Казанский Кинетика ядерных реакторов.Коеффициент реактивности 2012

ные значения kэфф для делящихся ядер (делящиеся ядра – это ядра способные делиться при поглощении тепловых нейтронов) имеют значения 2,4 –2,8.

Из определения реактивности следует, что она может принимать значения от – ∞ до значений ≤ 0,7.

Используется несколько единиц измерения реактивности. Часто ρ выражают в % k/kэфф. В экспериментах, как будет показано в последующих главах, реактивность определяется в эффективных долях запаздывающих нейтронов βэфф. Отсюда и единица реактивности – эффективная доля запаздывающих нейтронов. Величина βэфф зависит от типа реактора и может изменяться не только в процессе работы реактора, но и даже при перемещениях поглощающих

стержней. Для урановых реакторов βэфф ≈ 6·10-3 k/kэфф = 0,6 % k/kэфф, для реакторов с плутониевым топливом βэфф ≈ 0,35 %

k/kэфф.

Отметим, что βэфф зависит от используемых в реакторе делящихся материалов (для каждого тяжелого нуклида свое β), а также от спектра нейтронов, вызывающих деления (соотношения между числом делений различных нуклидов зависят как от их концентрации, так и от спектра нейтронов), и отличается от β.

В отечественной литературе реактивность в единицах «эффективная доля запаздывающих нейтронов» обозначают βэфф или % βэфф. В зарубежной литературе величину βэфф называют долларом и обозначают $, a % βэфф называют центом. Там же достаточно распространена единица реактивности ppm (процент от тысячной доли), которая соответствует тысячной доле % βэфф.

Редко используется единица реактивности обратный час – это такая реактивность, для которой период удвоения мощности равен

1 ч. Обратный час (как и βэфф) зависит от состава реактора. Для реакторов, содержащих только один тяжелый нуклид 235U, обратный

час соответствует реактивности 0,51 % βэфф или 0,33·10-2 % k/kэфф,

или 3,3 ppm.

Плотность потока нейтронов, скорости реакций. Для того чтобы иметь исчерпывающее представление о происходящих в реакторе процессах, необходима информация о составе реактора, сечениях взаимодействия нейтронов с ядрами и о функции распределения нейтронов в реакторе. Эту функцию называют плотностью

21

потока нейтронов и обозначают Φ(rG, E,Ω,t) . Плотность потока

нейтронов – это количество нейтронов в Gданный момент времени t, пересекающих сферу с центром в точке Gr , с единичной площадью

сечения в направлении Ω в интервале ΔΩс энергией Е в интервале

E.

Напомним также, что произведение сечения j-го взаимодействия i-го ядра с нейтронами σij на плотность i-х ядер γi, и на плотность

потока нейтронов в точке расположения этих ядер позволяет вычислить число реакций j с ядрами типа i, происходящих в единице

Поскольку вероятность взаимодействия нейтронов с ядрами не зависит от ориентации ядра в пространстве (за исключением поляризованных пучков нейтронов), то для вычисления скорости реакций можно использовать плотность потока нейтронов, проинтегри-

рованную по dΩ . Такую функцию часто называют «спектром ней-

чение скорости нейтронов и проинтегрировать по всем скоростям и

а полное количество нейтронов в реакторе можно получить, проинтегрировав (В5) по всему объему реактора:

22

Глава 1. КИНЕТИКА ЯДЕРНЫХ РЕАКТОРОВ

1.1.Нестационарное уравнение переноса нейтронов

иего решения

1.1.1.Общее решение уравнения переноса нейтронов

В соответствующих курсах по физике реакторов выводилось уравнение переноса нейтронов. В наиболее компактной форме это уравнение для одного делящегося нуклида* записывается с помощью операторов

к (1.1) следует добавить уравнения для предшественников запаздывающих нейтронов ci:

где Ф – плотность потока нейтронов; υ – скорость нейтрона; λi – постоянная распада ядер-предшесвенников; ν – количество нейтронов рождающихся в одном акте деления;

β и βi – физические доли запаздывающих нейтронов; fp и fi – нормированные спектры мгновенных и запаздывающих нейтронов деления.

В теории реакторов показано, что нестационарное уравнение переноса нейтронов без источника нейтронов имеет решение:

* При наличии многих делящихся нуклидов в уравнениях (1.2) необходимо принять во внимание наличие различных β для всех делящихся нуклидов. Полагая, что λi и fi для всех нуклидов одинаковы, доли запаздывающих нейтронов надо вычислить, принимая во внимание количество делений каждого нуклида, что,

вообще говоря, можно сделать после нахождения Ф(rG, E,Ω) .

23

Здесь имеется конечное число собственных значений sj, описывающих затухание мгновенной компоненты потока нейтронов. Наличие запаздывающих нейтронов приводит к появлению бесконечных счетных множеств значений sik, сгущающихся около значений постоянных распада эмиттеров запаздывающих нейтронов λi, так

что λi–1 < sik < λi, причем si∞ = λi. Величины s, sj, sik называют декрементами затухания.

Рассмотрим асимптотическое поведение потока нейтронов. Если реактор имеет kэфф < 1, то все значения sj, sik и s отрицательны (по вещественной части), т.е. все гармоники спадают во времени со своими декрементами затухания. Отметим, что при изменении реактивности в реакторе возникает сложный переходный во времени процесс, причем сначала исчезнут гармоники sj (поскольку их собственные числа наибольшие), ответственные за временное поведение мгновенных нейтронов, а среди sik найдется наибольшее (в алгебраическом смысле) вещественное число s0, которое и будет описывать асимптотическое поведение потока нейтронов.

Из физических соображений ясно, что |s0| не может быть больше наименьшей постоянной распада эмиттеров λi. Действительно, если мгновенно в реакторе приостановить цепную реакцию (мысленно это можно сделать, положив ν = 0), то в асимптотической области появление нейтронов будет обусловлено только распадом самых долгоживущих предшественников запаздывающих нейтронов, по-

этому при ρ < 0 (kэфф<1) λмин < |s0|.

Если s0 = 0, то реактор после затухания переходных процессов будет в стационарном состоянии, и это соответствует kэфф = 1 или

ρ= 0.

Внадкритическом реакторе, т.е. при kэфф > 1 (βэфф > ρ > 0), среди sik появляется одно положительное sik, которое в асимптотике описывает экспоненциальный рост мощности реактора.

Основной итог анализа решений нестационарного уравнения переноса нейтронов заключается в том, что после возмущений (изменений реактивности) в реакторе в конце концов (в асимптотике)

24

устанавливается экспоненциальный во времени рост (при kэфф > 1) или спад (при kэфф < 1) плотности потока нейтронов. Показатель экспоненты sо – наибольшее собственное число – однозначно связано с реактивностью реактора. При этом плотность потока нейтронов неизменна по пространственным, угловым и энергетическим переменным. Ее называют собственной функцией асимптотического решения Ф0 (rG, E,Ω) .

1.1.2. Асимптотическое решение нестационарного уравнения переноса нейтронов

Нахождение асимптотической функции Ф0 (rG, E,Ω) и собствен-

ного числа sо осуществляют в рамках квазистационарных задач. Собственные значения асимптотического поведения плотности

потока нейтронов s0 и собственные функции Ф0 можно найти, решая квазистационарное уравнение, которое получим из (1.1), под-

Используем интегральную форму уравнений для сi, которую можно найти из решения дифференциального уравнения (1.1):

После подстановки в (1.1) соотношений (1.6) и (1.7) и несложных преобразований получаем искомое квазистационарное уравнение

В полученном выражении можно пренебречь членом s0Ф0/υ, если kэфф < 1 + βэфф/2. Действительно, в этом случае наибольшее значение sмакс < λмин, где λмин – постоянная распада самого короткоживущего эмиттера запаздывающих нейтронов, а υ > 2 105 см/с, т.е. s/υ во много тысяч раз меньше характерных макроскопических сечений, составляющих величину порядка 1 см-1.

Численное решение уравнения (1.8) позволяет найти асимптотическую плотность потока нейтронов Ф0(r,Ω,Е) и собственное число данного решения s0, смысл которого – изменение во времени по

25

экспоненциальному закону exp(s0t) найденной плотности потока нейтронов. Величина s0 связана с периодом реактора* Те – временем, за которое мощность увеличивается (уменьшается) в е = = 2,7183…раз, Те = 1/s0. Но при этом параметр временного поведения реактора Те не удается связать с его реактивностью.

Множитель в квадратных скобках в (1.8) – это спектральное распределение рождающихся нейтронов и мгновенных и запаздывающих. В случае стационарного состояния s0 = 0, и тогда спектральное распределение рождающихся нейтронов приобретает вид

а стационарное уравнение записывают следующим образом:

1.2. Связь между собственными значениями асимптотического решения и реактивностью.

Формула обратных часов

Для нахождения связи собственных чисел с реактивностью и в дальнейшем получить строгий вывод уравнений кинетики необходимо воспользоваться сопряженным условно-критическим уравне-

(функция ценности нейтронов или ценность нейтронов), индекс «к» означает, что используется решение для условно-критического

* Наряду с периодом реактора Те, раньше использовалось понятие периода удвоения мощности Т2 – время, за которое мощность меняется в два раза. Т2 = Те·ln2.

26

Ценность нейтронов не столь существенно зависит от энергии нейтронов, как плотность потока нейтронов. Если, например, в реакторе на быстрых нейтронах, по сути дела, нет нейтронов с энергиями в сотни электронвольт и ниже, то ценность для этих «несуществующих» нейтронов вполне заметна и сравнима с ценностью нейтронов других энергий.

На рис. 1.1 показаны зависимости ценности и плотности потока нейтронов от энергии нейтронов для реактора на быстрых нейтронах и для реактора на тепловых нейтронах.

а)

б)

Рис. 1.1. Спектральное распределение плотности потока нейтронов, умноженное на энергию нейтронов (а)

иценность нейтронов (б):

1– реактор на тепловых нейтронах; 2 – реактор на быстрых нейтронах

Используя нестационарное уравнение переноса нейтронов и ус- ловно-критическое (квазистационарное) сопряженное уравнение найдем связь в асимптотической (по времени) области между реактивностью и показателем собственной функции s0.

27

Уравнения (1.8) и (1.9) имеют сопряженные операторы Q+ и L+

к операторам Q и L .

Если скалярно умножить уравнение (1.8) на сопряженную функцию Φк+ , а уравнение (1.19) – на решение (1.8) Ф0, проинтег-

где скобки < > означают интегрирование по всем переменным фазового пространства ( rG, E,Ω).

Одно из свойств прямых и сопряженных операторов состоит в

Пользуясь свойством скалярного произведения, можно сократить второй и четвертый члены в (1.11). Далее, добавляя и вычитая

в квадратной скобке последнего члена сумму ∑βi fi , приводим его

его с первым членом (1.11) с учетом (1.12) и получим выражение

которое является общей формой, связывающей наибольшее собственное значение s0 нестационарного описания потока нейтронов и

28

собственное значение kэфф условно-критического представления этого же реактора.

Практически более удобную форму этого соотношения можно получить, если все его члены поделить на скалярное произведе-

при этом реактивность (kэфф – 1)/kэфф выражается через собственное значение s0 и некоторые глобальные параметры, характеризующие кинетику плотности потока нейтронов:

– время генерации нейтронов

– эффективные доли запаздывающих нейтронов

Последние иногда суммируют в «полную эффективную долю запаздывающих нейтронов», определенную во введении, выделяя коэффициент относительной эффективности ξi для каждого из спектров групп запаздывающих нейтронов (по отношению к аналогичному интегральному значению эффективности всего спектра нейтронов деления χ). Поскольку χ и все fi нормированы, смысл такого представления достаточно очевиден:

где аi=βi/β – парциальные доли групп запаздывающих нейтронов. Из соотношений (1.16) и (1.17) становится ясным, что отноше-

ние эффективной доли запаздывающих нейтронов в реакторе к физической доле запаздывающих нейтронов оказывается равным отношению ценности запаздывающих нейтронов к ценности нейтронов деления. Это не очень существенная поправка. Более существенно отличается βэфф реактора от физических долей запаздывающих нейтронов β, когда в реакторе имеются несколько делящихся нуклидов. Например, если в реакторе есть 235U, 239Pu и 238U, у которых β отличаются в несколько раз, то

29

βэфф = (235βэфф235ΣfΦ + 239βэфф239ΣfΦ + +238βэфф238ΣfΦ)/(235ΣfΦ+239ΣfΦ+238ΣfΦ),

где 235ΣfΦ, 239ΣfΦ и 238ΣfΦ – усредненные по всему реактору скорости делений ядер 235U, 239Pu и 238U.

При рассмотрении асимптотического поведения плотности потока нейтронов с учетом запаздывающих нейтронов наибольшее значение s0 обозначают ω0 и тогда период реактора Те =1/ω0=1/s0.

Рабочая формула при определении реактивности по периоду записывается в виде

Это соотношение называют формулой обратных часов. Другой способ определения реактивности по асимптотическому

затуханию потока мгновенных нейтронов (в импульсном эксперименте), т.е. когда s0 = –α0, где α0 – положительный декремент, если иметь в виду подкритический реактор(kэфф < 1), также получает интерпретацию на основе уравнения (1.14) в более строгой форме. Поскольку в условиях импульсного эксперимента запаздывающие нейтроны не успевают появиться, то, полагая в (1.14) λi = 0, получаем форму связи реактивности со значением асимптотического

Здесь связующими величинами также служат параметры кинетики Λ и βэфф, определяемые согласно общим формулам (1.15) – (1.16).

Необходимо только заметить, что при расчете таких параметров решение Φ0 (rG, E,Ω) , фигурирующее в этих формулах, должно быть

взято из уравнения (1.8) при соответствующем значении s0 = ω0 (в одном случае) или s0 = –α0 (в другом). Собственные числа ω0 и α0 являются экспериментально наблюдаемыми величинами, что дает возможность измерения реактивности. Декремент затухания можно получить из (1.19):

30