Казанский Кинетика ядерных реакторов.Коеффициент реактивности 2012

вприближении мгновенного скачка вследствие введения реактивности величиной ρ0 в нулевой момент времени при β = 5·10-3, λ = 0,1 с-1,

Cp = 77·106 Дж/оС, αт = –2·10-5 1/оС, w0 = 1 Вт

231

Одна из адиабатических задач была сформулирована и решена Нордгеймом и Фуксом. Суть этой задачи заключается в оценке важнейших характеристик размножающей системы с отрицательной обратной связью после введения в нее реактивности, превышающей эффективную долю запаздывающих нейтронов, т.е. в анализе аварийной ситуации, когда происходит разгон реактора на мгновенных нейтронах. Поскольку процесс развивается очень быстро (за времена по порядку величин сравнимых со временем жизни мгновенных нейтронов), то можно, во-первых, не принимать во внимание влияние запаздывающих нейтронов (их основная масса не успеет «родиться»), а во-вторых, считать происходящий процесс адиабатическим (за такие короткие времена не произойдет утечки из системы сколько-нибудь заметного количества энергии). Правда, можно было бы предположить, что происходит взрыв реактора, который прекратил бы существование реактора и цепной реакции, но это не столь интересный поворот событий.

Уравнение, связывающее мощность и время в случае пренебрежения влиянием запаздывающих нейтронов, получим из уравнений (5.1), положив все λi равными нулю. Это как раз и соответствует тому условию, что при рассматриваемом процессе запаздывающие нейтроны не успевают принять участие в развитии цепной реакции. В таких условиях уравнение кинетики имеет очень простой вид:

Будем рассматривать гомогенный реактор, теплоемкость которого примем равной Ср. Допустим, что температура растет пропорционально выделившейся энергии (адиабатический процесс) и реактор обладает отрицательным ТКР αт < 0, значение которого не зависит от температуры.

Пусть в нулевой момент времени реактор имеет мощность w0, температуру Т0 и в реактор вводится реактивность ρ0 > βэфф. Зави-

Скорость роста температуры системы будет пропорциональна мощности и обратно пропорциональна теплоемкости. Такая про-

232

Производная реактивности по времени с учетом записанных выше соотношений оказывается пропорциональной мощности:

Таким образом, для описания поведения реактора во времени надо найти решение системы двух линейных дифференциальных уравнений (5.24) и (5.27). Однако его можно получить в достаточно простой параметрической форме, исключив время. В рамках этого подхода будут определены все важнейшие характеристики разгона реактора на мгновенных нейтронах с одной обратной связью по температуре. Разделим левые и правые части уравнения (5.24) на соответствующие левую и правую части уравнения (5.27) и получим уравнение, связывающее реактивность и мощность:

где А и В – постоянные интегрирования.

Если предположить, что сразу после скачка реактивности вели-

чиной ρ0 мощность w ≈ w0, то подставив ρ = ρ0 и w(ρ0) = w0 в (5.29), можно найти, что В = w0+(ρ0–β)2Cp /(2|αт|Λ).

Фазовые траектории w(ρ) для разных значений ρ0 на плоскости w, ρ приведены на рис. 5.6.

Продифференцировав (5.29) или (5.29а) по ρ, легко убедится, что полученная производная обращается в нуль при ρ = β, что соответствует максимуму функции w(ρ) (на это также косвенно указывает (5.24), если подставить dw/dt = 0). Это означает, что рост мощности прекращается, когда в результате обратной связи по температуре «исчезает» избыток реактивности, обеспечивающий надкритичность на мгновенных нейтронах (см. также рис. 5.6).

Из (5.29) следует, что максимальное значение мощности оказывается равным:

233

Можно определить и выделившуюся энергию за время разгона реактора на мгновенных нейтронах: Е = TСp = 2(ρ0 – β)Сp/ αт .

В табл. 5.2. даны рассчитанные по приведенным выше соотношениям максимальное значение мощности, установившаяся температура и обратная величина периода разгона реактора в начальный момент времени в зависимости от введенной реактивности.

Таблица 5.2

Численные значения максимальной мощности, температуры, выделившейся энергии, длительности* вспышки мощности и обратной величины начального периода в зависимости от введенной

в реактор реактивности

Для ВВЭР-1000 предполагалась начальная мощность 100 МВт и приняты следующие значения параметров: αт= –2 10-5 1/°C; β = = 5 10-3; теплоемкость всего реактора Ср = 76.8 106 Дж/°С (объем воды принят равным 13,2 м3); Λ = 5 10-4 (теплоемкость всех материалов внутри бака реактора составляет около 470 МДж/°С).

Для реактора БН-600 также принята начальная мощность равная 100 МВт. Температурный коэффициент принят таким же, как и для ВВЭР-1000, и используются следующие значения остальных параметров: β = 7 10-3; αт= –3 10-5 1/°C; Cp = 17 МДж/°С (принимая во внимание только объем активной зоны и экранов). Теплоемкость материалов всего объема бака около 1000 МДж/°С, Λ = 5 10-6с.

* В качестве оценки длительность вспышки мощности взято отношение E/wmax= = 4/ω0.

235

Заметим, что если тепло мгновенно распространяется на весь бак, то, как следует из формул, приращение температуры не изменится, а максимальная мощность и выделившаяся энергия вырастут настолько, насколько увеличится теплоемкость.

Записанные уравнения можно разрешить и относительно времени. Для этого в решении (5.29а) заменим мощность w на – (dρ/dt)Cp/ αт в соответствии с уравнением (5.27) и получим:

В свою очередь, w(t) можно найти из (5.31), продифференцировав ρ(t) по времени и умножив на –Cp/αт в соответствии с (5.27):

На рис. 5.7 приведены зависимости ρ(t) и w(t), построенные для нескольких значений ρ0 и w0, откуда следует, что чем выше начальный уровень мощности w0, тем быстрее протекают переходные процессы.

Решение уравнения (5.31) при w0 = 0 было получено Нордгеймом и Фуксом во второй половине сороковых годов прошлого века в виде

где wmax определяется по (5.30).

В (5.34) и (5.35) граничные условия выбраны так, что при t = 0 реактивность равна β. Следовательно, в этот момент достигается максимальное значение мощности.

Заметим также, что решения (5.32) и (5.33) совпадают с (5.34) и (5.35) при малых значениях w0 с учетом временного сдвига.

236

Приведенное решение задачи будет неполным, если не принять во внимание запаздывающие нейтроны. Можно считать, что вся выделившаяся мгновенно энергия создала пропорциональное количество предшественников запаздывающих нейтронов, которые будут появляться во времени по экспоненциальному закону и поддерживать некоторое время (минуты) реактор на мощности несколько превышающий начальную.

5.4.Устойчивость реактора

5.4.1.Понятие и условие устойчивости

Рассмотрим поведение мощности реактора после кратковременного его возмущения с последующим снятием этого возмущения. Например, увеличим реактивность на небольшую величину Δρ, например 0,2 β, на время, например две секунды, и по истечении этого времени вернем реактивность к исходному уровню. На рис. 5.8 приведены отклики мощности реактора в зависимости от его состояния и мощностного эффекта, полученные путем совместного численного интегрирования уравнений кинетики с шестью группами запаздывающих нейтронов и уравнения обратной связи с мощностным коэффициентом αw.

Из приведенных зависимостей w(t) следует, что у подкритического реактора на малых уровнях мощности и реактора с отрицательным МКР αw после снятия возмущения мощность возвращается к исходному (до приложения возмущения) уровню. Если после снятия возмущения система возвращается в состояние, близкое к исходному невозмущенному состоянию, то такая система* называется устойчивой.

Если в критический реактор на малых уровнях мощности (αw= 0) ввести реактивность, а потом вернуть реактор в точно критическое состояние, то его мощность стабилизируется на новом уровне в общем случае отличном от начального. Это – так называемое безразличное состояние равновесия, когда переменная, определяющая

* В теории устойчивости различают устойчивость состояний равновесия и устойчивость процессов. Строго говоря, здесь идет речь об устойчивости состояния равновесия. Как правило, для практики эти понятия можно не разделять.

238

состояние системы, может принять любое значение после снятия возмущения. Заметим, что обратный период реактора ω0 = (dw/dt)/n при этом устанавливается равным нулю, т.е. по отношению к обратному периоду как переменной состояния можно говорить, что реактор нулевой мощности вблизи критического состояния устойчив.

Рис. 5.8. Переходные процессы подкритического (ρ0 < 0; q0 > 0; αw = 0), критического на малых уровнях мощности (ρ0 = 0; q0 = 0; αw = 0), критического с отрицательным мощностным коэффициентом (ρ0 = 0; q0 = 0; αw < 0) и критического реактора с положительным мощностным коэффициентом

(ρ0 = 0; q0 = 0; αw > 0)

В то же время, если мощностной эффект положительный (αw > 0), то после снятия возмущения по реактивности мощность реактора продолжает увеличиваться, и реактор без внешнего вмешательства уже не вернется в исходное состояние. Такой ректор является неустойчивым. Им крайне трудно управлять, а в определенных условиях – невозможно.

На первый взгляд (см. рис. 5.8) кривые w(t) наводят на мысль, что для устойчивости реактора с одним эффектом реактивности достаточно отрицательности его коэффициента, т.е. чтобы рост

239

мощности сопровождался вводом отрицательной реактивности. Однако, как будет показано ниже, условие αw < 0 даже при одной обратной связи является только необходимым, но не достаточным.

В качестве примера рассмотрим некий реактор, у которого выражен отрицательный эффект реактивности по воде, а по топливу практически отсутствует (αт = 0). Пусть в исходном состоянии реактор находится в состоянии равновесия на стационарном уровне мощности. Выведем его из этого состояния путем ввода положительной реактивности 0,2β в течение с 1-й по 3-ю секунду и понаблюдаем за изменением мощности. На рис. 5.9 приведены рассчитанные переходные процессы путем совместного решения уравнений кинетики в 6-групповом приближении (5.1), обратной связи (5.3) и теплообмена (5.4), (5.5) методом Рунге–Кутта 4-го порядка.

Рис. 5.9. Переходные процессы реактора в зависимости от температурного коэффициента по воде и ее расхода через активную зону при mт = 1500 кг, mв = 2000

кг, Ст = 316 Дж/(кг·К), Св = 4200 Дж/(кг·К), Kт = 2500 Вт/К:

1 – устойчивый реактор при αв= –0,001 β/К, Gв = 6 кг/с;

2 – устойчивый реактор при αв = –0,01 β/К, Gв = 6 кг/с;

3 – неустойчивый реактор при αв = –0,1 β/К, Gв = 6 кг/с;

4 – устойчивый реактор при αв = –0,1 β/К, Gв = 59 кг/с

240