13. Термодинамика потока газа. Основные понятия и уравнения гидрогазодинамики

Теория течения газового потока является основой для расчета газовых турбин, компрессоров, реактивных двигателей, энергетических установок и т.д. Эта теория называется га­зовой динамикой и составляет самостоятельную дисциплину, выходящую за рамки термодинамики. В ней исследуются законо­мерности течения многомерных газовых потоков с учетом теплообмена, трения, совершения работы и т.п. Мы рассмотрим лишь простейший случай, полагая, что:

1. Течение газового потока одномерное, т.е. скорость пото­ка во всех точках поперечного сечения канала – величина постоянная.

2. Течение газового потока стационарное, т.е. параметры газо­вого потока во времени не изменяются.

3. Течение газового потока термодинамически равновесное, т.е. изменения параметров движущегося газа от сечения к се­чению бесконечно мало по сравнению со значениями самих параметров и параметры газа в различных сечениях потока устанавливаются быстро.

4. Течение газового потока адиабатное, т.е. без подвода и отвода тепла.

На основе принятых допущений стационарное течение га­за описывается системой уравнений, в которую входят уравне­ния неразрывности, энергии (первого закона термодинамики) и состояния газа, движение которого изучается.

Если при теплоизолированном течении газа отсутствуют силы трения, то течение будет изоэнтропным и состояние газа меняется по закону адиабаты. Мы рассмотрим изоэнтропное течение газа. Оговорим ряд условных понятий. Так, трубкой тока называют элемент потока с условно твердыми стенками, внутри которого в каждом сечении газ имеет одинаковые пара­метры состояния, а значит, и скорости. Стенки трубки нетеплопроводные и трение между ними и соседними частицами потока отсутствует. Закономерности течения газа относят к потоку внутри трубки, называемому элементарной струйкой.

Уравнение неразрывности

Выражает закон сохранения массы. Если движение газа через канал установившееся, то через каждое сечение канала в единицу времени протекает одно и то же количество газа.

Рис. 13.1. Движение газа через канал

Для этого случая при определенной скорости газа в каждом сечении канала расход газа равен

, (13.1)

где - секундный массовый расход газа; и , - расходные скорости в соответствующих попереч­ных сечениях; и - удельные объемы в тех же сечениях.

Постоянство массового расхода для всех сечений канала в каждый момент времени устанавливает условие неразрывности струи, поэтому уравнение (13.1) называют уравнением неразрывности или сплошности.

Уравнение энергии – уравнение первого закона термодинамики

Для рассматриваемого процесса течения газа через канал уравнение первого закона термодинамики для кг газа имеет вид

, (13.2)

где - элементарное количество теплоты, подводимое или отводимое от газа на рассматриваемом участке движения; - изменение внутренней энергии газа в соответствую­щих сечениях; - элементарная работа газа против внешних сил; - приращение кинетической энергии газа при его перемещении на выделенном участке; - элементарная работа против сил тяжести (в газах ей можно пренебречь).

Работа газа против внешних сил в движущемся газе является работой, затраченной на его проталкивание.

Рассмотрим поток газа в канале при одно­мерном течении. Выделим сечениями I-I и П-П некоторую массу газа. Притекающий к сечению I-I поток выполняет функцию поршня, который вытесняет заполняющий канал газ. На выде­ленную массу в канале действует слева сила , a справа – сила . Работа перемещения, учитывая принятые в термодинамике знаки работ, равна

. (13.3)

После сокращения и отбрасывания малых величин второго и высшего порядка получим

(13.4)

или

. (13.5)

Т.к. по уравнению неразрывности и, учитывая то, что расход есть величина постоянная, в сплош­ной среде получим

. (13.6)

Относя работу против внешних сил к 1 кг газа, имеем

. (13.7)

Величина pdv представляет собой элементарную работу, которую перемещающийся объем газа совершает в резуль­тате деформации под действием равномерно распределенного давления.

Второе слагаемое vdp определяет элементарную рабо­ту, произведенную перемещающимся объемом газа при условии, что выделенная масса газа несжимаема.

Подставляя работу против внешних сил в уравнение первого закона термодинамики, записанное для I кг газа, имеем

. (13.8)

Как известно , следовательно

. (13.9)

Это основное выражение первого закона термодинамики для потока газа или пара, причем оно справедливо, как для обратимых, не сопровождающихся действием сил трения, так и для необратимых течений, сопровождающихся трением. Урав­нение (13.9) показывает, что теплота, сообщаемая движущему­ся газу, расходуется в двух направлениях: на приращение энтальпии газа и на приращение внешней кинетической энергии, т.е. идет на увеличение скорости газового потока.

Для течений при наличии сил трения уравнение (13.9) долж­но быть дополнено двумя членами: один, учитывающий работу, расходуемую на преодоление сил трения - , другой, выражающий приращение теплоты в газовом потоке вследствие трения, - . Т.к. работа против сил трения полностью переходит в теплоту, то эти два члена одинаковы по величи­не, имеют различный знак и поэтому взаимно уничтожаются. Таким образом, наличие сил трения не может нарушить общего баланса энергии.

При адиабатном течении газа ( ), имеем ,

. (13.10)

При теплоизолированном стационарном течении газа через канал сумма удельной энтальпии и удельной кинетической энергии сохраняет постоянное значение.

Т.е. увеличение скорости (dw > 0) обязательно сопровождается уменьшением его энтальпии и, следовательно, температуры (di < 0, dT > 0). Торможение газа, т.е. уменьшение скорости (dw < 0), приводит к увели­чению энтальпии (di > 0) и росту температуры (dT > 0).

Уравнение (13.9) так же как и (13.10), сохраняет силу как для обратимых, так и для необратимых течений, Они справедли­вы лишь в том случае, когда газ при своем движении соверша­ет работу расширения и не производит полезной (технической) работы (например, вращение рабочего колеса турбины). При совершении потоком технической работы (13.8) должно записываться в виде

.(13.11)

При совершении потоком технической работы работа деформации при расширении отдается внешнему потребителю, тогда как в каналах она воспринимается соседними элементами и изме­няет их кинетическую энергию, Из сравнения (13.11) с уравнением первого закона термодинамики dq = du + pdv, записан­ного для выделенного элемента потока, который деформируется, но не перемещается, получим в интегральной форме

. (13.12)

Из этого уравнения видно, что величина складывается из работы деформации, разности работ вытеснения на входе и выходе из машины и разности кинетических энергий в машине.