Е. А. Ровба - Высшая математика

1.1.6. Элементарные преобразования

Как мы уже могли заметить, решая пример 1.16, нахождение определителя четвертого и б´ольших порядков требует значительных вычислительных затрат. Рассмотрим способ повышения вычислительной эффективности этой процедуры.

Определение 1.29. Будем называть элементарными преобразованиями матриц следующие действия:

1)перестановку местами двух параллельных рядов;

2)умножение всех элементов ряда матрицы на число k, отличное от нуля;

3)добавление ко всем элементам любого ряда матрицы соответствующих элементов параллельного ряда, умноженных на одно и то же число.

Определение 1.30. Две матрицы A и B называются эквивалентными, если одна из них получается из другой с помощью элементарных преобразований. При этом пишут A B.

Применяя свойства определителей, посмотрим, как влияют элементарные преобразования квадратной матрицы на значение ее определителя. Первое из преобразований определения 1.29 по свойству 2 изменяет знак определителя, второе — по свойству 3 приводит к умножению значения определителя на число k, третье — по свойству 8 не влияет на значение определителя.

Подвергая квадратную матрицу порядка n элементарным преобразованиям, можно добиться того, чтобы в каком-либо из ее рядов все элементы, кроме одного, обратились в нуль. Тогда, разложив определитель преобразованной матрицы по элементам такого ряда, мы сведем вычисление определителя порядка n к вычислению одного (а не n) определителя порядка n − 1.

Пример 1.20. Применяя элементарные преобразования, вычислить определитель из примера 1.16.

Р е ш е н и е. Применяя элементарное преобразование 3, преобразуем данный определитель так, чтобы все элементы его первой строки, кроме элемента 1, который мы будем называть разрешающим, стали равны нулю. Для этого будем брать первый столбец и, домножая его

на −5 и 7, добавлять к третьему и четвертому столбцам соответственно. Выбор элемента 1 в качестве разрешающего обусловлен тем, что на него без остатка делятся остальные элементы первой строки. Данный прием позволяет избежать дробей в вычислениях:

Полученный определитель третьего порядка вычислим аналогичным способом. Начнем с того, что вынесем за знак определителя множитель 3 из первой строки, а также множители 2 и 5 из второго и третьего столбцов:

примере 1.16, причем выкладки существенно сократились.

1.1.7. Обратная матрица

Определение 1.31. Пусть A — квадратная матрица. Матрица A−1 называется обратной для A, если

AA−1 = A−1A = E,

где E — единичная матрица.

Теорема 1.2. Если для квадратной матрицы A существует обратная, то она единственная.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Предположим, что для матрицы A существуют две обратные матрицы: A−1 1 и A−2 1. Тогда по определению обратной матрицы

A−1 1 = A−1 1E = A−1 1(AA−2 1) = (A−1 1A)A2−1 = EA−2 1 = A−2 1.

Итак, все обратные матрицы совпадают, т.е. обратная матрица единственная.

Определение 1.32. Квадратная матрица A называется невырожденной, если ее определитель не равен нулю: det A = 0. В противном случае, когда det A = 0, матрица называется вырожденной.

Определение 1.33. Матрица A , транспонированная к матрице, составленной из алгебраических дополнений квадратной матрицы A, называется присоединенной к матрице A.

Пример 1.21. Выпишем квадратную матрицу A третьего порядка и присоединенную к ней матрицу A :

Теорема 1.3. Для квадратной матрицы A существует обратная тогда и только тогда, когда матрица A невырожденная. При этом

где A — присоединенная матрица.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Необходимость. Предположим, что для матрицы A существует обратная матрица A−1. Тогда AA−1 = E, и по свойствам 9 и 5 определителей

|A| · |A−1| = |AA−1| = |E| = 1.

1.Вычисляем определитель |A|. Если |A| = 0, то матрица A вырожденная и обратная A−1 не существует. Если |A| = 0, т.е. матрица A невырожденная, то продолжаем вычисления.

2.Находим алгебраические дополнения для всех элементов матрицы A.

3.Строим присоединенную матрицу A .

4.Выписываем обратную матрицу A−1 по формуле (1.6).

3.Выписываем присоединенную матрицу:

Выполним проверку. По определению обратной матрицы, перемножив матрицы A и A−1, мы должны получить единичную матри-

Замечание 1.10. Для квадратной матрицы второго порядка присоединенная матрица находится по следующему простому правилу: элементы главной диагонали меняются местами, а элементы побочной диагонали умножаются на −1. Это позволяет для любой невырожденной квадратной матрицы A второго порядка быстро находить обратную ей матрицу A−1:

1.1.8. Матричные уравнения

Определение 1.34. Уравнение, где неизвестной является матрица, называется матричным уравнением.

Матричные уравнения можно решать с помощью обратной матрицы. Различают следующие виды матричных уравнений:

Здесь X — неизвестная матрица. Все матрицы в левой части уравнения должны быть согласованными. С обеих сторон от знака «=» должны быть матрицы одинаковых размеров.

Теорема 1.4. Если матрицы A и C квадратные и невырожденные, то матричные уравнения (1.8) имеют единственные решения, которые могут быть найдены по формулам:

X = A−1B, X = BA−1, X = A−1BC−1.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Домножая левую и правую части первого уравнения слева на матрицу A−1, получаем:

A−1(AX) = A−1B, (A−1A)X = A−1B, EX = A−1B, X = A−1B.

Домножая второе уравнение справа на матрицу A−1, аналогично находим, что X = BA−1.

Третье уравнение слева домножим на A−1, а справа — на C−1:

A−1AXCC−1 = A−1BC−1, EXE = A−1BC−1, X = A−1BC−1.

убеждает нас в верности полученного результата.

1.1.9. Ранг матрицы

Определение 1.35. Рассмотрим матрицу A размера m × n. Для

1 k min{m, n} минорами порядка k матрицы A называются определители, которые состоят из элементов матрицы A, стоящих на пересечении любых k строк и k столбцов матрицы A.

Определение 1.36. Наивысший порядок отличных от нуля миноров матрицы A называется ее рангом и обозначается rank A.

Определение 1.37. Отличный от нуля минор, порядок которого равен рангу матрицы, называется базисным.

Пример 1.24. Рассмотрим матрицу

Эта матрицы имеет шесть миноров порядка 1 (ее элементы). У нее есть три минора порядка 2:

Очевидно, что миноров порядка 3 и выше у матрицы A нет. Матрица A содержит минор второго порядка, отличный от нуля,

например второй из миноров (1.9). Это максимально возможный порядок миноров. Следовательно, rank A = 2. Базисных, т.е. отличных от нуля, миноров порядка 2 в данном случае два: второй и третий из миноров (1.9).

Свойства ранга матрицы

1.Для матрицы A размера m × n ее ранг rank A min{m, n}.

2.Ранг матрицы не меняется при транспонировании.

3.Ранг матрицы не меняется при вычеркивании нулевого ряда.

4.Ранг матрицы не меняется в результате элементарных преобразований.

5.Ранг ступенчатой матрицы равен числу ее строк.

Доказательства этих утверждений легко выводятся из свойств определителей.

Для нахождения ранга матрицы можно, следуя определению, перебирать миноры матрицы1. Мы же обратим внимание на весьма эффективный метод элементарных преобразований, основанный на рассмотренных свойствах ранга матрицы. Суть этого метода в том, что матрица приводится к ступенчатому виду путем проведения элементарных преобразований и вычеркивания нулевых рядов.

Пример 1.25. Найти методом элементарных преобразований

Р е ш е н и е. Выберем в матрице A элемент 1 в качестве разрешающего и занулим с его помощью другие элементы второго столбца:

1Отметим, что метод окаймления миноров, с которым можно ознакомиться

вучебнике А.Г. Куроша «Курс высшей алгебры» [17], позволяет существенно сократить количество вычисляемых миноров.

Переписывая третью строку, содержащую разрешающий элемент без изменений, проделаем аналогичную процедуру с первыми двумя строками:

Приведение матрицы A к ступенчатому виду завершилось вычеркиванием нулевой второй строки.

Полученная ступенчатая матрица имеет две строки, поэтому rank A = 2. Определитель, составленный из двух первых столбцов ступенчатой матрицы, не равен нулю. Значит, в качестве базисного минора матрицы A можно взять соответствующий минор

1 и 2 матрицы A.

1.2.Системы линейных алгебраических уравнений

1.2.1. Основные понятия

Определение 1.38. Системой m линейных алгебраических уравнений с n неизвестными (СЛАУ) называется система уравнений следующего вида:

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

am1x1 + am2x2 + . . . + amnxn = bm.

Числа aij называются коэффициентами при неизвестных, а bi —

свободными членами уравнений системы.