Методическое пособие 733

Для участков (1-20), (3-22), (4-23), (6-25), (9-27), (10-28), (11-29):

Для всех участков:

Qi(k) Qi(k 1) Qi(k 1) Qi(k) .

Таблица 4.1 Прогноз режима водопотребления системы, рис. 4.1

Результаты итерационного процесса моделирования представлены в виде развертки расходов на участках с дросселем, от номера итерации (рис. 4.2, 4.3, 4.4). Каждая расчетная точка на развертке получена решением приведенной выше линейной системы уравнений.

Рис. 4.2. Расчетная зависимость от номера итерации фактического и задаваемого расходов воды на участке с установленным дросселем:1 – участок (9-27); 2 – участок (1028)

171

Рис. 4.3. Расчетная зависимость от номера итерации фактического и задаваемого расходов воды на участке с установленным дросселем:

1 – участок (1-20); 2 – участок (3-22)

Рис. 4.4. Расчетная зависимость от номера итерации фактического и задаваемого расходов воды на участке с установленным дросселем:

1 – участок (11-29); 2 – участок (6-25); 3 – участок (4-23)

Число итераций от начала счета на рисунках не превышает 50, что при общем числе итераций К = 104 составляет всего лишь 1/200 часть расчетного процесса. Общее число итераций до самопроизвольного останова составило К = 66. Останов произошел в результате превышения предельных для данного класса ПЭВМ значений расходов.

Задаваемые расходы на коротком отрезке расчетного процесса практически не успевают измениться, поэтому они отображены горизонтальными линиями. До 10-й итерации вычислительный процесс протекает без заметных возмущений по фактическим расходам, однако после этого появляются расчетные колебания, переходящие для отдельных участков в область отрицательных значений. Последнее означает, что при однозначно определенных направлениях течения водопотоков на фиктивных участках происходит образование ложных источников в «висящих» узлах БРЗ. До 8-ой итерации выполняются все сетевые законы, определенные уравнениями (1 –

172

38). Нормальные узловые балансовые уравнения (39 – 49) выполняются с погрешностью, превышающей в ряде случаев 100 %.

Таким образом, результаты моделирования оказались неудовлетворительными, поскольку либо сам вычислительный процесс протекает за пределами области решения этой управленческой задачи, либо эта задача не имеет рационального решения. И это несмотря на то, что, варьируя множеством УД, можно всегда добиться квадратной конфигурации объединенных матриц (4.7)-(4.11) или (4.12)-(4.16). Следовательно здесь причина кроется не столько в математической корректности задачи, а в форме (структуре) функциональных ограничений. Последнее можно прокомментировать следующим образом: в моделировании задачи управления с третьей формой функциональных ограничений заложена новая концепция, а именно вместо традиционной формы ограничений, отражающих условия сплошности потоков, вводится новая форма, отражающая условия минимума исходного функционала, которым отвечает закон Бернулли для структурных образований СТГ (цепей и контуров). Произошла смена концепций не только в рамках модели, но и в пределах исходного функционала, который записан для выбранной в гидравлике системы координат H(Q).

Известно, что все решения задач в гидравлике правомерны в условиях сохранения сплошности потоков среды, выражающиеся в выполнении узловых балансовых уравнений для узлов с незаданным (неизвестным) давлением (напором). Отказ от этого условия означает не что иное, как несанкционированный переход к новой системе координат, допускающий нарушение первого закона Кирхгофа, а в качестве функциональных ограничений оставляющий в силе второй закон Кирхгофа и закон Бернулли для независимых цепей. То есть все решения ищутся в условиях выполнения третьей формы функциональных ограничений.

Подобная концептуальная переориентация не могла не отразиться на результатах моделирования, и скорее всего в такой постановке эта управленческая задача не имеет решения.

Менее актуальным представляется то, что третья форма функциональных ограничений из-за несоответствия числа уравнений и числа неизвестных (SD) в итоге оставляет неконтролируемыми часть водопотоков через фиктивные участки. Это должно отразиться на точности прогноза, в чем усматривается проигрыш по сравнению с моделями, построенными на локальных и тотальных балансах, формирующих соответствующие структуры функциональных ограничений.

Суммируя изложенное, можно прийти к выводу о деструктивном характере ограничений целевой функции в форме цепных и контурных уравнений для области регулирования и управления гидравлическими системами.

173

4.4. Основы энергетического эквивалентирования систем водоснабжения городов и промышленных объектов

4.4.1.Математическая формулировка задачи энергетического эквивалентирования систем водоснабжения

Процедура эквивалентирования довольно часто используется при анализе и синтезе больших систем с глубокими функциональными связями в различных областях науки и техники (химии, термодинамике, теплотехнике, тепломассообмене, электроэнергетике, гидравлике и т.п.) . В гидравлике энергетическое эквивалентирование используется для выработки условий трансформации структурного графа в задачах анализа и синтеза возмущенного состояния больших гидравлических систем [31, 55 и др.].

Согласно постановке задачи анализа возмущенного состояния СПРВ последняя, будучи большой гидравлической системой, декомпозируется на расчетный фрагмент (РФ) и метасистему. Объектом исследования является расчетная зона, в качестве которой рассматривается распределительная (уличная) сеть, отображаемая плоским структурным орграфом в составе полноразмерной СПРВ. Объектом эквивалентирования является метасистема, сохранившая статус БГС после выделения РФ. Целью эквивалентирования являются структурные и качественные преобразования физической модели – структурного графа, адекватно отображаемые в составе математической модели. Характер структурных преобразований зависит от выбранного метода моделирования, но в итоге сводится к переходу от бесконечных к конечным графам, дающим возможность организовать рациональную процедуру моделирования в условиях ограниченных ресурсов вычислительной техники. Адекватность гидравлических процессов, протекающих в исследуемых фрагментах системы в составе натуры и модели (до и после преобразования), должна быть обеспечена условиями энергетического эквивалентирования и корректной постановкой краевых задач. При этом, в отличие от процедуры формирования модели потокораспределения, условия энергетического эквивалентирования не требуют решения вариационной задачи.

Общее решение задачи эквивалентирования СПРВ для нестационарного случая может быть получено на основе расширенного (по Гельмгольцу) вариационного принципа наименьшего действия, а точнее, на основе энергетического функционала, условия экстремума которого формируют в области сохранения первого закона Кирхгофа структуру математической модели потокораспределения.

Фундаментальное условие энергетического эквивалентирования может быть сформулировано на уровне энергетического функционала, формализуемого нижеследующим выражением для реальной и эквивалентированной СПРВ:

174

Пятая группа слагаемых в левой и правой частях равенства (4.17) выражает устойчивые к возмущениям граничные условия I рода для полноразмерной реальной и эквивалентной СПРВ.

Отметим, что (4.17) не является обязательным условием в подобного рода задачах, поскольку условия энергетического эквивалентирования справедливы для гидравлически увязанной системы, на которой определен первый закон Кирхгофа. Однако (4.18) обосновывает частные условия (4.19) – (4.23), являющиеся составной частью условий энергетического эквивалентирования.

Физическая эквивалентность функционалов в левой и правой частях равенства (4.17), а следовательно, адекватность гидравлических процессов в реальной и эквивалентированной СПРВ обусловлены равенством отдельных групп слагаемых, отражающих соответственно кинетическую энергию потоков среды, энергомассоприток в систему от источников, энергомассоотток из системы, Дж.

В силу изложенного сформулируем частные условия энергетического эквивалентирования для нестационарного случая, на основе (4.17).

Решение нестационарной задачи энергетического эквивалентирования возможно численными методами, одновременно с решением задачи

176

потокораспределения, что существенно перегружает алгоритм и вычислительный процесс.

В случае установившегося потокораспределения можно допустить равенство кинетических энергий вследствие ограниченных значений и незначительных отличий скоростей движения воды в трубах реальных и фиктивных сетевых структур. Это допущение дает все основания для неучета условия (4.24). В итоге для практически важного стационарного случая частные условия энергетического эквивалентирования, вытекающие из (4.17), (4.18) – (4.23), формализуются нижеследующими равенствами:

177

q j q j;

Энергетическое эквивалентирование является безальтернативным методом преодоления проблем несовместимости ограниченных ресурсов вычислительной техники с постановочными аспектами сетевых задач в области анализа и оптимального синтеза полноразмерных БГС с высокими порядками матричных структур. Возможности эквивалентирования позволяют практически неограниченно уменьшать масштабы метасистемы, однако при этом не исключено появление вычислительных проблем.

4.4.2.Прикладные аспекты энергетического эквивалентирования в задачах анализа и синтеза систем водоснабжения

Рассмотрим формализацию условий энергетического эквивалентирования насосных станций в составе метасистемы при моделировании возмущенного состояния СПРВ. Этот вид эквивалентирования относится к категории качественно-множественного, поскольку эквивалентируются характеристики множества различных насосов.

Энергетическое эквивалентирование множества насосных станций одной, эквивалентной является составной частью процедуры свертывания метасистемы в процессе формирования МПГС. Множество НС могут располагаться на разных геодезических уровнях, в пределах отдельной НС насосные агрегаты могут присоединяться к водопроводной сети по различным схемам, насосы могут существенно отличаться не только характеристиками (производительностью, напором, рабочим диапазоном характеристик), но и по конструктивному исполнению. Энергетическое эквивалентирование является «универсальным инструментом» приведения всего этого многообразия условий проектирования и эксплуатации к единой позиции, что существенно упрощает процедуру моделирования возмущенного состояния. Как отмечалось выше, насосные узлы относятся к ГУ второго рода и при проведении реконструкции системы сохраняют свой статус, обладая поглощающей способностью к различного рода возмущениям в РЗ.

Для эквивалентирования множества НС, расположенных в составе метасистемы, воспользуемся условием (4.30), которое можно выделить из (4.17). В общем случае (при mf > 1) выполнение этого условия сопряжено с решением проблем алгоритмического характера. Рассмотрим частный случай (4.30) при mf = 1, позволяющий получить в явном виде характеристику эквивалентного насосного источника, тем более что этот случай реализуется в рамках эквивалентирующей микросети.

178

Условие (4.30) расширено и преобразовано в специальную методику энергетического эквивалентирования насосов в рамках одной насосной станции, будучи подключенным к сети по параллельной, последовательной и смешанной схемам [55, 71]. В итоге множество НС можно привести путем многоступенчатого эквивалентирования к одному эквивалентному источнику. Рассмотрим вначале параллельное подключение трех насосов в составе одной НС с различными напорными характеристиками и соответствующими рабочими диапазонами производительности Δq (Zj = idem, в пределах отдельной НС, стационарный случай):

Насос №1: H1 a1q12 b1q1 c1, q1 q1K q1H ;

Допускаем, что характеристика эквивалентного насоса подчиняется наиболее общей аппроксимационной характеристике насоса №1. Станции, будучи подключенными к сети по параллельной, последовательной и смешенной схемам функционирования насосов в рамках одной насосной станции.

В соответствии с условиями (4.19) (4.31) в стационарном случае получаем:

В общем случае параллельного присоединения Х насосов, в рамках одной НС, получаем:

179