12.7. Линии пересечения двух плоскостей общего положения
Прямую линию
пересечения двух плоскостей можно
определять по двум общим точкам. Для
этого определяются точки пересечения
двух любых прямых одной плоскости с
другой, или точки пересечения прямой
на каждой из плоскостей с другой
плоскостью.
Задача 12.8
Дано:
,
(рис.12.12)
Определить:
.
Р
ешение
Рис. 12.12. Решение задачи 12.8
Выбирают произвольно секущую вспомогательную горизонтальную плоскость . пересекает и
по точкам 1, 2, 3, 4.
пересекает заданные плоскости по прямым
12 и 34. точка их пересечения – т.
.
2) Вводим вторую
секущую плоскость
,
аналогично находим точку т.
-
есть искомая линия пересечения двух
заданных плоскостей.
Задача 12.9. Построить линию пересечения двух плоскостей, заданных треугольниками (12.13). Определить видимость линии пересечения.
Решение
Строим пересечение двух сторон одного треугольника с плоскостью второго.
Через
проводим горизонтально-проецирующую
плоскость
.
Определим
пересечение
с
.
Т.
- точка пересечения сторон
с
.
Аналогично
находим точку
- пересечения
(проходящую через прямую
).
После построения определяют видимость пересекающихся плоскостей. На фронтальной плоскости она может быть определена с помощью фронтально конкурирующих точек. Для определения видимости на горизонтальной плоскости проекций используют горизонтально конкурирующие точки.
Две плоскости в общем случае могут пересекаться в бесконечности. Тогда имеет место параллельность плоскостей. При этом следует учесть, что у параллельных плоскостей две пересекающиеся прямые одной плоскости параллельны двум пересекающимся прямым другой плоскости.
Рис.12.13. Решение задачи 12.13
Вопросы для самопроверки:
1.Принадлежность точки линии, поверхности.
2.Как построить пересечение двух плоскостей, заданных треугольниками?
13. Метрические задачи
Метрическими называются задачи, решение которых связано с нахождением характеристик геометрических фигур, определяемых (измеряемых) линейными и угловыми величинами.
Все виды сводятся к двум видам задач:
а) задачи на определение расстояний между двумя точками;
б) задачи на нахождение угла между двумя пересекающимися прямыми.
Вид а) уже рассматривали, а для того, чтобы перейти к второму, необходимо рассмотреть теорему о прямом угле:
Е
сли
одна из сторон угла параллельна плоскости
проекций, а другая сторона не перпендикулярна
ей, то прямой угол проецируется в виде
прямого угла.
Рис. 13.1. Теорема о прямом угле
Доказательство
Пусть
(рис.
13.1.).
Прямая ФС пересекает
свою проекцию
в точке
.
Через т. K
проведем прямую
.
т.к.
.
Следовательно:
,
т.е.
,
а так как
,
т.е. теорема доказана.
Примеры прямых углов приведены на рис. 13.2.
Рис. 13.2. Разные варианты проекций прямого угла