16. Переключательные сети (схемы)

Рассмотрим граф без петель G=(V,E), каждому ребру е_i которого поставлена в соответствие переменная x_i , принимающая значение только 0 или 1. Такой граф может считаться математической моделью множества взаимосвязанных физических устройств, например ключей, каждый из которых может быть в любом из двух состояний: включенном (x_i=1) или выключенном (x_i=0). Пусть v₁ и v₂ – две различные фиксированные вершины G. Исходный граф вместе с переменными {x_i} называется переключательной схемой (сетью), а v₁ и v₂ считаются её конечными точками (терминалами).

Если в сети существует n ребер (т.е. ключей) и Х=(x₁,x₂,…,x_n) есть некоторая комбинация значений переменных, то рассматриваемая сеть будет замкнутой относительно Х тогда и только тогда, когда множество ребер, для которых x_i=1, образует элементарную сеть, соединяющую v₁ и v₂ . В противном случае говорят, что сеть замкнута относительно Х. (Другими словами, сеть замкнута относительно Х тогда и только тогда, когда v₁ и v₂ лежат в одной и той же компоненте подграфа, определённого ребрами, для которых x_i=1).

Р

Рис. 53

ассмотрим, например, пере­ключательную сеть рис. 1. Множество переменных переключения, соответ­ствующих элементарным цепям, соединяющим v₁ и v₂ , есть ((1,4,5), (1,4,6,7), (1,3,6,5), (1,3,7), (2,7), (2,6,5), (2,3,4,5)), где цифры совпадают с индексами переменных. Векторы Х=(x₁,x₂,…,x₇), для которых сеть замкнута, являются в точности теми векторами, которые имеют 1 в каждой позиции, соответствующей одной из элементарных цепей, и произвольные значения в других позициях.

Переключательная функция f(X) данной переключательной сети N с n ключами определяется на 2ⁿ возможных значениях Х следующим образом:

До сих пор мы неявно предполагали, что x_i не зависит от x_j при , т.е. что все n ключей управляются независимо друг от друга. Если это не так, то не все 2ⁿ значений Х являются допустимыми. Предположим, что в предыдущем примере

Тогда цепь, определяемая индексами (2,6,5), не может быть замкнутой, так как x₂ и x₆ не могут быть одновременно равны 1. Аналогично цепь (1,3,7) замкнута всякий раз, когда

x₁=x₃=1,

так как в этом случае мы обязательно имеем x₇=1.

Возникает следующая общая задача. Сформулировать условия, при которых может быть найдена переключательная сеть, реализующая заданную переключательную функцию f(X) от m независимых переменных (x₁,…,x_m).

Любая переключательная функция может быть реализована достаточно большой сетью, каждая переменная которой равна одной из m независимых переключательных переменных или её дополнению. Например, если m=3 и f(X)=1 для следующих значений Х:

	x1	x2	x3
X1	1	0	1
X2	1	1	0
X3	0	1	1
X4	0	0	1

то сеть рис. 2, очевидно, реализует заданную переключательную функцию. К сожалению, высокая степень избыточности, возникающая при таком способе построения цепи, как правило, недопустима.

Рис. 54

Естественно стремиться использовать наименьшее количество ключей (в лучшем случае m). В предыдущем примере, при m=3, существует только три различных представляющих интерес конфигурации, которые показаны на рис. 3.

Рис 55

Они не обеспечивают достаточного разнообразия структур для реализации всех 2⁸ возможных переключательных функций при сравнительно небольшом числе ключей. Например, в работе [64] для решения этой задачи используются свойства фундаментального цикла и матриц разрезов, рассмотренные в главе 5. Показано, что задача реализуемости переключательной функции связана с задачей реализуемости матрицы циклов соответствующего графа с помощью заданной матрицы.