15. Сигнальные графы

15.1. Общие представления о сигнальных графах

Сигнальный граф – это направленный граф прохождения сигналов, графически изображающий систему уравнений который описывает реальную физическую систему. В частности, в качестве такой системы может рассматриваться электрическая цепь. Вершинам сигнального графа соответствуют

1. неизвестные величины, входящие в физическую систему

2. величины, характеризующие внешнее воздействие на систему.

Дуги сигнального графа отображают причинно-следственные связи между этими величинами. Указанные величины называются сигналами. Каждой дуге сигнального графа приписывается весовой коэффициент, который называется передачей дуги.

x_i a_ij x_j

Если дуга (i, j) имеет передачу a_i,j, то

x_j=a_ijx_i где x_i, x_j – сигналы i-ой и j-ой вершин соответственно. Следовательно, при прохождении через дугу сигнал уменьшается на передачу дуги. Решая уравнение относительно x_i получим x_i= x_i 1/a_ij x_j

Т.е. сигнальный граф, соответствующий последнему уравнению отличается от предыдущего направлением передачи дуги. Таким образом, вид сигнального графа зависит от того, относительно какой из величин разрешено задание уравнения, т.е. от того, какая из величин рассматривается как причина , а какая как следствие.

Если в k вершине сходиться несколько дуг, то значение сигнала в этой вершине будет равно сумме сигналов всех входящих в него вершин, т.е. x_k= , где N_k – число дуг направленных к k вершине.

где a_ik – передача (i,k) дуги.

x₁ x₂

x_k

x_n

Рис. 42.

В число дуг, направленной к рассматриваемой вершине, могут входить дуги, начинающиеся в этой же вершине. Значение сигнала в вершине, имеющей петлю находиться по правилу x_j=a_ijx_i+a_ijx_j

a_ij

x_i a_ij x_j

Рис. 43

т.е. при наличии петель, сигнал соответствующей вершины входит в левую и правую части уравнения.

Истоком сигнального графа является вершина, от которой направлены все примыкающие к ней дуги. Вершина сигнального графа, к которой направлены все примыкающие к ней дуги является стоком. Вершины, которые имеют входящие и исходящие дуги, называются смешанными. Если сигнал, какой-либо вершины сигнального графа не выражается через сигналы других вершин, то такая вершина называется независимой. Если сигнал какой-либо вершины сигнального графа выражается через сигналы других вершин, то такая вершина называется зависимой. К независимым относятся истоки, а к зависимым – стоки и смешанные вершины. Очевидно, уравнения передачи могут быть составлены только для зависимых вершин.

Передачей пути P_ij называется произведение передач дуг, образующих путь между i и j вершинами. Произведение передач всех дуг, входящих в контур j называется передачей контура L_j.

Дуги, исходящие из одной вершины и входящие в другую вершину, называются параллельными.

Два контура или контур и путь называются соприкасающимися, если они имеют общие вершины. В противном случае, они называются несоприкасающимися. Таким образом, каждому сигнальному графу можно однозначно поставить в соответствие систему линейных алгебраических уравнений, составленных относительно сигналов зависимых вершин.

Для решения обратной задачи, т.е. построение сигнального графа, соответствующего заданной системе уравнений необходимо привести эту систему к причинно-следственной форме. Для этого каждое из входящих в систему уравнений должно быть разрешено относительно одной из переменных (различного для каждого из уравнения). Затем определяется общее число вершин N, которое равно сумме числа неизвестных переменных и числа ненулевых свободных членов уравнений. Построение графа начинается с нанесения точек, соответствующих вершинам. Затем вершины графа соединяются между собой дугами так, чтобы сумма сигналов все дуг, сходящихся в вершине, равнялись бы значению сигнала в этой вершине.

Обычно с целью повышения наглядности истоки располагают в левой части чертежа. Стоки – в правой, а остальные вершины между ними. В каждой системе уравнений можно поставить в соответствие некоторые множества сигналов графов, которые называются равносильными.