1. Основные понятия теории графов

1. Задачи теории графов

Теория графов - это раздел математики, изучающий системы связей между различными объектами, точно так же как это делается с помощью понятия отношения. Однако независимое определение графа упрощает изложение теории и делает её более понятной и наглядной.

Первые задачи теории графов были связаны с решением развлекательных задач и головоломок.

Первая задача. Задача о Кенигсбергских мостах была поставлена и решена Эйлером в 1786 году. Город располагался на берегах и двух островах реки Преголи. Острова между собой и берегами были связаны семью мостами, как показано на рисунке.

Рис.1

Возникал вопрос: можно ли выйдя из дома, вернуться обратно, проходя по каждому мосту ровно один раз?

Вторая задача. Задача о трех домах и трех колодцах. Имеется три дома и три колодца.

Рис. 2

Требуется провести от каждого дома к каждому колодцу тропинку так, чтобы тропинки не пересекались. Задача была решена Понтрягиным и независимо от него Куратовским в 1930 году.

Третья задача. О четырех красках. Любую карту на плоскости раскрасить четырьмя красками так, чтобы никакие две соседние области не были закрашены одним цветом.

Р ис. 3

Многие результаты теории графов используются для решения практических задач науки и техники. Так, в середине 19 века Кирхгоф применил теорию графов для расчета сложных электрических цепей. Однако, как математическая дисциплина, теория графов сформировалась только в 30-х годах 20-го века. При этом графы рассматриваются как некоторые абстрактные математические объекты. Они применяются при анализе и синтезе цепей и систем, в сетевом планировании и управлении, исследовании операций, программировании, моделировании жизнедеятельности организма и других областях.

1.2. Основные определения

Графом G=(V,E) называется совокупность двух множеств - непустого множества вершин V и множества неупорядоченных и упорядоченных пар вершин E. В дальнейшем будут рассматриваться конечные графы, т.е. графы с конечным множеством вершин и конечным семейством пар. Неупорядоченная пара вершин называется ребром, а упорядоченная - дугой.

Обычно граф изображается диаграммой: вершины - точками (или кружками), ребра – линиями произвольной конфигурации. На дуге дополнительно стрелкой указывается её направление. Отметим, что при изображении графа несущественны геометрические свойства ребер (длина, кривизна), а также взаимное расположение вершин на плоскости.

Вершины, которые не принадлежат ни одному ребру (дуге) называются изолированными. Вершины, соединенные ребром или дугой называются смежными. Ребро (дуга) и любая из его двух вершин называются инцидентными.

Говорят, что ребро (u,v) соединяет вершины u и v, а дуга (u,v) начинается в вершине u и заканчивается в вершине v, при этом u называется началом, а v – концом этой дуги.

Граф, содержащий только ребра, называется неориентированным (неорграф, н-граф). Граф, содержащий только дуги, называется ориентированным (орграфом). Граф называется смешанным, если в нём одновременно присутствуют и ребра и дуги.

Пара вершин может соединяться двумя или более ребрами (дугами одного направления). Такие ребра (дуги) называются кратными. Дуга (или ребро) может начинаться или кончаться в одной и той же вершине. Такая дуга (ребро) называется петлёй. Граф, содержащий петли, называется псевдо графом. Граф, имеющий кратные ребра (дуги), называется мультиграфом.

Граф, без петель и кратных ребер, называется простым. Простой граф называется полным, если для любой пары его вершин существует ребро (дуга) их соединяющая. Полный граф, имеющий n вершин обозначается через K_n. Например, это графы

Рис. 4

Граф, состоящий из одной изолированной вершины (K₁), называется тривиальным.

Дополнением графа G называется граф , имеющий те же вершины, что и граф G и содержащий те ребра, которые нужно добавить к графу G чтобы получить полный граф.

Каждому неорграфу канонически соответствует ориентированный граф с тем же множеством вершин, в котором каждое ребро заменено двумя дугами, инцидентными тем же вершинам и имеющих противоположные направления.