9.3. Доминирующие множества

Задача о наименьшем покрытии (ЗНП) является примером общей экстремальной задачи, к которой прямо или косвенно сводятся практические задачи. Эта задача может быть сформулирована в терминах доминирующего множества.

Определение. Для графа G(V,E) множество вершин SV называется доминирующим множеством, если для любой вершины vV либо vS, либо существуют вершина sS и ребро (S,V).

Доминирующее множество называется минимальным, если его подмножество не является доминирующим. Доминирующее множество называется наименьшим, если число элементов в нем минимально.

Пример: Задача о пяти ферзях. Расставить их на шахматной доске так, чтобы они били всю доску. Это задача об отыскании наименьших доминирующих множеств.

Доминирование тесно связано с вершинной независимостью.

Теорема. Независимое множество вершин является максимальным тогда и только тогда, когда оно является доминирующим.

Независимое доминирующее множество вершин называется ядром графа.

Рассмотрим задачу. Пусть каждый вершине сопоставлена некоторая цепь. Требуется выбрать доминирующее множество с наименьшей суммарной ценой. Эта задача называется задачей о наименьшем покрытии (ЗНП). К этой задаче сводятся, например:

1. Задача о выборе переводчиков. Организации нужно нанять переводчиков с определенного множества языков. Каждый из имеющихся переводчиков владеет некоторыми иностранными языками и требует определенную зарплату. Требуется определить, каких переводчиков следует нанять, чтобы сумма расходов на зарплату была минимальной.

2. Задача о перевозки. Поставщику необходимо доставить товары своим потребителям. Имеется множество различных маршрутов, каждый их которых позволяет обслуживать определенное подмножество потребителей и требует определенных расходов. Требуется определить, какие маршруты следует использовать, чтобы все потребители были обслужены, а сумма транспортных расходов была наименьшей.

ЗНП могут быть сформулированы различными способами.

1. Пусть имеется конечное множество {V₁,…, V_p} и семейство подмножеств этого множества {E₁,…, E_p}. Каждому подмножеству E_iприписать вес. Найти покрытие E` (E`E) наименьшего веса. Из этой формулировки происходит название «задача о наименьшем покрытии».

2. ЗНП можно сформулировать как задачу линейного программирования min при ограничениях (i=1,…,p), где c_i0 x_i= t_ij=

3. Дана булева матрица Т размера р на р. Каждому столбцу приписан вес c_j. Найти такое множество столбцов минимальной стоимости, чтобы любая строка содержала единицу хотя бы в одном из выбранных столбцов.

ЗНП относиться к числу трудоемких задач, и для ее решения применяются переборные алгоритмы с теми или иными улучшениями. Связь ЗНП с другими задачами можно представить в следующем виде.

ЗНП

Наименьшее

доминирующее ЗНП с единичными весами

множество вершин

Наибольшее независимое

множество вершин

Наименьшее

доминирующее Наибольшее независимое множество ребер множество ребер

Рис. 32

На этой схеме стрелки от задач А к задачи В означает, что решение задачи А влечет за собой решение задачи В.