3. Эпюр монжа

Выдающийся математик Гаспар Монж (1746-1818 г.г.) дал обобщающий метод решения стереометрических задач геометрическими построениями на плоскости, создав тем самым науку НГ. Он систематизировал и обобщил различные способы изображения пространственных предметов на плоскости в 2-х проекциях, рассматривая чертеж (эпюр) как результат совмещения 2-х взаимноперпендикулярных плоскостей проекций.

Положение точки в пространстве может быть определено, если будет задана какая-либо координатная система. Наиболее удобной является декартова система координат (рис. 3.1).

Рис. 3.1. Система координат

₁ – горизонтальная плоскость проекций

₂ – фронтальная плоскость проекций

₃ – профильная плоскость проекций

Оси: X – абцисс, Y – ординат, Z – аппликат.

Точка О – начало координат.

Плоскости проекций делят пространство на 8 октантов.

При отчете координат точки и данном направлении осей получим:

Октант	X	Y	Z	Октант	X	Y	Z
I	+	+	+	V	-	+	+
II	+	-	+	VI	-	-	+
III	+	-	-	VII	-	-	-
IV	+	+	-	VIII	-	+	-

Эпюр – чертеж, составленный из 2-х или 3-х связанных между собой ортогональных проекций геометрической фигуры. Преобразование пространственного макета в эпюр осуществляется путем совмещения плоскостей ₁ и ₂ с ₃ (рис. 3.2.).

3.2. Плоскости проекций на эпюре Монжа

Вопросы для самопроверки:

1. Как располагаются плоскости проекций и оси координат на эпюре Монжа?

4. Ортогональная проекция точки

(Свойство № 1: )

П усть дана в пространстве т. А и три взаимно перпендикулярных плоскости ₁, ₂, ₃. Положение т.А определяется тремя координатами (x, y, z), показывающими, на какое расстояние эта точка отдалена от плоскости проекций (рис. 4.1).

Рис. 4.1. Комплексный чертеж точки

АА₁ - горизонтально-проецирующая прямая;

АА₂ - фронтально-проецирующая прямая;

АА₃ – профильно-проецирующая прямая.

Две проецирующие прямые определяют проецирующую плоскость.

Чтобы получить эпюр т. А преобразуем пространственный макет. Фронтальную проекцию т. А оставим на том же месте, а горизонтальную и профильную – развернем до совмещения ₁ и ₃ с плоскостью ₂.

Связь с профильной проекцией может быть установлена с помощью дуги или постоянной прямой k эпюра Монжа, для этого проводят биссектрису угла.

Итак, чтобы определить положение точки в пространстве, необходимо знать три ее координаты x, y, z : А₁(x, y), А₂(x, z), А₃(y, z).

Свойство. Положение точки в пространстве вполне определяется положением двух ее ортогональных проекций.

Следствие. По двум любым заранее заданным проекциям точки всегда можно построить недостающую третью проекцию.

Задание: достроить третью проекцию, если известны

а)В₂ и В₃, б) С₁ и С₃.

Вопросы для самопроверки:

1. Дайте определение комплексного чертежа

2. Назовите и обозначьте основные плоскости проекций.

3.Что такое вертикальная и горизонтальная линии связи?

4.Как называется расстояние, определяющее положение точки относительно плоскостей проекций?

5. Как построить третью проекцию точки, если известны две ее проекции?

6. Какие координаты точки можно определить по ее горизонтальной проекции, по профильной проекции?

7. Как построить комплексный чертеж точки по ее координатам?