Е. А. Ровба - Высшая математика

70 Глава 1. Линейная алгебра

Замечание 1.20. Ясно, что два ненулевых вектора a и b ортогональны тогда и только тогда, когда их скалярное произведение равно нулю, т.е. a · b = 0.

Следующая теорема позволяет выражать скалярное произведение двух векторов через их координаты.

Теорема 1.13. Если a = (x1, y1, z1) и b = (x2, y2, z2), то

Д о к а з а т е л ь с т в о. Рассмотрим вектор c = a − b. По теореме косинусов (см. рис. 1.8) |c|2 = |a|2 + |b|2 − 2|a||b| cos(a, b), откуда по

По формуле (1.18), выражающей длину вектора через его коор-

динаты,

|a|2 = x21 + y12 + z12, |b|2 = x22 + y22 + z22.

Для вектора c = (x1 − x2, y1 − y2, z1 − z2) аналогично имеем:

|c|2 = (x1 − x2)2 + (y1 − y2)2 + (z1 − z2)2 =

= x21 + x22 − 2x1x2 + y12 + y22 − 2y1y2 + z12 + z22 − 2z1z2.

Подставим выражения для длин векторов a, b и c в равенство (1.24):

Скалярное произведение обладает следующими свойствами, которые легко выводятся из определения 1.68 либо координатного пред-

Скалярное произведение применяют для вычисления угла между векторами. В самом деле, по определению скалярного произведения (1.22) и представлениям через координаты скалярного произведе-

Скалярное произведение векторов на плоскости определяется так же и обладает такими же свойствами 1)–4) . В частности, если a = (x1, y1) и b = (x2, y2), то

1.3.4. n-Мерное векторное пространство

Отвлекаясь от геометрической природы вектора, мы заменили его упорядоченной тройкой чисел — координатами. Оказывается, существуют объекты различной (а не только геометрической) природы, которые ведут себя, как векторы. Таким объектам можно поставить в соответствие упорядоченный набор действительных чисел, который позволит исследовать их теми же методами, что и векторы в пространстве.

Пример 1.32. Алгебраическому многочлену третьей степени

P (x) = a0x3 + a1x2 + a2x + a3

можно поставить в соответствие упорядоченный набор (a0, a1, a2, a3) из четырех чисел — его коэффициентов.

Пример 1.33. Каждой матрице

A = a11 a12 a13

a21 a22 a23

размера 2×3 соответствует набор (a11, a12, a13, a21, a22, a23), состоящий из шести чисел.

Пример 1.34. Если для производства изделий определенного вида используется пять ресурсов, то каждому изделию этого вида можно поставить в соответствие упорядоченный набор (x1, x2, x3, x4, x5) чисел, показывающих, сколько единиц соответствующего ресурса требуется для производства изделия.

Рассмотренные примеры свидетельствуют о том, что для алгебраического описания объектов общего вида трех координат может

1.3.5. Линейная зависимость векторов

Рассмотрим систему, состоящую из k n-мерных векторов:

Определение 1.72. Вектор a называется линейной комбинацией системы векторов b1, b2, . . . , bk, если существуют такие числа λ1, λ2, . . . , λk, что

a = λ1b1 + λ2b2 + . . . + λkbk.

Определение 1.73. Система векторов b1, b2, . . . , bk называется линейно зависимой, если существуют такие числа λ1, λ2, . . . , λk, из которых хотя бы одно отлично от нуля, что

Определение 1.74. Система векторов b1, b2, . . . , bk, которая не является линейно зависимой, называется линейно независимой. Для линейно независимой системы равенство (1.27) возможно лишь в случае, когда λ1 = λ2 = . . . = λk = 0.

Теорема 1.14. Если среди векторов системы (1.26) есть нулевой вектор, то эта система линейно зависима.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть, например, b1 = 0. Тогда

1 · b1 + 0 · b2 + . . . + 0 · bk = 0.

Здесь λ1 = 1 = 0, поэтому система (1.26) линейно зависима.

Теорема 1.15. Если система (1.26) содержит линейно зависимую подсистему, то она сама линейно зависима.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть, например, векторы b1, b2, . . . , bl, где l < k, линейно зависимы. Тогда существуют такие числа λ1, λ2, . . . , λl, из которых хотя бы одно отлично от нуля, что

λ1b1 + λ2b2 + . . . + λlbl = 0.

Отсюда следует равенство

λ1b1 + λ2b2 + . . . + λlbl + 0 · bl+1 + . . . + 0 · bk = 0,

которое и означает линейную зависимость системы (1.26).

Д о к а з а т е л ь с т в о. В этом случае имеет место равенство

λ1b1 + λ2b2 + . . . + λkbk + λa = 0,

где хотя бы один из коэффициентов λ1, λ2, . . . , λk, λ не равен нулю. Коэффициент λ не может равняться нулю, так как в противном случае система (1.26) оказалась бы линейно зависимой. Теперь, действуя так же, как и при доказательстве теоремы 1.16, линейно выражаем вектор a через векторы b1, b2, . . . , bk.

Определение 1.75. Если вектор a является линейной комбинацией векторов линейно независимой системы b1, b2, . . . , bk, т.е.

то числа a1, a2, . . . , ak называются координатами вектора a в системе b1, b2, . . . , bk.

Теорема 1.18. Координаты вектора a в линейно независимой системе (1.26) определяются однозначно, т.е. разложение (1.28) единственно.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Предположим, что наряду с разложением (1.28) имеет место разложение

a = a1b1 + a2b2 + . . . + akbk.

Вычтем почленно одно разложение вектора a из другого:

0= (a1 − a1)b1 + (a2 − a2)b2 + . . . + (ak − ak)bk.

Всилу линейной независимости системы (1.26) все коэффициенты при векторах этой системы должны быть равны нулю. Значит, имеют место равенства a1 = a1, a2 = a2, . . . , ak = ak, из которых следует

единственность разложения.

Определение 1.76. Единичными векторами n-мерного пространства назовем векторы

e1 = (1, 0, 0, . . . , 0), e2 = (0, 1, 0, . . . , 0), . . . , en = (0, 0, 0, . . . , 1). (1.29)

Теорема 1.19. Система единичных векторов (1.29) линейно независима.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Предположим, что

λ1e1 + λ2e2 + . . . + λnen = 0.

Тогда по определению единичных векторов (1.29)

λ1(1, 0, . . . , 0) + λ2(0, 1, . . . , 0) + λn(0, 0, . . . , 1) = (0, 0, . . . , 0),

а значит,

(λ1, λ2, . . . , λn) = (0, 0, . . . , 0).

Отсюда следует, что λ1 = λ2 = . . . = λn = 0. Значит, система (1.29) линейно независима.

Теорема 1.20. Любой вектор a = (a1, a2, . . . , an) n-мерного пространства является линейной комбинацией единичных векторов этого пространства, причем координаты вектора a в системе (1.29) совпадают с его координатами a1, a2, . . . , an.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть a = (a1, a2, . . . , an). Тогда очевидно, что

a = a1(1, 0, . . . , 0) + a2(0, 1, . . . , 0) + . . . + an(0, 0, . . . , 1) = = a1e1 + a2e2 + . . . + anen.

1.3.6. Базис и ранг системы векторов

Определение 1.77. Базисом системы векторов a1, a2, . . . , am

называется содержащая максимально возможное количество векторов ее линейно независимая подсистема.

Замечание 1.21. Система векторов может иметь несколько базисов, причем все они содержат одинаковое число векторов.

Определение 1.78. Число элементов базиса называется рангом системы векторов.

Сгруппируем слагаемые при b1, b2, . . . , bk:

+a1kλ1 + a2kλ2 + . . . + amkλm bk = 0.

Всилу линейной независимости системы b1, b2, . . . , bk последнее равенство равносильно однородной системе линейных уравнений

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

a1kλ1 + a2kλ2 + . . . + amkλm = 0.

По теореме 1.7 эта система имеет ненулевые решения тогда и только тогда, когда ранг r матрицы (1.30) меньше числа неизвестных m.

Следствие 1.4. Для того чтобы система из k векторов была линейно независимой, необходимо и достаточно, чтобы ее матрица в любой линейно независимой системе, состоящей из k векторов, была невырожденной.

Следствие 1.5. Система из m векторов, представимых в виде линейных комбинаций векторов k-элементной линейно независимой системы, линейно зависима, если m > k.

Теорема 1.22. Ранг системы векторов a1, a2, . . . , am равен рангу r матрицы A этой системы в любой линейно независимой системе b1, b2, . . . , bk, причем в качестве базиса системы a1, a2, . . . , am можно взять ее подсистему, соответствующую произвольному базисному минору матрицы A.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть подсистема an1 , an2 , . . . , anr соответствует базисному минору матрицы A. Тогда ранг матрицы A этой

подсистемы в системе b1, b2, . . . , bk равен r и равен числу векторов подсистемы. По теореме 1.21 это означает, что построенная подсистема линейно независима.

Выберем произвольную подсистему an1 , an2 , . . . , anl , количество векторов которой l больше ранга r матрицы A. Ранг матрицы A этой подсистемы в системе b1, b2, . . . , bk не превосходит ранга r всей матрицы A. Таким образом, количество векторов построенной подсистемы больше ранга матрицы A этой подсистемы. Согласно теореме 1.21 такая подсистема линейно зависима.

Пример 1.35. Найти ранг и какой-либо базис системы векторов a1 = (11, 3, 8, −2), a2 = (7, 2, 3, 3), a3 = (4, 1, 5, −5).

Р е ш е н и е. Матрица данной системы векторов в системе единичных векторов совпадает с матрицей A, рассмотренной в примере 1.25. Мы нашли, что rank A = 2, а в качестве базисного можно взять минор матрицы A, стоящий на пересечении строк 1 и 3 со столбцами 1 и 2. Тогда по теореме 1.22 ранг данной системы векторов равен 2, а в качестве базиса можно взять векторы a1 и a3.

1.3.7. Базис пространства

Определение 1.80. Базисом n-мерного векторного пространства назовем любые n линейно независимых векторов этого пространства.

Теорема 1.23. Любой вектор a n-мерного векторного пространства разлагается по любому базису этого пространства b1, b2, . . . , bn, причем единственным образом.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Добавив к векторам b1, b2, . . . , bn вектор a, получим систему n + 1 векторов, каждый из которых в силу теоремы 1.20 представим в виде линейной комбинации линейно независимых по теореме 1.19 n единичных векторов (1.29). Согласно следствию 1.5 система b1, b2, . . . , bn, a линейно зависима. Для завершения доказательства достаточно вспомнить теоремы 1.17 и 1.18.

Теорема 1.24. Не существует линейно независимой системы b1, b2, . . . , bk с числом векторов k, меньшим n, по которой бы разлагался любой вектор n-мерного векторного пространства.