Е. А. Ровба - Высшая математика
.pdf
170 |
|
|
|
|
|
|
Глава 3. |
Предел последовательности и функции |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
1) |
sin α(x) α(x); |
|
|
2) |
tg α(x) α(x); |
|
|
|
|
||||||||||||
3) |
arcsin α(x) α(x); |
|
4) |
arctg α(x) α(x); |
|
|
|||||||||||||||
5) |
loga |
1 + α(x) |
|
α(x) |
; |
6) |
ln 1 + α(x) |
|
α(x); |
|
|||||||||||
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
α(x) |
|
|
|
|
ln a |
|
8) |
e |
α(x) |
|
1 |
|
|
|
|
|
|||
7) a |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
− |
|
α(x); |
|
|
||||||
|
|
|
α(x) ln a; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
− |
|
k |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
α |
(x) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
9) |
1 + α(x) |
− 1 kα(x); |
10) |
!1 + α(x) − 1 |
|
. |
|||||||||||||||
|
2 |
||||||||||||||||||||
Замечание 3.8. Из таблицы эквивалентностей следует, что функции f(x) = sin x и g(x) = x являются эквивалентными в окрестности точки x = 0, т.е. sin x x при x → 0. Иначе говоря, значения многочлена g(x) = x в окрестности точки x = 0 мало отличаются от значений функции f(x) = sin x; или можно сказать, что многочлен g(x) = x приближает функцию f(x) = sin x в окрестности точки x = 0 (рис. 3.48).
|
y |
|
= |
x |
|
|
|
|
y |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y = cos x |
||||
|
|
|
|
|
y = sin x |
|
|
|
|
|
|||||||
−δ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
O δ |
|
|
x |
−δ |
|
|
O |
|
δ |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x2 |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y = 1 − |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|||
|
|
Рис. 3.48 |
|
|
|
|
Рис. 3.49 |
|
|
|
|
||||||
Пример 3.41. Показать, что 1 − cos x x2/2 при x → 0. |
|||||||||||||||||
Р е ш е н и е. В самом деле, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
lim |
|
1 − cos x |
= lim |
2 sin2(x/2) |
= lim |
sin(x/2) |
2 |
= 1. |
|
|
|||||||
|
|
x2/2 |
x/2 |
|
|
|
|||||||||||
x→0 |
|
|
x2/2 |
|
x→0 |
x→0 |
|
|
|
|
|||||||
Значит, функция cos x приближается многочленом 1 − x2/2 в окрестности точки x = 0 (рис. 3.49). 
Следующие две теоремы существенно упрощают вычисление некоторых пределов.
3.4. Непрерывные функции |
171 |
|
|
Теорема 3.11. Если α(x), β(x) — эквивалентные БМФ при x → a, а функция f(x) имеет предел при x → a, то
α(x)f(x) β(x)f(x), x → a.
Теорема 3.12. Предел отношения двух БМФ не изменится, если любую из них заменить эквивалентной ей бесконечно малой функцией.
Пример 3.42. Найти lim sin 3x (ср. с примером 3.39).
x→0 x
Р е ш е н и е. Функция α(x) = 3x бесконечно малая при x → 0. Согласно таблице эквивалентностей отсюда следует, что sin 3x 3x при x → 0. Тогда по теореме 3.12
lim |
sin 3x |
= lim |
3x |
= 3. |
|||
x |
|
x |
|
||||
x→0 |
x→0 |
|
|||||
3.4. Непрерывные функции
3.4.1. Непрерывность функции в точке
В этом разделе мы будем рассматривать функции, обладающие одним из фундаментальных свойств в математике, — свойством непрерывности.
Определение 3.53. Функция f, определенная в некоторой окрестности точки x = a, включая саму точку a, называется непрерывной в точке a, если
lim f(x) = f(a), |
(3.12) |
x→a
т.е. предел функции и ее значение в точке a равны.
Пример 3.43. Функция y = sign x (см. рис. 3.6) является непрерывной для всех x = 0. В точке x = 0 она не является непрерывной, так как в соответствии с теоремой 3.7 и задачей 3.36 в этой точке не существует ее предела.
172 |
Глава 3. Предел последовательности и функции |
|
|
Определение 3.54. Функция f называется непрерывной справа в точке a (рис. 3.50), если
lim f(x) = f(a),
x→a+0
и непрерывной слева в точке a (рис. 3.51), если
lim |
f(x) = f(a). |
x→a−0 |
|
y |
y |
f(a)
y = f(x) |
f(a) |
|
y = f(x)
O |
a |
x |
O |
a |
x |
|
Рис. 3.50 |
|
|
Рис. 3.51 |
|
Пример 3.44. Рассмотрим функцию f(x) = [x], задающую целую часть числа x (рис. 3.52). В точке a = 2 для этой функции найдем:
f(2) = 2, lim f(x) = 2, |
lim f(x) = 1. |
x→2+0 |
x→2−0 |
y 
3
2
1 
O1 2 3 4 x
Рис. 3.52
Итак, функция f(x) непрерывна справа в точке a = 2, но не является непрерывной слева и непрерывной в обычном смысле в этой точке.
3.4. Непрерывные функции |
173 |
|
|
Теорема 3.13. Для того чтобы функция f была непрерывной в точке a, необходимо и достаточно, чтобы она была непрерывной в этой точке справа и слева.
Данная теорема является по существу переформулированной теоремой 3.7 об односторонних пределах. Приведем еще одно определение непрерывной в точке функции. Если учесть, что соотношения x → a и (x − a) → 0 равносильны, то получим, что условие (3.12) непрерывности функции f в точке a запишется в виде
lim |
f(x) |
− |
f(a) |
= 0. |
(3.13) |
x−a→0 |
|
|
|
|
|
Определение 3.55. Разность x − a называется приращением |
|||||
аргумента x в точке a и обозначается |
x, а разность f(x) − f(a) |
||||
называется приращением функции f в точке a и обозначается y:
x = x − a, |
y = f(x) − f(a), |
иначе x = a + x, y = f(a) + |
y. |
Теперь условие (3.13) можно записать так: lim y = 0. Тогда
x→0
новое определение непрерывности функции в точке будет следующим.
Определение 3.56. Функция f называется непрерывной в точке a, если ее приращение в этой точке есть БМФ, когда приращение аргумента стремится к нулю.
Данное определение выражает геометрический смысл непрерывной в точке функции (рис. 3.53).
y |
|
|
|
|
|
f(a + x) |
|
|
|
y |
|
f(a) |
|
|
|
x |
|
|
|
|
O |
a a+Δx x |
|
Рис. 3.53
174 |
Глава 3. Предел последовательности и функции |
|
|
3.4.2.Теоремы о непрерывных в точке функциях
Рассмотрим для начала алгебраические свойства непрерывных в точке функций.
Теорема 3.14. Пусть функции f(x) и g(x) непрерывны в точке x = a. Тогда функции
f(x) ± g(x), f(x)g(x), |
f(x) |
, g(a) = 0, |
|
||
g(x) |
||
также непрерывны в точке a. |
|
|
Д о к а з а т е л ь с т в о. Действительно, пусть функции f(x) и g(x) непрерывны в точке a. Тогда
lim f(x) = f(a), |
lim g(x) = g(a). |
x→a |
x→a |
Следовательно,
lim f(x) + g(x) |
= lim f(x) + lim g(x) = f(a) + g(a). |
|
x→a |
x→a |
x→a |
Аналогично рассматриваются остальные случаи.
Теорема 3.15 (о непрерывности сложной функции).
Пусть функция y = f(x) непрерывна в точке x0, а функция z = g(y) непрерывна в точке y0, где y0 = f(x0). Тогда сложная функция g(f(x)) непрерывна в точке x0. Иными словами, суперпозиция непрерывных функций есть функция непрерывная.
Д о к а з а т е л ь с т в о. Возьмем произвольную последовательность точек {xn}, для которой
lim xn = x0.
x→∞
Тогда из непрерывности функции f(x) в точке x0 и определения предела функции по Гейне следует, что
lim f(x) = f(x0), |
lim f(xn) = f(x0). |
x→x0 |
n→∞ |
3.4. Непрерывные функции |
175 |
|
|
Обозначив f(xn) через yn для n N, получим:
lim yn = y0.
n→∞
Поскольку функция g(y) непрерывна в точке y0, то
lim g(y) = g(y0), |
lim g(yn) = g(y0). |
y→y0 |
n→∞ |
Итак, доказано, что для любой последовательности {xn}, сходящейся к x0, соответствующая последовательность {g(f(xn))} сходится к g(f(x0)). Следовательно,
lim g(f(x)) = g(f(x0)).
x→x0
Теорема 3.16 (о непрерывности обратной функции).
Пусть функция f : X → Y непрерывна в точке x0 X. Тогда, если для функции f существует обратная функция f−1 : Y → X, она непрерывна в точке y0 = f(x0).
3.4.3. Точки разрыва и их классификация
Определение 3.57. Точками разрыва функции f называются те точки, в которых функция f не является непрерывной.
В зависимости от своего характера разрывы допускают следующую классификацию.
Определение 3.58. Точка разрыва a функции f(x) называется: 1) точкой разрыва первого рода, если в ней существуют левосто-
ронний и правосторонний пределы функции f(x), причем если они: а) равны, т.е.
lim f(x) = lim f(x),
x→a−0 x→a+0
то a называется точкой устранимого разрыва; б) различны, т.е.
lim f(x) = lim f(x),
x→a−0 x→a+0
176 Глава 3. Предел последовательности и функции
то a называется точкой конечного разрыва, а модуль разности левостороннего и правостороннего пределов
|
|
|
|
|
h = |
|
lim |
lim |
|
|
x→a−0 f(x) − x→a+0 f(x) |
|||
называется скачком функции |
f(x) в точке a; |
|
||
2) точкой разрыва второго рода, если она не является точкой разрыва первого рода, т.е. если в ней не существует хотя бы один из односторонних пределов.
В точках устранимого разрыва в силу равенства односторонних пределов существует двусторонний предел, доопределив функцию значением которого, можно сделать ее непрерывной, т.е. «устранить» разрыв.
Пример 3.45. Рассмотрим функцию f(x) = sin x/x. Ее график, называемый мексиканской шляпой, изображен на рис. 3.54.
y |
|
|
1 |
|
|
|
y = |
sin x |
|
|
x |
O π |
2π |
x |
Рис. 3.54
Функция f(x) не задана и, следовательно, терпит разрыв в нуле. По формуле (3.8) предел f(x) в нуле равен единице, поэтому точка a = 0 является точкой устранимого разрыва. В самом деле, доопределив f(x) в нуле по непрерывности, т.е. положив
|
|
sin x |
, x = 0, |
|
|
||
f(x) = |
x |
||
|
1, |
x = 0, |
|
мы ликвидируем разрыв. |
|
|
|
3.4. Непрерывные функции |
177 |
|
|
Пример 3.46. Функция y = sign x (см. рис. 3.6) в точке a = 0 имеет конечный разрыв, так как левый и правый пределы здесь существуют и различны. Они равны соответственно −1 и 1, поэтому скачок h = | − 1 − 1| = 2.
Пример 3.47. Конечный разрыв со скачком h = 1 во всех целочисленных точках терпит функция y = [x] (см. рис. 3.52).
Пример 3.48. Функция y = 1/x (см. рис. 3.19) в точке a = 0 имеет разрыв второго рода, так как односторонние пределы в данном случае бесконечны. По той же причине точки ak = π/2 + πk, где k Z, являются точками разрыва второго рода для функции y = tg x (см. рис. 3.27).
Пример 3.49. Функция y = sin(π/x) (см. рис. 3.44) в точке a = 0 терпит разрыв второго рода, поскольку ее односторонние пределы в этой точке не существуют.
Замечание 3.9. Проходя точку разрыва при вычерчивании графика, нам приходится отрывать карандаш от бумаги.
3.4.4. Непрерывность элементарных функций
Интересно, являются ли элементарные функции непрерывными? Рассмотрим сначала простейшие элементарные функции.
Постоянная функция f(x) = c является непрерывной в каждой точке числовой прямой. Действительно, для любого a R
lim f(x) = c = f(a).
x→a
Непрерывной на всей числовой прямой является и функция f(x) = x. Действительно, для всех a R
lim x = a.
x→a
Отсюда по теореме 3.14 получим, что степенная функция f(x) = xn для n N непрерывна на R, так как xn есть произведение n непрерывных функций f(x) = x. Следовательно, по той же теореме 3.14 многочлен
P (x) = a0xn + a1xn−1 + . . . + an−1x + an, n Z+,
178 |
Глава 3. Предел последовательности и функции |
|
|
есть функция, непрерывная на R.
Рациональная функция R(x) = p(x)/q(x), где p и q — многочлены, есть также непрерывная функция всюду на R, за исключением тех точек, в которых знаменатель q(x) обращается в нуль.
Можно доказать, что степенная функция f(x) = xa является непрерывной на всей своей области определения для любых a R, а не только для натуральных показателей.
Теорема 3.17. Тригонометрические функции sin x и cos x являются непрерывными на R.
Д о к а з а т е л ь с т в о. Рассмотрим, |
например, функцию sin x. |
|||||||||||||||||||||||
Тогда для всякого a R будем иметь: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
y = sin(a + x) − sin a = 2 cos a + |
x |
sin |
|
|
x |
= |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
2 |
2 |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
= 2 cos a + |
|
|
sin |
|
x |
|
|
|
= cos a + |
|
|
|
|
sin |
|
|
x |
|||||||
x |
|
|
|
|
x |
|
x |
|
|
|
|
|
||||||||||||
2 |
|
2 |
x. |
|||||||||||||||||||||
2 |
|
|
x |
|
|
2 |
|
2 |
|
|
|
x |
|
|||||||||||
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
||||||
Итак, приращение функции y представимо в виде произведения трех функций: первая ограничена, вторая, согласно формуле (3.8), имеет предел при x → 0 и третья бесконечно малая при x → 0. Тогда по свойству 4 предела функции и свойству 3 БМФ приращение y является БМФ при x → 0. Согласно определению непрерывности на языке приращений это означает, что функция y = sin x непрерывна
в точке a.
Непрерывность косинуса доказывается аналогично.
Следствие 3.2. Тригонометрическая функция tg x является непрерывной во всех точках, где cos x = 0, т.е. x = π/2 + πn для n Z, а функция ctg x — во всех точках, где sin x = 0, т.е. x = πn для n Z.
Можно доказать, что функции f(x) = ax и f(x) = loga x для 0 < a = 1 также являются непрерывными в области своего существования: первая — на R, вторая — на (0, +∞).
3.4. Непрерывные функции |
179 |
|
|
Теорема 3.18. Если известно, что |
|
lim f(x) = b, |
lim g(x) = c, |
x→a |
x→a |
причем a и b не равны нулю одновременно, то
lim f(x)g(x) = bc.
x→a
Д о к а з а т е л ь с т в о. В силу непрерывности экспоненты и натурального логарифма
lim f(x)g(x) = lim eln f(x) |
g(x) |
= lim eg(x) ln f(x) |
lim g(x) ln f(x) |
= |
||||
|
= ex→a |
|
||||||
x→a |
x→a |
|
x→a |
|
|
|
|
|
|
lim g(x) lim ln f(x) |
= e |
c ln lim f(x) |
= ec ln b = eln b |
c |
|
||
|
= ex→a x→a |
|
x→a |
= bc. |
||||
Исходя из определения элементарных функций, теоремы 3.14 об алгебраических свойствах непрерывных функций, теоремы 3.15 о непрерывности сложной функции и теоремы 3.16 о непрерывности обратной функции, можно доказать следующую теорему.
Теорема 3.19 (о непрерывности элементарных функций). Любая элементарная функция непрерывна во всех точках области своего существования.
Пример 3.50. Исследовать на непрерывность функцию
sin x f(x) = |x| .
Р е ш е н и е. Пусть x > 0. Тогда f(x) = sin x/x. Эта функция непрерывна как частное двух непрерывных функций. Если же x < 0, то функция f(x) = −sin x/x также непрерывна на промежутке (−∞, 0) по той же причине. Осталось исследовать функцию в точке x = 0. Имеем:
lim f(x) = |
lim |
sin x |
= 1, |
lim f(x) = lim |
− |
sin x |
= −1. |
||
x |
x |
||||||||
x→+0 |
x→+0 |
|
x→−0 |
x→−0 |
|||||
Итак, левый и правый пределы существуют и различны. Следовательно, в точке x = 0 функция f имеет разрыв первого рода. 