17. Математические машины и цепи маркова

Многие реальные системы можно характеризовать, выделяя различные состояния, в которых они могут находиться, и задавая их реакции на поступление произвольных входных воздействий при нахождении систем в любом заданном состоянии. Как правило, реакция системы проявляется в форме перехода из одного состояния в другое и формирование соответствующего выходного сигнала. Формализация предыдущей идеи приводит к понятию математической машины.

Последние работы по теории математических машин (называемой иногда теорией автоматов) как будто бы имеют мало общего с глубокими исследованиями Гёделя, Тьюринга и других специалистов по математической логике.

Новые теории в основном опираются на элементарные теоремы, но тем не менее приводят к трудным комбинаторным задачам., которые, вероятно, удобно решать методами теории графов.

Определение. Машина есть математическая система, которая состоит из:

1. конечного множества S={s1,…, sm} элементов, называемых состояниями,

2. конечного множества X={x1,…, xn} элементов, называемых входами,

3. конечного множества Y={y1,…, yk} элементов, называемых выходами,

4. функции перехода Т, которая отображает S*X на S,

5. функции перехода Ω, которая отображает S*X на Y,

Если s принадлежит S и x принадлежит X, то s`=Т(s,x) интерпретируется как следующее состояние, в которое попадает машина из текущего состояния s при воздействии входного сигнала x. Множества X и Y называются соответственно входным и выходным алфавитом (хотя, природа их элементов существенно изменяется в зависимости от рассматриваемых задач).

Машины, соответствующие данному определению, можно классифицировать по нескольким признакам. Во-первых, они являются детерминированными, так как их выходной сигнал и следующее состояние полностью определяются входным сигналом и текущим состоянием. Далее, такие машины являются последовательностными, так как входные сигналы подаются в дискретные моменты времени t1, t2, t3, а не непрерывно. Они являются полными, т.е. каждая комбинация состояния и входного сигнала (входа) имеет смысл и дает известный выходной сигнал (выход) и новое состояние. Они не имеют памяти в том смысле, что текущий выход и следующее состояние не зависят от прошлых входов, состояний или выходов. Наконец, они стационарны в том смысле, что функция переходов Т и функция выхода Ω не зависят от рассматриваемого момента времени. Изменив некоторые или все из названных предположений, можно получить определение машины более общего вида.

Иногда машину удобно изображать ориентированным графом, вершины которого соответствуют состояниям, а дуги характеризуют X,Y,T и Ω.

Сказанное проще всего пояснить на примере. Рассмотрим машину для которой

S={s1, s2, s3, s4}, X={0,1} и Y={a,b,c}.

Одна из возможных машин с множеством состояний S и алфавитами X и Y представлена в виде графа рис. 1.

Рис. 56.

Каждая вершина соответствует одному состоянию. Начальная вершина инцидентна точно двум дугам (в общем случае к дугам, где к – число различных входов). Если некоторая дуга идет из вершины s в вершину s` и ей соответствует упорядоченная пара (x, y), то T(s, x)=s`, (s, x)=y. Например, если текущее состояние s3, то вход 0 даст выход b и переведет систему в состояние s4. С другой стороны, вход 1 дает a и система останется в состоянии s3. (Практически число дуг можно уменьшить, помечая некоторые дуги несколькими упорядоченными парами, если несколько входов дают одно и то же следующее состояние.)

Отдельные состояния и множества можно классифицировать по структурным признакам соответствующего графа. Например, машина называется сильно связной, если ей соответствует сильно связный граф. Независимо от начального состояния s такую машину можно всегда перевести в любое другое состояние s` с помощью соответствующей последовательности входов ( не обязательно за один шаг). Состояние s называется переходным, если из соответствующей ему вершине выходит, по крайней мере, одна дуга (s, t), где ts, и если эта вершина не является конечной ни для одной дуги (u, s), где us. Например, s1 – переходное соcтояние. Состояние s1, которому соответствует вершина, являющаяся конечной, по крайней мере, для одной дуги (t, s), где ts, и не являющаяся начальной ни для одной дуги (s, u) где su, называется устойчивым. (Рассматриваемая машина не имеет отдельных устойчивых состояний. Однако состояние s2, s3 и s4 совместно образует в соответствующем смысле устойчивое множество состояний).

При заданном начальном состоянии s и произвольной ленте или конечной последовательности входов с помощью графа можно легко определить результирующее конечное состояние s` (после t переходов) и соответствующую выходную последовательность y1,…,yt. Например, если в текущий момент машина находиться в состоянии s1 и следующие пять входов равны 1, 1, 0, 1, 0, то она последовательно перейдет в состояние s3, s3, s4, s2, s3 и выходные сигналы будут равны c, a, b, a, a.

Отметим следующие классы задач, существующие в теории абстрактных машин.

1. Анализ реакции (переходов и выходов) заданной машины.

2. Синтез машины с заданными характеристиками реакций.

3. Приведенные машины к более простой в некотором смысле эквивалентной форме.

Более подробное рассмотрение вопросов, связанных с теорией абстрактных машин, читатель может найти в работах Жилля и Гинзбурга. В данном случае нам хотелось лишь подчеркнуть, что одним из удобных способов представления таких машин являются ориентированные графы с соответствующей символикой. В частности, их удобно использовать для классификации машин и некоторых видов их анализа.

Идея марковской цепи в некотором смысле является вероятностным аналогом абстрактных детерминированных машин. Здесь снова мы имеем систему, которая может находиться в одном из конечного числа состояний и изменять состояния в дискретные моменты времени. Однако при этом переходы не зависят от управляемых входов, а определяются распределениями вероятностей. Выходные переменные в данном случае отсутствуют. Наибольший интерес в такой модели представляет распределение вероятностей состояний как функция времени при заданном начальном состоянии.

Цепь Маркова формально можно определить как систему, которая состоит из:

1. конечного множества S={s1,…,sn} элементов, называемых состояниями,

2. nn – матрицы переходов P={piJ}, где piJ – вероятность того, что в следующий момент наблюдения система будет находиться в состоянии sj при условии, что в текущий момент она находиться в состоянии si. Конечно, требуется, чтобы выполнялось соотношение

(I = 1,2,…,n).

Определенная таким образом цепь Маркова называется иногда стационарной (или независящей от времени), в отличии от цепи Маркова более общего вида, в которой вероятности переходов могут быть функциями времени.

Цепи Маркова соответствует ориентированный граф. Вершины графа определяются состояниями цепи. Каждой дуге из si в sj поставлено в соответствие число pij в случае pij>0 (т. е. В случае, когда возможен одношаговый переход из si в sj). Граф цепи Маркова с пятью состояниями показан на рисунке 2. Если текущее состояние системы s2, то она переходит в состояние s3, s5 или остается в s2 с вероятностями 0,2; 0,3 и 0,5 соответственно. Другие дуги интерпретируются аналогично.

Качественную классификацию состояний или множеств состояний можно провести на основе структурных свойств графа без учета конкретных значений вероятностей (различаются только нулевые и ненулевые вероятности). Например, множество состояний Т S называется поглощающим, если ориентированный разрез {T, S-T} является пустым

Рис. 57

(т.е. из состояний в Т нельзя попасть ни в какие другие состояния, не принадлежащие Т). В частности, отдельное состояние является поглощающим тогда и только тогда, когда pij = 1. Цепь Маркова называется эргодической, если соответствующий граф сильно связан. Таким образом, эргодическая цепь это такая цепь, для которой при любом текущем состоянии si существует ненулевая вероятность достижения любого другого

Рис. 58.

состояния за соответствующее число шагов (переходов). Эргодическая цепь называется регулярной, если существует положительное целое число t0 такое, что для любых состояний si и sj ( возможно i=j ) есть путь из vi в vj, имеющий в точности t дуг для всех t t0. Цепь на рис. 3 а), например, является эргодической, но нерегулярной. (Действительно, если начать, скажем, с s1, то можно оказаться в s3 только после четного числа шагов). В отличии от неё, цепь рис. 3 b) регулярна.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Данное пособие восполняет имеющиеся пробелы в учебной литературе по курсу дискретной математики.

Издание рекомендуется для работы студентов при самостоятельном изучении теоретического материала, на практических занятиях в качестве справочного пособия, а также при выполнении типовых расчетов и подготовки к зачетам и экзаменам, предусмотренных учебными планами по указанной дисциплине.

Пособие поможет более глубокому и полному усвоению студентами ученого материала раздела теории графов и будет способствовать эффективной организации учебного процесса по этой дисциплине.