Е. А. Ровба - Высшая математика

3.2.7.Функциональная зависимость в экономике

Применение математического аппарата в экономических исследованиях способно принести большую пользу. Но прежде чем применить математические методы, исследователь должен составить математическую модель прикладной задачи. Такой математической моделью может, например, стать описание какого-либо экономического процесса в виде математической функции. Рассмотрим важнейшие функциональные зависимости, используемые в экономике.

Определение 3.32. Функция издержек C = C(q) выражает зависимость издержек производства C от объема выпуска q.

Пример 3.32. Если функция издержек некоторого производства

задается формулой C = 100√q, то при объеме выпуска 25 ед. издержки

√

C = 100 25 = 500 ден. ед.

Определение 3.33. Функция выручки R = R(q) задает зависимость выручки R от объема выпуска q.

Пример 3.33. Если продано q единиц товара по цене p за каждую единицу, то выручка R = pq.

Определение 3.34. Функция прибыли P = P (q) — это зависимость прибыли P от объема выпуска q.

Прибыль равна разности выручки и издержек:

P (q) = R(q) − C(q).

Определение 3.35. Точка безубыточности — это такой объем выпуска q, при котором издержки равны выручке: C(q) = R(q).

Очевидно, что при достижении объемом выпуска точки безубыточности прибыль становится равной нулю.

Определение 3.36. Функции спроса и предложения D = D(p) и

S = S(p) задают зависимость спроса и предложения от цены товара p (рис. 3.42).

Естественно, что по мере увеличения цены предложение растет, а спрос падает.

y

S

Q0

D

Рис. 3.42

Определение 3.37. Точка рыночного равновесия (p0, Q0) — это точка пересечения линий спроса и предложения (рис. 3.42). При этом цена p0 называется равновесной ценой, а объем продаж Q0 —

равновесным объемом продаж.

Определение 3.38. Производственная функция выражает зависимость результатов производства от обусловливающих его факторов.

Определение 3.39. Функция полезности u(x) дает субъективную числовую оценку полезности некоторого действия.

3.3.Предел функции.

Два замечательных предела

3.3.1. Предел функции по Гейне

Определение 3.40. Пусть функция f определена в некоторой окрестности точки x = a, за исключением, быть может, самой точки a. Возьмем последовательность точек {xn} из этой окрестности, сходящуюся к точке a. Значения функции в точках последовательности, в свою очередь, образуют последовательность f(x1), f(x2), . . . , f(xn), . . .

(рис. 3.43).

Число b называется пределом функции f в точке x = a (или при x → a), если для любой последовательности {xn}, сходящейся к a и такой, что xn = a для всех n N, соответствующая последовательность значений функции {f(xn)} сходится к b.

y

f(x2)

y = f(x)

f(x4)

f(x3) f(x1)

Рис. 3.43

Другими словами, число b называется пределом функции f в

точке x = a, если

Данное определение называется определением предела функции по Гейне или на языке последовательностей.

Предел функции f в точке x = a обозначается следующим образом:

lim f(x) = b.

x→a

Определение 3.41. Число b называется пределом функции f

при x → ∞ (или на бесконечности), если для любой ББП {xn} соответствующая последовательность значений функции {f(xn)} сходится к b. Для обозначения предела функции на бесконечности применяется запись

lim f(x) = b.

x→∞

Пример 3.34. Постоянная функция f(x) = C в каждой точке имеет предел. Действительно, пусть a R и {xn} — произвольная последовательность, сходящаяся к a. Тогда для всякого n N верно, что f(xn) = C. В этом случае последовательность {f(xn)} будет иметь своим пределом число C.

Определение 3.47. Число b называется пределом функции f

при x → +∞, если для любой такой ББП {xn}, что xn > 0 для всех n N, соответствующая последовательность {f(xn)} сходится к b.

Аналогично определяется предел функции при x → −∞. Для записи таких пределов применяются обозначения:

Сформулируем определения односторонних пределов на языке

ε — δ. Число b называется правым (левым) пределом функции f в точке x = a, если

ε > 0 δ > 0 x, a < x < a + δ (a − δ < x < a), |f(x) − b| < ε.

Пример 3.36. Функция y = sign x (см. рис. 3.6) имеет односторонние пределы в точке x = 0. Очевидно, что

Следующая теорема устанавливает связь между односторонними пределами и пределом функции.

Теорема 3.7. Для того чтобы функция f имела предел в точке x = a, необходимо и достаточно, чтобы существовали и были равны односторонние пределы. В этом случае предел функции равен односторонним пределам:

3.3.4. Бесконечно малые функции

Определение 3.48. Функция α(x) называется бесконечно малой при x → a (БМФ), если

lim α(x) = 0.

x→a

Согласно определению предела функции по Коши функция α(x) является бесконечно малой при x → a тогда и только тогда, когда

ε > 0 δ > 0 x, 0 < |x − a| < δ, |α(x)| < ε.

Замечание 3.6. Обратим внимание на необходимость указания точки, в которой функция является бесконечно малой. Например, функция y = x2 является бесконечно малой при x → 0, но не является бесконечно малой при x → 1. В самом деле,

Свойства БМФ

1.Сумма любого конечного числа БМФ есть БМФ.

До к а з а т е л ь с т в о. Достаточно доказать это свойство для суммы двух БМФ. Пусть α(x) и β(x) — БМФ при x → a. Докажем, что α(x) + β(x) — тоже БМФ при x → a.

Зададимся произвольным числом ε > 0. Так как α(x) — БМФ при x → a, то

Положим δ = min{δ1, δ2}. Тогда для всякого x, удовлетворяющего условию 0 < |x − a| < δ, выполняются оба условия: 0 < |x − a| < δ1 и 0 < |x − a| < δ2, поэтому

Это означает, что сумма α(x) + β(x) является БМФ при x → a.

2. Бесконечно малая функция при x → a является ограниченной в некоторой окрестности точки a.