Методическое пособие 733

позволяет утверждать, что число линейных структурных элементов в БГС (по сути определяющих порядок матричных задач) соизмеримо с численностью населения района.

При анализе и синтезе БГС возникает проблема учета действия большого количества факторов и необходимости быстрого получения надежного результата, что составляет основное противоречие современного моделирования. В этом случае БГС традиционно подвергается структурной декомпозиции на РФС и метасистему. РФС – ограниченный в пространстве фрагмент, представляющий интерес с точки зрения анализа протекающих в нем процессов. Сечение по внутренним вершинам графа (как процедура выделения РФС) переводит последние в разряд энергоузлов (ЭУ), через которые осуществляется энерго- и массообмен между РФС и метасистемой, сохраняющей при этом статус БГС.

Для адекватного описания гидравлических процессов в РФС в энергоузлах формируются граничные условия. Для анализа невозмущенного состояния традиционно используется определенная форма ГУ: а) в виде априорно заданных (достоверных) значений узловых потоков qj или потенциалов Hj (ГУ I рода); б) в виде функционально и параметрически определенной взаимосвязи Hj=H(qj) (ГУ II рода – паспортные характеристики регуляторов, насосов и т.д.). Достоверность определенных форм ГУ обеспечивает корректность постановки задач. Анализ возмущенного состояния, то есть прогноз последствий любых структурных или параметрических возмущений в РФС, например аварийное отключение участков, присоединение новых потребителей, замена труб других диаметров и т.д., относится к области задач реконструкции. В этом случае ГУ II рода, являясь заданной характеристикой элемента, обладает "поглощающей" (то есть устойчивой к возмущениям) способностью, в то время как параметры в составе ГУ I рода, в силу связности СТГ, отклоняются от фиксированных значений, что равносильно их информационной утрате. В итоге задача анализа потокораспределения переводится в разряд неопределенных, состояние системы описывается уже прямоугольной матрицей, что является признаком ее вырожденности.

Отметим, что область реализации задач потокораспределения невозмущенного состояния системы весьма ограниченна. Это в основном два типа задач: поиск гидравлических характеристик линий (диаметров труб) при известном режиме потребления (типичная задача проектирования) и анализ потокораспределения и режима потребления при известной конфигурации и гидравлике. Традиционное моделирование гидравлических систем адаптировано к решению этих двух задач в области анализа и синтеза.

Однако большинство современных практически важных задач базируется на анализе и синтезе возмущенного состояния трубопроводных систем: прогноз аварийных ситуаций, плановых и внеплановых ремонтов, присоединение и отключение новых потребителей и источников, диагностика несанкционированных отборов (утечек, хищений, сверхлимитного потребления

21

и т.п.), нагруженное и ненагруженное резервирование, аппроксимационнотопологические методы оптимального синтеза и так далее. То есть область моделирования возмущенного состояния систем значительно обширнее, и уместнее было бы рассматривать невозмущенное состояние как частный случай возмущённого [13, 31, 38, 40, 66, 68 и др.].

Приступая к решению поставленной задачи развития декомпозиционного подхода, рассмотрим механизм выделения РФС из состава гидравлической системы, полагая, что на эту процедуру не накладываются ограничения. Известно [2], что традиционной является схема отдачи ЦП потребителям исключительно через узлы, причем это касается и различных вариантов упрощения расчетных схем с использованием участковых путевых отборов. Поэтому естественной границей РФС должен считаться узел расчетной схемы, который в этом случае приобретает статус ЭУ [40, 54], то есть узла, через который осуществляется обмен ЦП между РФС и метасистемой.

Для стационарных состояний РФС (установившееся

потокораспределение) в составе условий однозначности начальные условия отсутствуют и остаются лишь граничные условия (ГУ), которые для j-гo ЭУ можно в общем случае представить зависимостью

где Hj ,qj – узловой потенциал и расход через ЭУ j;. ξj – функция, задающая взаимосвязь между потенциалом и расходом.

Введем следующую классификацию граничных условий, исходя из функции ξj, обобщающую накопленный опыт математического моделирования ГС:

1. ГУ I рода – фиксируется (задается) один из параметров (1.17) в узле, Hj Hj или q j q j второй определяется по результатам анализа

потокораспределения. Фиксация режима потребления наиболее характерна в задачах проектирования, а значения узлового потенциала – в задачах из области эксплуатации при анализе текущего состояния по результатам замеров, то есть по данным манометрической съемки.

2.ГУ II рода – определён вид функции ξj, a Hj ,qj считаются неизвестными, но если один из них найден, то по соотношению (1.17) определяется и второй. Примером ГУ II рода являются напорные характеристики нагнетающего оборудования (насосов, компрессоров), паспортные характеристики регуляторов. Специфической формой граничных условий II рода можно считать функциональные характеристики подсистем при "кибернетическом" моделировании.

3.ГУ III рода предполагаются известными по форме, но не определены

по содержанию. Иными словами, Hj ,qj считаются неизвестными, а для функции ξj установлен только ее вид. Впервые граничные условия III рода рассмотрены в работах [54, 55].

4.ГУ IV рода заранее не определены ни по форме, ни по содержанию и

генерирования граничных условий IV рода является метод диакоптики [38]. Здесь в узлах "разрезания" больших гидравлических цепей (БГЦ) на совокупность малых (МГЦ) граничные условия формируются посредством итеративного подбора характеристик источников давления и расхода вместо элементов цепи пересечений. С точки зрения ГУ диакоптику можно рассматривать как метод преобразования граничных условий от IV рода ко II роду.

Следует подробнее остановиться на модели невозмущенного состояния, поскольку она обстоятельно изучалась на протяжении длительного времени, ещё до появления компьютерных технологий и именно с этой модели начиналось развитие процесса моделирования ГС. Структурный граф модели невозмущенного состояния сформирован реальными линиями; в энергоузлах, ограничивающих РФС, заданы ГУ I и II рода. То есть РФС, являющийся автономным объектом для моделирования, называется расчётной зоной. Иными словами, границы РФС и РЗ невозмущенного состояния совпадают.

Прежде всего рассмотрим “конструкцию” топологических матриц на примере водопроводной сети (рис.1.1).

Рис. 1.1. Бинарный структурный граф водопроводной сети:

нс – насосная станция; Rl, R2 – контррезервуары; г – участки с реальными трубопроводами в составе РЗ, f – фиктивные трубопроводные линии в составе эквивалента АП;

НС, 1,2,…,

9 – энергоузлы РФС (РЗ невозмущенного состояния); НС, 10, 11,…,18 – энергоузлы РЗ возмущенного состояния

Напомним, что РЗ, содержащая в своём составе только реальные трубопроводные линии, является автономным объектом моделирования и отображается структурным графом, построенным на реальных дугах (позиции r, рис.1.1). Резервуарные узлы (поз. R1, R2, рис.1.1), водонапорные башни могут ,в зависимости от режима водопотребления, функционировать как в

23

качестве источников, так и стоков с фиксированным напором, то есть они являются энергоузлами с ГУ первого рода.

Обозначение участка формируется из обозначения ограничивающих (инцидентных) его узлов , причём на первом месте ставится обозначение узла, откуда поток истекает, на втором - узел с притоком.

Все участки РЗ, кроме НС-1, несут путевую нагрузку, следовательно, согласно методу перевода переменного путевого расхода в постоянный к каждому узлу присоединяется фиктивный (фиксированный по определению) узловой отбор, то есть все узлы, включая и промежуточные, являются энергоузлами. Однако последние относятся к множеству ЭУ с незаданным узловым потенциалом, так как в них неизвестен пьезометрический напор, относительно которых и сформирована топологическая матрица [А]. Нейтральные узлы ветвления (χ) также относятся к узлам с фиксированным (нулевым) отбором и неизвестным потенциалом.

К узлам с фиксированным потенциалом, соответствующим ГУ I и II рода, относятся узлы НС, 6, 7, 8, 9, причем в узле НС сформированы ГУ II рода в форме характеристики насоса (эквивалентной характеристики насосной станции), в остальных узлах – ГУ I рода.

Число независимых цепей определяется из условия Эйлера для плоских графов, р = е – 1 (при r = 0 в составе цепного подграфа); в данном случае е = (НС, 6, 7, 8, 9). В этой задаче размер объединенной (квадратной), топологической матрицы в левой части (1.14) – (1.16) составляет 13 х 13, что обусловлено определенным характером граничной информации в составе модели потокораспределения.

Граничные условия I рода в виде фиксированных узловых потенциалов H отборов (притоков) q включены в состав матриц-столбцов к узлам с

фиксированным отбором отнесены также и узлы ветвления с нулевым отбором (здесь Hj Zj H*j , где H*j – фиксированный пьезометрический напор узла j).

Граничные условия II рода содержат в своей основе напорные характеристики насосов в составе насосных станций, и эти (заданные) характеристики насосов в составе насосных станций формируют дополнительные функциональные связи, не включенные в систему уравнений

(1.14) – (1.16).

В составе диагональных матриц фигурируют коэффициенты гидравлических сопротивлений Si, зависящие от множества факторов, основными из которых являются материал труб, состояние поверхности, время эксплуатации, состав воды, режимы течения и т.п.

Структура топологической матрицы инциденций РЗ (рис. 1.1):

24

участки

Структура топологической матрицы независимых цепей РЗ (рис. 1.1):

Структура топологической матрицы независимых контуров РЗ (рис. 1.1):

Структура топологической матрицы смежности для цепей РЗ (рис. 1.1):

25

Важнейшим базовым показателем водопроводной системы является потеря напора в трубопроводе h; производные от этого показателя: удельные потери напора i, коэффициент гидравлического сопротивления λ, удельное сопротивление А и т.п. Известна формула для гидравлического расчета водопроводных труб, например [61, 70].

где Dp – расчетный внутренний диаметр трубы; W – средняя скорость движения воды.

Если привести эту формулу к размерности напора, выразив скорость через расход Q, м3/с, получаем:

трения для новых труб, на стенках которых отсутствуют заметные признаки коррозии или отложений [70], то есть для только что проложенных водопроводных линий;

S0 –коэффициент гидравлического сопротивления трения для новых труб, приведенный к размерности расхода.

Возвращаясь к формуле (1.18) отметим, что известна довольно удачная аппроксимация А. Д. Альтшуля [3]

которая на пределах переходит в подтвержденные опытами зависимости для коэффициента гидравлического трения: при Re(KЭ/Dp)<10 она практически совпадает с формулой Блазиуса для гидравлически гладких труб, а при условии

26

Re(KЭ/Dp) > 500 – с формулой Шифринсона для вполне шероховатых труб. Однако значения KЭ приведены в [3] либо для новых труб, либо для труб с большими отложениями, но без «привязки» ко времени их эксплуатации.

Ф.А. Шевелевым предложена зависимость λ от вышеперечисленных факторов, структура которой базируется на аппроксимационной формуле А.Д. Альтшуля [3, 70]. Авторы этой широко известной работы предлагают на основе исследований Ф.А. Шевелева [69, 70] следующие зависимости для коэффициента λ:

новые стальные трубы

27

новые чугунные трубы

Новые стальные и чугунные водопроводные трубы при реализуемых в СПРВ скоростях движения воды оказываются работающими в переходной области, где их сопротивление зависит от скорости. При этом в качестве исходного принимается удельное сопротивление, соответствующее W = 1 м/с, с введением поправки на неквадратичность при других скоростях. Авторы [70] приводят соответствующие зависимости и табулированные значения поправок в широком диапазоне изменения скоростей: 0,2 – 1,2 м/с. В работе [69] приводятся также зависимости для неновых стальных и чугунных труб с естественной шероховатостью, которая по гидравлическому сопротивлению эквивалентна искусственной шероховатости, сформированной песком крупностью 1 мм. Однако авторы оговаривают, что этими формулами не следует пользоваться при укладке труб и последующей их эксплуатации, если приняты специальные меры по предохранению внутренней поверхности стенок труб от коррозии и от образования на них отложений (защитные покрытия, противокоррозионная обработка воды и т.п.). Эти формулы не учитывают интенсивные процессы коррозии, приводящие к недопустимому снижению пропускной способности.

Разработка математических моделей потокораспределения для невозмущенного состояния гидравлических систем развивалась по двум

28

направлениям. Первое, основанное на экстремальном подходе, сводится к задаче на условный или безусловный экстремум целевой функции, имеющей характер энергетического функционала (принцип наименьшего действия, принцип виртуальных скоростей, принцип минимума потенциальной энергии в стационарном случае), а также к задаче нелинейного математического программирования. Второе направление основано на алгебраическом описании потокораспределения в форме замкнутой совокупности уравнений Кирхгофа

[48, 72 и др.].

1.3. Математическое моделирование возмущенного состояния системы водоснабжения

Прежде всего рассмотрим вопросы формирования физической модели ГС, пока без акцентирования внимания на ее состоянии – возмущенном или невозмущенном. В дальнейшем можно убедиться, что состояние системы однозначно связано с ее структурой через краевые условия. Неизбежным при этом является декомпозиция ГС, то есть расчленение ее на отдельные фрагменты, с последовательным решением задач потокораспределения в тех из них, гидравлические процессы в которых представляют для нас интерес. Однако не все фрагменты являются равноценными с позиции постановки задачи, поскольку приходится считаться с тем, содержит ли подобный фрагмент в своем составе источники или нет. Итак, ГС декомпозируется на множество фрагментов, один из которых является базовым (РФС), остальные делятся на фрагменты без источников, именуемые абонентскими подсистемами (АП), и фрагменты с собственными источниками, обозначаемые нами как локальные подсистемы (ЛП). Вообще для более четкой систематизации будем придерживаться следующей классификации в рамках метасистемы:

а) транспортные подсистемы, содержащие источники и стоки, – множество ЛП;

б) абонентские подсистемы, содержащие стоки и не содержащие источников, – множество АП;

в) транзитные подсистемы, не содержащие ни источников, ни стоков, – множество ТП.

Класс задач, традиционно решаемых для РЗ с фиксированными параметрами ограничивающих ее энергоузлов, содержит задачи из области проектирования и эксплуатации, поскольку значения фиксированных параметров (в рамках ГУ I и II рода) определяются по результатам измерений на функционирующей сети (эксплуатационная задача) либо на основе нормативов (задача проектирования).

Структурная декомпозиция ПГС состоит в выделении из ее состава (сечением по узлам) ограниченного в пространстве расчетного фрагмента системы, отображаемого плоским, связным СТГ. Метасистема, оставшаяся после выделения РФС, мало отличающаяся по масштабности от ПГС, подлежит эквивалентированию, то есть преобразованию в новую сетевую структуру с ограниченным и регламентируемым (условиями эквивалентирования)

29

множеством элементов. Присоединение модели метасистемы к РФС через узлы разъединения формирует модель полноразмерной гидравлической системы (МПГС), соизмеримую с РФС по числу структурообразующих элементов (рис.

1.2).

В итоге получаем новую структуру (МПГС), содержащую реальные трубопроводные связи и множество фиктивных линий, эквивалентирующих ЛП, АП, ТП, и обозначаемую в дальнейшем как бинарную расчетную схему

(БРС).

Границы РФС и РЗ совпадают в случае, если моделируется невозмущенное состояние системы и в энергоузлах РФ сформированы определенные формы ГУ (I и II рода). При этом необходимость в ЛП, АП, ТП и их эквивалентах отпадает, и такая структура обозначается нами как унарная

(УРС).

Если в рамках РФ появляются структурные или режимные возмущения, ГУ I рода, содержащие фиксированную (числовую) информацию, утрачиваются и задача потокораспределения переводится в разряд неопределенных. В энергоузлах РФ формируются неопределенные формы граничной информации (III и IV рода). Подобные подсистемы известны как вырожденные подсистемы пуассоновского типа, отображаемые прямоугольными матрицами.

Таким образом, БРС является средством перехода от неопределенных форм ГУ на границах в условиях возмущенного состояния к определенным формам на внешних границах вновь сформированной МПГС, в виде барометрических давлений в ЭУ – стоках (системы газоснабжения) или пьезометрических напорах (в системах водоснабжения) при допущениях, оговоренных ранее.

Отсутствие источников в составе АП (рис. 1.2, б,в) позволяет утверждать об однозначности направлений течения потоков на участках этой структуры и о возможности ее эквивалентирования тупиковыми фиктивными линиями с "висящими" ЭУ, в которых сформированы ГУ I рода. Этот подход известен как "тупиковый принцип эквивалентирования" [31, 32, 40]. Гидравлические характеристики фиктивных линий при этом определяются в соответствии с условиями энергетического эквивалентирования.

Присутствие собственных источников в составе ЛП вынуждает рассматривать в качестве ее гидравлического эквивалента не отдельные фиктивные линии, а микросеть [33, 40], структура которой подлежит специальному обсуждению. Это обусловлено неоднозначностью направлений течения потоков среды на участках при возмущающих воздействиях в рамках РЗ.

30