Скорость звука и критические параметры

Скоростью звука называется скорость распространении в среде малых возмущений. Возмущение называется малым или слабым, если вызванные им изменения параметров газа значи­тельно меньше, чем абсолютные значения самих параметров: ; .

Рис. 13.4. Направление газа

В пределах дозвуко­вой волны давление меняет свой знак с «+» на «-» (относитель­но давления невозмущенной среды).

Чем более упругая среда, тем быстрее передается изменение давления от фронта звуковой волны в направлении ее движения, тем больше скорость звука. Следователь­но, скорость звука является неко­торой характеристикой сжимаемости среды, она показывает, каково соотношение между изменением плотности и изменением давления, вызывающем изменение плотности. В 1867 г. И.Ньютон предложил для расчета скорости звука в газах уравнение

. (13.21)

Для того чтобы им пользоваться, нужно знать для каких условий следует вычислять производную . Первоначальное предположение, что процесс распространения звука в газе происходит в изотермических условиях , откуда , не подтвердилось прямыми измерениями ( ). Причина этого расхождения била установлена Лапласом, который отметил, что поскольку звуковые колебания в среде распространяются очень быстро, то сколько-нибудь заметного теплообмена между зонами разряжения и сжатия звуковой волны и окружающей средой не успевает произойти, поэтому колебания среды при распространении звуковой волны можно считать адиабатными и изоэнтропными. Т.е. связь между параметрами в пределах звуковой волны подчиняется адиабатному закону .

Поэтому производную, стоящую в уравнении (13.21), следует брать при условии , т.е. - уравнение Лапласа.

Выразим скорость звука через параметры рассматриваемой среды, опираясь на условие адиабатной связи между параметрами в звуковой волне или .

Продифференцируем последнее выражение, получим или . Следовательно, скорость звука определяется по формуле и для идеального газа, с учетом уравнения Клапейрона

. (13.22)

Из формулы следует, что скорость звука возрастает с увеличением температуры, причем коэффициент пропорциональности различен для разных идеальных газов (различные k и R).

Следует также заметить, что поскольку , где μ - молекулярная масса газа, то скорость звука в газе тем больше, чем меньше молекулярная масса этого газа.

Для реальных газов скорость звука зависит не только от температуры, но и от давления.

Таблица 13.1

Скорость звука в газах при температуре 20°С

Газ	μ	R	k	a , м/сек
Водород	2,016	4124	1,41	1305
Гелий	4,003	2077	1,66	1005
Водяной пар	18,016	461,4	1,33	424
Азот	28,016	296,8	1,40	349
Воздух	28,960	387,0	1,40	3i3
Кислород	32,000	259,8	1,40	327
Двуокись углерода	44,010	188,9	1,31	269
Фреон-12 (CCl2F2)	120,920	69,28	1,14	152

Отношение скорости потока к местной скорости звука в нем называется числом Маха (по имени австрийского физика Э.Маха) .

При М < 1 поток дозвуковой; при М = 1 поток звуковой; при М > 1 поток сверхзвуковой.

Помимо этой безразмерной величины в газодинамике часто употребляется понятие относительной скорости ,обозначаемой также , .

Другая безразмерная скорость .

В практических расчетах используют ту скорость, которая позволяет получить самые простые уравнения.

Поскольку скорость распространения звука в идеальном газе зависит только от его физических свойств и температуры, а температура пропорциональна средней кинетической энергии беспорядочного движения молекул, то отношение квадратов скоростей является мерой отношения средней кинетической энергии упорядоченного движения к средней кине­тической энергии их беспорядочного движения. Температура газа изменяется с изменением скорости его движения. Величину этого изменения легко установить с помощью уравнения энергии газового потока .

Если в конечном сечении поток затормозить , то , где - энтальпия заторможенного потока.

Поскольку для идеального газа с постоянной теплоемкостью , а , то можно записать .

Здесь - параметры торможения газа. Отсюда

или .

Видно, что при полном торможении потока температура торможе­ния имеет одно определенное значение, в то время как и могут принимать любые значения, совместимые с постоянст­вом отношения .

В идеализированном случае, когда параметры потока в сечении 2 трубки тока соответствуют полному вакууму , скорость течения будет стремиться к максимальной скорости и тогда .

Этот случай противоположен случаю полного торможения потока. При максимальной скорости течения вся энергия теплового движения молекул превращается в энергию упорядоченного движения. С приближением к (а - соответственно к нулю) разрежение газа становится все большим и поэтому к такому газу нельзя применять уравнение состояния идеальных газов и уравнение энергии в нашем виде.

Скорость газа, равную скорости распространения звука в нем (в данном месте), называют критической .

В этом случае .

Можно получить отношение критической температуры к температуре торможения .

Для данного газа эта величина постоянна, так что постоянна во всех точках адиабатного течения.

Воспользовавшись уравнением адиабаты, получим аналогичные соотношения для давлений и плотностей ; .

Для воздуха .

Скоростным напором называют увеличение давления при торможении потока

Динамическим напором называют величину ,

где - давление адиабатного торможения. Отношение динамического напора к скоростному называют коэффициентом давления .

Проанализируем теперь изменение состояния газа внутри трубки тока переменного сечения при течении от входного сечения к выходному. Примем, что газ является идеальным, а течение его изоэнтропное. Уравнения изоэнтропного течения газа могут быть записаны в дифференциальной форме.

Уравнение неразрывности после дифференцирования имеет вид .

Поделив обе части на , получим или

. (13.23)

Уравнение адиабаты , откуда

. (13.24)

Из уравнения (13.17) ; или после деления на

(13.25)

Подставив значения и в уравнение (13.23), имеем .

В этом уравнении , следовательно,

(13.26)

- уравнение Гюгонио.

Иногда записывается в виде выражений

или .

Из этой зависимости можно сделать следующие выводы:

1. Для несжимаемой жидкости (М = 0) уменьшение площади сечения приводит к пропорциональному увеличению скорости.

2. При дозвуковых скоростях сжимаемого газа (М = 01) с уменьшением площади сечения скорость увеличивается, но в большей степени, чем для несжимаемой жидкости, так как знаменатель в правой части меньше единицы.

3. При сверхзвуковых скоростях знаменатель в правой части становится отрицательным и увеличение скорости может происходить лишь за счет увеличения сечения. Это обусловлено тем, что при сверхзвуковых скоростях плотность уменьшается быстрее, чем увеличивается скорость, так что для сохранения условия неразрывности потока сечение должно увеличиваться.

4. При числах Маха, близких к единице, поток очень чувствителен к изменению сечения, так как знаменатель в правой части очень мал.

Из сказанного следует, что при непрерывном увеличении скорости газа от нуля до сверхзвуковой трубка тока должна сначала сужаться (в дозвуковой части), а затем расширяться (в сверхзвуковой части). Следовательно, критических сечением трубки (т.е. сечением, соответствующим М = 1) может быть только ее наименьшее сечение – горловина. Заметим, что обратное утверждение неверно, т.е. в наименьшем сечении число Маха не обязательно равно единице. В случае, когда М = 1, в наименьшем сечении оказывается dw = 0, т.е. скорость достигает здесь максимума или минимума в зависимости от того, является ли сечение дозвуковым или сверхзвуковым.

Символически сущность уравнения (13.26) можно выразить следующей схемой, из которой видно, что один и тот же канал может работать и как конфузор и как диффузор, в зависимости от того, дозвуковая скорость на входе в него или сверхзвуковая.

Рис. 13.5. Работа канала