Добавил:

Ivanoff228 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Казанский национальный исследовательский технический университет им. А. Н. Туполева

Предмет:

Высшая математика

Файл:

Е. А. Ровба - Высшая математика

.pdf

Скачиваний:

124

Добавлен:

21.01.2022

Размер:

1.93 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 2425 / 4125 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 > Следующая >>>

240 Глава 5. Теория интегрирования

Метод интегрирования подстановкой (замена переменной)

Теорема 5.2. Пусть функция x = ϕ(t) определена и дифференцируема на интервале (α, β) и (a, b) — множество ее значений. Пусть функция y = f(x) определена на (a, b) и имеет на этом промежутке первообразную. Тогда справедлива формула

	*	f(x) dx x=ϕ(t) = *		f (ϕ(t)) ϕ (t) dt.	(5.1)

Д о к а з а т е л ь с т в о.			Пусть функция F (x) является первооб-
разной для функции f(x). Тогда
*	f(x) dx x=ϕ(t) = (F (x) + C) x=ϕ(t) = F (ϕ(t)) + C.				(5.2)

Теперь рассмотрим на промежутке T сложную функцию F (ϕ(t)). По теореме 4.4

(F (ϕ(t))) = F (x)ϕ (t) = f(x)ϕ (t),

т.е. функция F (ϕ(t)) является первообразной для функции f(x)ϕ (t) и

f (ϕ(t)) ϕ (t) dt = F (ϕ(t)) + C.

(5.3)

Сравнивая правые части формул (5.2) и (5.3), получаем требуе-

мую формулу.
Пример 5.2. Вычислить интеграл *	ln5 x	dx
			.
		x

Р е ш е н и е. В таблице основных интегралов этот интеграл отсутствует, поэтому в данном случае постараемся подобрать подходящую замену переменной, чтобы прийти к табличному интегралу. Положим ln x = t , т.е. x = et. Тогда

dx = d(et) = (et) dt = et dt,

и по формуле (5.1) имеем:
*	ln5 x	dx		*	1			*		t6
			=		t5		et dt =		t5 dt =		+ C.
		x				et				6

5.1. Неопределенный интеграл	241

Вернемся к переменной x:

*ln5 xdx = ln6 x + C. x 6

Отметим, что иногда, как в этом примере, первоначально удобно задавать не x как функцию t, а, наоборот, задавать t как функцию x.

Теперь рассмотрим несколько иной подход к решению этого

примера. Заметив, что 1/x = (ln x)					, получим:
*	ln5 x	dx	= *	ln5 x(ln x) dx =	*	ln5 x d ln x =	1	(ln x)6 + C.

		x					6

На последнем шаге мы неявно воспользовались заменой ln x = t.

Замечание 5.4. Если F есть первообразная для функции f, то

* f(ax + b) dx =

F (ax + b) + C, a, b R, a = 0.

Д о к а з а т е л ь с т в о. В рассматриваемом интеграле сделаем

замену:

t − b,

ax + b = t,

x =

dx =

dt,

тогда

f(ax + b) dx = * f(t)

dt =

f(t) dt =

F (t) + C =

F (ax + b) + C.

Пример 5.3. Вычислить интеграл *

cos(5x − 3) dx.

Р е ш е н и е. Обратим внимание на интеграл 6 таблицы основных

интегралов:

cos x dx = sin x + C.

Учитывая замечание 5.4 (a = 5, b = 3), получаем:

cos(5x −

3) dx =

sin(5x − 3) + C.

242 Глава 5. Теория интегрирования

Метод интегрирования по частям

Теорема 5.3. Пусть функции u = u(x) и v = v(x) имеют

непрерывные производные на интервале (a, b). Tогда справедлива формула

* u(x)v (x) dx = u(x)v(x) − * v(x)u (x) dx.

(5.4)

Д о к а з а т е л ь с т в о. По правилу дифференцирования произведения имеем:

	(u(x)v(x)) = u (x)v(x) + u(x)v (x).
Отсюда получим:
	u(x)v (x) = (u(x)v(x))			− u (x)v(x),		(5.5)
поэтому
*	u(x)v (x) dx = *
		(u(x)v(x)) − u (x)v(x) dx =
	= * (u(x)v(x)) dx − *		u (x)v(x) dx = u(x)v(x) − *			u (x)v(x) dx.
	Учитывая, что u (x) dx = du и v (x) dx = dv, формулу (5.4) можно
записать в виде		*	u dv = uv − *
				v du.		(5.6)
	Пример 5.4. Вычислить интеграл			*	xex dx.

Р е ш е н и е. Основная трудность применения интегрирования по частям состоит в правильном выборе функций u и v, т.е. в таком выборе, чтобы интеграл справа в формуле (5.4) или (5.6) оказался проще, чем интеграл слева. В данном случае удобно положить x = u, ex dx = dv. Найдем функцию v (точнее, одну из функций v):

dv = ex dx, v = ex.

5.1. Неопределенный интеграл			243

Применив формулу (5.6), получим:
*	xex dx = *	x dex = xex − *	ex dx = xex − ex + C.

При наличии определенных навыков интегрирования по частям можно не выписывать функции u и v, а только подразумевать их.

Например,		x(ex) dx = *	x dex = xex − *
*	xex dx = *			ex dx = xex − ex + C.

Интегрирование простейших рациональных дробей

Определение 5.4. Простейшими рациональными дробями назовем следующие функции:

1)	A			;

	x − a
2)		A			, k > 1, k N;
	(x	−	a)k

	Mx + N
3)						dx, p2 − q < 0;
	x2 + 2px + q
4)		Mx + N					dx, k > 1, k N, p2 − q < 0.

	(x2 + 2px + q)k

С помощью приведенных выше методов можно найти интегралы от указанных рациональных дробей.

1.x − a dx = A ln |x − a| + C.

Д о к а з а т е л ь с т в о. С помощью таблицы интегралов (инте-

грал 2) получим:

dx = A

d(x − a)

= A ln x

+ C.

* x − a

x − a

| −

dx = −

+ C.

(x − a)k

k − 1

(x − a)k−1

244

Глава 5. Теория интегрирования

Д о к а з а т е л ь с т в о. С помощью таблицы интегралов (инте-

грал 1) получим:

dx = A * (x − a)−k d(x − a) = −

(x − a)−k+1 + C =

(x − a)k

k − 1

= −

+ C, k > 1.

k − 1

(x − a)k−1

Mx + N

dx=

x2+2px+q

N−Mp

arctg

x+p

+ C.

x2+2px+q

q−p2

Д о к а з а т е л ь с т в о. Отметим, что !в рассматриваемом!

случае,

когда p2 − q < 0, трехчлен, стоящий в знаменателе подынтегральной функции, не имеет действительных корней. Выделим в нем полный квадрат:

x2 + 2px + q = (x + p)2 + q − p2 = (x + p)2 + h2,

где h2 = q − p2 > 0 (считаем h > 0).

Теперь сделаем замену:

x + p = t, x = t − p, dx = dt

и получим:

Mx + N

dx =

M(t − p) + N

dt =

x2 + 2px + q

t2 + h2

− Mp) *

= M *

+ (N

t2 + h2

(t2 + h2) dt

+ (N − Mp)

t2 + h2

1 +

ln |t2 + h2| + (N − Mp)

arctg

+ C =

+ 2px + q

N − Mp

arctg

x + p

+ C.

!q − p2

Mx + N

dx.

(x2 + 2px + q)k

5.1. Неопределенный интеграл	245

До к а з а т е л ь с т в о. Выделим полный квадрат в знаменателе

исделаем замену x + p = t. Будем иметь:

Mx + N

dx = *

Mx + N

dx =

(x2 + 2px + q)k

(x + p)2 + h2

M(t

−

p) + N

t dt

dt = M

+ (N Mp)

−

t2 + h2

Первый интеграл в правой части последнего равенства легко

вычисляется:

−

t dt

+ h2

−

k d t2 + h2

t2 + h2 k

2(1

k) t2 + h2

k−1

+ C.

Для нахождения второго интеграла сначала введем обозначение

Jk =

k .

+ h2

Тогда

(t2 + h2) − t2

dt =

(t2 + h2)k

− *

t2 dt

(t2 + h2)k−1

(t2 + h2)k

Jk−1 − *

t2 dt

(5.7)

(t2 + h2)k

К последнему интегралу применим метод интегрирования по

частям (см. формулу (5.6)). При этом

u = t,

dv =

t dt

2 k

+ h )

Тогда du = dt и

v =

2(1

k−1 .

2 * (t2 + h2)−k d(t2 + h2) =

k) t2 + h2

−

246

Глава 5.

Теория интегрирования

Значит,

t2 dt

−

(t2 + h2)k

2(1 − k)(t2 + h2)k−1

2(1 − k)

(t2 + h2)k−1

−

Jk−1.

2(1

−

k)(t2 + h2)k−1

2(1

−

Подставив последнее соотношение в равенство (5.7), получим:

Jk =

Jk−1 −

Jk−1

или

2(1 − k)(t2 + h2)k−1

2(1 − k)

2(k

(5.8)

t2 + h2

k = h2

− 2 Jk−1

1)(t2 + h2)k−1

−

Формула (5.8) позволяет найти интеграл Jk для любого нату-

рального числа k > 1.

Пример 5.5. Найти интеграл *

x2 + 2x + 5

Р е ш е н и е. Можно воспользоваться результатом вычислений, проведенных для интеграла 3, положив

M = 0, N = 1, p = 1, q = 5.

Однако проще непосредственно интегрировать, используя аналогичные приемы.

Выделив полный квадрат, получим:

= *

x2 + 2x + 5

(x − 1)2 + 4

Сделаем замену: x + 1 = t, x = t − 1, dx = dt. Тогда

d(t/2)

= *

x2 + 2x + 5

t2 + 4

1 + (t/2)2

arctg

+ C =

arctg

x + 1

+ C.

	5.1. Неопределенный интеграл	247

	Пример 5.6. Найти интеграл
	3x − 5	dx.
	* x2 − 6x + 10	dx.
	* x2 − 6x + 10

Р е ш е н и е. Имеем:

3x 5

x − 3 = t,

−

dx =

−2

x = t + 3,

−

dx =

6x + 10

3) + 1

dx = dt

3(t + 3)

3t + 4

t dt

−

dt =

dt = 3

+ 4

t2 + 1

+ 1

* t2

ln(t2 + 1) + 4 arctg t + C =

ln(x2 − 6x + 10) + 4 arctg(x − 3) + C.

Пример 5.7. Найти интеграл

(x2 + 1)3

Р е ш е н и е. Воспользуемся реккурентным

соотношением (5.8)

при h = 1. Получим:

J1 = *

= arctg x + C,

x2 + 1

2 · 2 − 3

(x2 + 1)2

− 1)(x2 + 1)2−1

2 · 2 − 2

2(2

arctg x +

+ C,

2(x2 + 1)

2 · 3 − 3

(x2 + 1)3

− 1)(x2 + 1)3−1

2 · 3 − 2

2(3

arctg x +

+ C.

2(x2 + 1)

4(x2 + 1)2

248	Глава 5. Теория интегрирования

5.2.Интегрирование некоторых классов функций

5.2.1. Интегрирование рациональных функций

Ознакомимся с методами интегрирования рациональных функций, т.е. функций вида P (x)/Q(x), где P и Q — алгебраические многочлены:

P (x) = a0xm + a1xm−1 + . . . + am−1x + am,

Q(x) = b0xn + b1xn−1 + . . . + bn−1x + bn.

Если m < n, то рациональная функция называется правильной. Если m n, то рациональная функция называется неправильной.

В случае неправильной рациональной функции производят деление и получают:

P (x)

= S(x) +

P1(x)

Q(x)

где S(x) — некоторый

многочлен; P1(x)/Q(x) — правильная рацио-

нальная функция.

Например,

x3 + 2x2 + x + 1

(x3 + x) + 2x2 + 2 − 1

= x + 2

x2 + 1

− x2 + 1

Поэтому в дальнейшем будем полагать, что P (x)/Q(x) есть правильная рациональная функция.

Можно доказать, что любой многочлен преобразовывается к произведению простейших многочленов, а именно:

Qn(x) = A(x − x1)l1 (x − x2)l2 · · · (x − xr)lr (x2 + 2p1x + q1)t1 ×
× (x2 + 2p2x + q2)t2 · · · (x2 + 2psx + qs)ts , (5.9)
где x1, x2, . . . , xr R; l1, l2, . . . , lr N; t1, t2, . . . , ts	2N; pi2 − qi < 0,
i = 1, 2, . . . , s. Последнее означает, что многочлены x	+ 2pix + qi не

имеют действительных корней. Этот факт устанавливается в расширенном курсе высшей математики.

5.2. Интегрирование некоторых классов функций	249

Примем без доказательства также следующее утверждение: если отношение P (x)/Q(x) есть правильная рациональная функция и многочлен Q(x) имеет вид (5.9), то данную функцию можно единственным образом представить в виде

P (x)

Ak(1)

Ak(2)

Ak(r)

−

Q(x)

(x x2)

k + . . . +

(x x1)

k=1

(x xr)

k=1

Mk(1)

+ Nk(1)

k=1

(x + 2p1x + q1)

Mk(2) + Nk(2)

Mk(s)

+ Nk(s)

, (5.10)

+ . . . +

k=1

(x + 2p2x + q2)

k=1

(x + 2psx + qs)

где A(ki), Mk(i), Nk(i) — некоторые вещественные числа.

Выражение (5.10) называется разложением на простейшие рациональные дроби. Поскольку ранее мы рассмотрели методы интегрирования таких дробей, то, имея разложение (5.10), легко найти неопределенный интеграл от рациональной функции P (x)/Q(x). Этот интеграл будет выражаться через рациональные функции, логарифмы и арктангенсы.

Таким образом, главная задача при интегрировании рациональных функций состоит в нахождении разложения (5.10). Если известно представление (5.9), то коэффициенты A(ki), Mk(i), Nk(i) можно искать методом неопределенных коэффициентов. Суть этого метода состоит в следующем. Записывают представление (5.10) с неопределенными коэффициентами A(ki), Mk(i), Nk(i). Затем выражение в правой части приводят к общему знаменателю и получают в числителе некоторый многочлен. Сравнивая коэффициенты при одинаковых степенях у этого многочлена P (x), получают систему уравнений для определения коэффициентов A(ki), Mk(i), Nk(i). Решив ее, находят эти коэффициенты.

Отметим также, что для поиска неизвестных коэффициентов можно использовать и другие приемы, например метод частных значений.

Проиллюстрируем изложенное на примерах.

<<< < Предыдущая 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 2425 / 4125 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 > Следующая >>>