7.2. Векторные пространства, связанные с графами

Рассмотрим алгебраическую систему Z₂=({0, 1}; ,) с двуместными операциями кольцевого сложения  и умножения , задаваемых правилами 00=0, 11=0, 10=1, 01=1, 00=0, 01=0, 10=0, 11=1.

Пусть G=(V, E) – связный неорграф с n вершинами и m ребрами (e₁, e₂,…,e_m). Произвольному множеству ребер AE взаимно однозначно соответствует вектор , компоненты которого определяются по правилу:

Если имеется вектор , то сложение векторов определяются по правилу:

.

Произведение вектора на элемент {0, 1} определяется следующим образом :

λ =(a₁,,λa₂,…,λa_m).

Множество векторов {0, 1}^m с операциями сложения  и умножения  на элементы Z₂ образует линейное пространство над полем Z₂. Это пространство обозначается V_m(Z₂).

Заметим, что сложение  векторов и соответствует кольцевой сумме множеств ребер A и B, представляемых этими векторами. Т.е. сумме  соответствует множество .

Внутреннее произведение векторов и определяется соотношением ( , )= a₁b₁  a₂b₂ … a_mb_m.

Равенство ( , )=0 означает, что число произведений a_ib_i, равных единице, чётно. Для таких произведений a_i=1, b_i=1, и, следовательно, соответствующие векторам и множества ребер A и B имеют четное число общих ребер.

Множество ребер А называется границей (кограницей), если А есть объединение множества ребер некоторых циклов (коциклов), из которых любые два множества не имеют общих ребер. Заметим, что кольцевая сумма A₁  А₂ границ (кограниц) А₁ и А₂ также является границей (кограницей). Следовательно, множества V_Г={ | соответствует некоторой границе} и V_К={ | соответствует некоторой когранице} образуют линейные подпространства пространства V_m(Z₂).

Теорема 1. Если {C₁,C₂,…,C_m-n+1} – фундаментальное множество циклов связного графа G, то множество векторов , соответствующих фундаментальным циклам, образует базис подпространства границ V_Г.

Теорема 2. Если {K₁, K₂, …, K_n-1} – фундаментальное множество коциклов связного графа G, то множество векторов соответствующих фундаментальным разрезам, образует базис подпространства кограниц V_К.

Следствие 1. Размерность V_Г. равна цикломатическому числу =m-n+1, а размерность V_К равна корангу ^*=n-1.

Следствие 2. Любой цикл (коцикл) в графе можно представить в виде кольцевой суммы некоторых фундаментальных циклов (разрезов).

Два подпространства V₁ и V₂ векторного пространства V_m(Z₂) называется ортогональными (V₁V₂), если для любых векторов V₁ и V₂, справедливо равенство ( , )=0. В частности, для любых векторов B_Г и B_К справедливо ( , )=0. Так как множества B_Г и B_К образуют базисы подпространств V_Г и V_К, то V_Г V_К.

Заметим, что матрица фундаментальных циклов C образована векторами, соответствующим  фундаментальным циклам, а матрица фундаментальных разрезов K образована векторами, соответствующими ^*=n-c фундаментальных разрезов (коциклов). Следовательно, при умножении матрицы фундаментальных циклов С на транспонированную матрицу фундаментальных разрезов K^T в поле Z₂ строка умножается на столбец по правилу внутреннего умножения. Так как ( , )=0, то это означает, что СK^T=0, а также KC^T=0.