Интегральное исчисление. практикум. Пантелеев И.Н

=

1

1

+ C =

1

x

+ C.

b

b

a + bt 2

ax2 + b

д) Заменяем ex = t, dx =

dt

, тогда

t

d (t -3)

ò

ex dx

= ò

dt

= ò

dt

= ò

=

e

2 x

- 6e

x

+13

t

2

- 6t

+13

(t -3)

2

+ 4

(t

- 3)

2

+

2

2

=

1

arctg

t -3

+ C =

1

arctg

ex -3

+ C.

2

2

2

2

1.4. Интегрирование по частям

1°. Формула интегрирования по частям

òudv = uv - òvdu.

(1)

òe

ax

cosbxdx =

b sin bx + a cos bx

e

ax

+C ;

a

2

+ b

2

òe

ax

sinbxdx

=

a sin bx - b cos bx

e

ax

+C .

(2)

a

2

+ b

2

3°.

Интегрируя

по

частям, можно

вывести

формулы

"понижения степени" для интегралов

n -1

òsinn xdx = -

1

cos x sin n -1 x +

òsin n -2 xdx,

n

n

òcos

n

1

n-1

n -1

òcos

n-2

xdx =

sin x cos

x

+

xdx.

(3)

n

n

4.1. Найти интегралы:

x

а) ò xe

dx; б) ò x arctg xdx;

в) òln xdx;

2

г) ò x2 sin xdx;

д) ò

xdx

; е)

òarcsin xdx.

2

sin

x

x

Решение. а) Положим x = u и e

2

dx = dv,

тогда du = dx и

x

v = 2e

2

. Запишем

по

формуле

интегрирования

по

частям

интеграл в виде

ò xe

x

x

- 2òe

x

x

x

x

(x - 2)+ C.

2

dx = 2xe

2

2

dx = 2xe

2

- 4e

2

+ C = 2e

2

б) Положим arctg x = u,

xdx = dv,

тогда du =

dx

,

1+ x2

v =

x2

. По формуле (1) имеем:

2

ò x arctg xdx =

x2

arctg x -

1

ò

x2 dx

=

x2

arctg x -

1

ò

(x2

+1 -1)dx

=

2

2

x

2

+1

2

2

x

2

+1

x2

1

1

dx

1

2

=

arctg x -

òdx +

ò

=

(x

arctg x - x + arctg x )+ C.

2

2

2

x2 +1

2

в)

Положим

ln x = u, dx = dv,

тогда du =

dx

,

v = x.

По

x

д) Положим x = u,

dx

= dv,

тогда du = dx, v = -ctg x.

sin2

По формуле (1) имеем

x

xdx

ò

= -xctg x + òctg xdx

= -xctg x + ln

sin x

+ C.

sin2 x

4.2. Найти интегралы: а) ò

x2 + k dx; б) òcos (ln x

dx) ;

в) òe2x cos 3xdx.

Решение. а)

Положим

x2 + k = u, dx = dv,

тогда

du =

xdx

, v = x.

По формуле (1) имеем

x2 + k

ò

x

2

+ k dx = x x

2

+ k - ò

x2dx

= x x

2

+ k - ò

x2 + k - k

dx =

x

2

+ k

x

2

+ k

dx

= x x2 + k - ò x2 + k dx + k ò

=

2

x + k

= x x2 + k + k ln

x + x x2 + k

- ò x2 + k dx.

Перенося последний интеграл в левую часть равенства,

получим

2ò x2 + k dx = x x2 + k + k ln

x + x2 + k

,

откуда

1

(x x2 + k + k ln

)+ C.

ò x2 + k dx =

x + x2 + k

2

б) Положим cos (ln x) = u, dx = dv, тогда

du = -

sin (ln x)

dx,

v = x. По формуле (1) имеем

x

òcos (ln x)dx = x cos (ln x )+ òsin (ln x )dx.

Положим теперь sin (ln x) = u,

dx = dv,

тогда du =

cos (ln x)

dx,

ò cos ln xdx =

x

(cos ln x + sin ln x )+ C.

2

в) Полагаем cos 3x = u, e2 x dx = dv, тогда du = -3sin 3xdx,

2

1

3

òe2 x cos 3xdx =

e2 x cos 3x +

òe2 x sin 3xdx.

2

2

òe2 x cos 3xdx =

1

e2 x cos 3x +

3

e2 x sin 3x -

9

òe2 x cos 3 xdx.

2

4

4

Переносим последний интеграл в левую часть

13

2 x

1

2 x æ

3

ö

e

cos 3xdx =

e

çcos 3x +

sin 3x ÷

,

4 ò

2

2

è

ø

òe

2 x

2

2 x æ

3

ö

cos 3xdx =

e

çcos 3x +

sin 3x ÷

+ C.

13

2

è

ø

Этот

же

результат

можно

получить, еслисразу

воспользоваться формулами (2).

4.3. Найти интегралы: а) òe

x

dx; б) ò

x2arctg x

dx;

1+ x

2

в) ò

arcsin

x

dx.

1- x

Решение. а) Сделаем замену переменной x = t2 , dx = 2tdt,

тогда òe

x dx = 2òtet dt.

òe x dx = 2e x ( x -1)+ C.

б) Делаем замену arctg x = t, тогда

dx

= dt и x2

= tg2t.

1+ x2

Полагаем

t = u,

tg2tdt = dv,

тогда du = dt,

v = tg t - t. По

формуле (1) имеем

òt

tg2tdt = t (tg t - t )

- ò

tg( t - t )dt = t (tg t - t )+ ln

cos t

+

t2

+ C.

Переходя к переменной х, получим

2

ò

x2arctg x

dx = arctg x (x - arctg x)-

1

ln (1

+ x

2

)+

1

(arctg x )

2

+ C =

1 + x2

2

2

= x arctg x -

1

ln (1 + x2 )-

1

(arctg x )2 + C.

2

2

в)

Делаем

замену arcsin

x = t,

тогда

x = sin t,

dx

= 2sin tdt. Интеграл примет вид

1- x

ò

arcsin x

dx = 2òt sin tdt.

1- x

:частямt = u,

sin tdt = dv

Интегрируем

по

и

du = dt, v = -cos t. Откуда

òt sin tdt = -t cos t + òcos tdt = -t cos t +sin t + C.

Окончательно

ò

arcsin

x

dx = -2arcsin

x ×

1- x + 2

x + C.

1- x

4.4. Найти интегралы: а) òcos7 xdx; б) òsin10 xdx.

Решение. а) Воспользуемся второй формулой (3)

òcos7 xdx =

1

sin x cos6 x +

6

òcos5 xdx =

1

sin x cos6 x +

7

7

6

æ 1

7

4

sin x cos

4

x

3

xdx

ö

+

ç

+

cos

÷ =

7

5 ò

è 5

ø