Рассмотрим поведение критического реактора без внешнего источника нейтронов. В этом случае ρ = 0 и q = 0. В момент времени t = 0 в реактор вносится реактивность 0,5 βэфф. Поскольку до внесения реактивности реактор был в стационарном состоянии, то из уравнения (1.2) при dn/dt = 0 и dci/dt = 0 следует (см. также (1.58.5))

с(0) = n(0)βэфф / λΛ .

С учетом начальных условий получаем следующее решение n(t) = −n(0)ρexp(ω1t) / (βэфф −ρ) + n(0)βэфф exp(ω2t) / (βэфф −ρ). (1.59)

Из (1.59) следует, что за достаточно малое время порядка t*~

который сохраняется практически постоянным в течение времени

~0,05/ ω2 .

В дальнейшем происходит либо экспоненциальный рост, либо экспоненциальный спад количества нейтронов в реакторе (мощно-

Поведение количества нейтронов в реакторе (мощности) при скачкообразном изменении реактивности показано на рис. 1.6 для

ρ = ±0,5βэфф. Верхние части графиков показывают изменение

N(t)/N0 при 0 ≤ t ≤10-2 с.

Мы рассмотрели временное поведение количества нейтронов в реакторе без источника нейтронов при изменениях реактивности. При наличии источника нейтронов и введении отрицательной реактивности количество нейтронов в реакторе будет спадать до уровня, который определяется формулой обратного умножения, т.е. до уровня qΛ/ ρ .

50