9. Покрытия и независимость

9.1. Покрывающие множества вершин и ребер

Говорят, что вершина покрывает инцидентные ей ребра, а ребро покрывает инцидентные ему вершины.

Множество вершин, которое покрывает все ребра графа, называется вершинным покрытием. Наименьшее число вершин во всех вершинных покрытиях называется числом вершинного покрытия и обозначается ₀.

Например:

1. Для полного графа ₀(K_n)=n-1.

2. Для полного двудольного графа ₀(K_m,n)=min(m,n).

3. Для графа с изолированными вершинами ₀( )=0.

4. Для несвязного графа ₀(G₁G₂)= ₀(G₁)+₀(G₂), где G₁ и G₂ – компоненты связности.

Множество ребер, которое покрывает все вершины графа, называется реберным покрытием. Наименьшее число ребер во всех реберных покрытиях называется числом реберного покрытия и обозначается ₁. Заметим, что ₁ не определено для графа с изолированными вершинами.

Например:

1. Для четного цикла ₁(K_2n)=n, для нечетного цикла ₁(K_2n+1)=n+1.

2. Для полного графа с четным числом вершин ₁(K_2n)=n, для полного графа с нечетным числом вершин ₁(K_2n+1)=n+1.

3. Для полного двудольного графа ₁(K_m,n)=max(m,n).

9.2. Независимые множества вершин и ребер

Множества вершин называются независимыми, если никакие две из них не смежны. Наибольшее число вершин в независимом множестве вершин называется вершинным числом независимости и обозначается ₀.

Например:

1. Для полного графа ₀(K_p)=1.

2. Для полного двудольного графа ₀(K_m,n)=max(m,n)

3. Для графа с изолированными вершинами ₀( )=p.

4. Для несвязного графа ₀(G₁G₂)= ₀(G₁)+ ₀(G₂)

Множества ребер называются независимыми, если никакие два из них не смежны. Наибольшее число ребер в независимом множестве ребер называется реберным числом независимости и обозначается ₁. Независимое множество ребер называется также паросочетанием.

Например:

1. Для четного цикла ₁(K_2n)=n, для нечетного цикла ₁(K_2n+1)=n-1.

2. Для полного графа с четным числом вершин ₁(K_2n)=1, для полного графа с нечетным числом вершин ₁(K_2n+1)=n-1.

3. Для полного двудольного графа ₁(K_m,n)=min(m,n).

Для любого нетривиального графа числа независимости и покрытия связаны следующим соотношением ₀+₀ = ₁+₁ = p.

Замечание. Условия связности и нетривиальности гарантируют, что все четыре инварианта определены. Однако это условие является достаточным, но не является необходимым. Например, для графа K_nK_n заключения теоремы остаются справедливыми, хотя условие не выполнено.

Задача отыскания наибольшего независимого множества вершин (т.е. определение вершинного числа независимости ₀) принадлежит к числу трудоемких.

В данном случае имеется возможность найти решение данной задачи «полным перебором» всех возможных вариантов в силу конечности их числа. Для выполнения данного алгоритма потребуется О(2Р) шагов.

При решении переборных задач большое значение имеет способ организации перебора. В данном случае это последовательность перечисления множеств. Наиболее известным способом организации перебора является поиск с возвратом. Иногда употребляется термин бектрекинг.

Идея поиска с возвратом состоит в следующем. Находясь в некоторой ситуации, изменяют её для того, чтобы найти решение. Если изменение не дало желаемого результата, то возвращаются в исходную позицию. Затем делается изменение другим образом и т.д. до тех пор пока не будут исчерпаны все возможности.

Применение метода поиска с возвратом не гарантирует эффективности. В худшем случае поиска с возвратом имеет тот же порядок, что и другие способы перебора.

Используя конкретную информацию о задаче, в некоторых случаях можно существенно сократить трудоемкость выполнения каждого шага перебора или уменьшить количество перебираемых вариантов. Такие методы называются методами улучшения перебора. Например, может оказаться, что некоторые варианты заведомо не могут привести к решению, а потому их можно не рассматривать.