Е. А. Ровба - Высшая математика

Пример 2.1. Показать, что треугольник с вершинами A(−3, −3), B(−1, 3), C(11, −1) (рис. 2.2) прямоугольный.

Р е ш е н и е. Найдем длины сторон треугольника:

AB2 + BC2 = 40 + 160 = 200 = AC2,

то сумма квадратов длин двух сторон треугольника равна квадрату длины третьей стороны. По известному из школьного курса математики утверждению, обратному теореме Пифагора, это значит, что треугольник ABC прямоугольный и сторона AC — гипотенуза.

2. Деление отрезка в данном отношении.

Считают, что точка M делит отрезок M1M2 в отношении λ > 0, если M1M/MM2 = λ. Если точки M1(x1, y1) и M2(x2, y2) заданы своими координатами, то координаты точки M(x, y) могут быть найдены по формулам:

В частности, при λ = 1 получаются формулы для координат середины отрезка:

Пример 2.2. Известны концы A(2, −3) и B(14, 3) отрезка AB. На этом отрезке находится точка C, расстояние от которой до A в 2 раза больше расстояния до B (рис. 2.3). Определить координаты точки C.

Рис. 2.3

Р е ш е н и е. Так как AC = 2CB, то λ = AC/CB = 2. По

поэтому C = (10, 1).

3. Нахождение площади треугольника.

Площадь S треугольника ABC с вершинами A(x1, y1), B(x2, y2)

и C(x3, y3) определяется по формуле

Пример 2.3. Найти площадь треугольника ABC с вершинами в точках A(−2, −4), B(2, 8), C(10, 2).

Р е ш е н и е. По формуле (2.3)

S = 12 (2 + 2)(2 + 4) − (10 + 2)(8 + 4) = 12 24 − 144 = 60 кв.ед.

2.1.2.Уравнение прямой с угловым коэффициентом

Любое уравнение с двумя неизвестными x и y, связывающее координаты точек на плоскости, определяет некоторое множество (геометрическое место) точек, координаты которых удовлетворяют этому уравнению. Наоборот, для часто встречающихся множеств на плоскости можно указать уравнение, которому удовлетворяют точки этого множества и только они.

Вчастности, окружность состоит из точек, равноудаленных от некоторой точки, называемой центром, и, таким образом, удовлетворяющих, например, уравнению x2 + y2 = 1.

Воснове классической геометрии Евклида лежат понятия точки и прямой. Эти базовые понятия не могут быть определены через более простые понятия. Свойства точек и прямых выражаются специальной системой аксиом, из которых путем строгих математических рассуждений выводится вся теория. Введя на плоскости прямоугольную декартову систему координат, мы дали алгебраическое описание всех точек плоскости. Оказывается, координаты позволяют дать исчерпывающее алгебраическое описание и прямых.

Рассмотрим некоторую прямую, не перпендикулярную оси Ox.

Определение 2.1. Назовем углом наклона данной прямой к оси

Ox угол α, на который нужно повернуть ось Ox против хода часовой стрелки до совпадения с прямой.

Определение 2.2. Тангенс угла наклона прямой к оси Ox называют угловым коэффициентом этой прямой и обозначают буквой k:

k = tg α.

Из определения углового коэффициента, в частности, следует, что если α = 0, т.е. прямая параллельна оси Ox, то k = 0. Если α = π/2, т.е. прямая перпендикулярна оси Ox, то выражение k = tg α не имеет смысла. Тогда говорят, что угловой коэффициент обращается в бесконечность.

Выведем уравнение прямой, если известны ее угловой коэффициент и величина отрезка OB, отсекаемого ею на оси Oy.

Пусть M — произвольная точка плоскости с координатами x и y. Если провести прямые BN и NM, параллельные осям, то образуется прямоугольный треугольник (рис. 2.4).

Точка M лежит на прямой тогда и только тогда, когда величины BN и NM удовлетворяют условию NBNM = tg α. Но

NM = CM − CN = CM − OB = y − b, BN = x.

Отсюда по определению углового коэффициента получаем, что точка M лежит на данной прямой тогда и только тогда, когда ее координаты удовлетворяют уравнению

y − b

x

= k,

которое после преобразования примет вид

Определение 2.3. Уравнение (2.4) называют уравнением прямой с угловым коэффициентом.

Если k = 0, то прямая параллельна оси Ox. Ее уравнение имеет вид y = b.

Итак, любая прямая, не перпендикулярная оси Ox, имеет уравнение вида (2.4). Верно и обратное: любое уравнение вида (2.4) определяет прямую, которая имеет угловой коэффициент k и отсекает на оси Oy отрезок, величина которого равна b.

Пример 2.4. Составить уравнение прямой, отсекающей на оси Oy отрезок b = 2 и образующей с осью Ox угол α = π/3.

Р е ш е н и е. Находим угловой коэффициент:

2.1.3. Составление уравнений прямых

Иногда возникает необходимость составить уравнение прямой, зная одну ее точку M1(x1, y1) и угловой коэффициент k. Запишем уравнение прямой в виде (2.4), где b — пока неизвестное число. Так как прямая проходит через точку M1(x1, y1), то координаты этой точки удовлетворяют уравнению (2.4): y1 = kx1 + b. Отсюда b = y1 − kx1.

Подставляя найденное значение b в уравнение (2.4), получаем

Пример 2.5. Составить уравнение прямой, проходящей через точку M(1, 2) и образующей с осью Ox угол α = π/4.

Р е ш е н и е. Находим угловой коэффициент: k = tg α = tg π4 = 1. Подставляя координаты точки M и значение углового коэффициента k в уравнение (2.5), получаем искомое уравнение прямой:

y − 2 = 1(x − 1), y − x − 1 = 0.

Составим уравнение прямой, проходящей через две заданные точки: M1(x1, y1) и M2(x2, y2). Воспользуемся уравнением (2.5) и тем, что искомая прямая проходит через точку M2(x2, y2). Получим: y2 − y1 = k(x2 − x1). Таким образом, если x2 = x1, то для прямой, проходящей через точки M1 и M2, угловой коэффициент

Уравнение такой прямой имеет вид x = a. Это частный случай уравнения (2.8), где A = 1, B = 0, C = −a. Первое утверждение доказано.

Докажем обратное утверждение. Пусть дано уравнение (2.8), где хотя бы один из коэффициентов (A или B) не равен нулю. Если B = 0, то это уравнение можно записать в виде

y = − BA x − BC .

Полагая k = −A/B, b = −C/B, получаем уравнение y = kx + b, т.е. уравнение вида (2.4), которое определяет прямую. Если B = 0, то A = 0. Тогда уравнение (2.8) принимает вид x = −C/A. Обозначив a = −C/A, получим x = a, т.е. уравнение прямой, перпендикулярной оси Ox.

Поскольку все прямые, и только они, задаются уравнениями первого порядка, то естественно называть их линиями (кривыми)

первого порядка.

Определение 2.4. Уравнение вида Ax + By + C = 0 называется

общим уравнением прямой или полным уравнением прямой. При различных значениях A, B, C оно определяет все возможные прямые.

Рассмотрим три частных случая, когда уравнение Ax+By+C = 0 является неполным, т.е. один из коэффициентов равен нулю:

1)C = 0; уравнение имеет вид Ax+By = 0 и определяет прямую, проходящую через начало координат;

2)B = 0 (A = 0); уравнение имеет вид Ax + C = 0 и определяет прямую, параллельную оси Oy. В частности, уравнение x = 0 определяет ось ординат;

3)A = 0 (B = 0); уравнение имеет вид By + C = 0 и определяет прямую, параллельную оси Ox. В частности, уравнение y = 0 определяет ось абсцисс.

2.1.5. Уравнение прямой в отрезках

Рассмотрим теперь уравнение Ax + By + C = 0 при условии, что ни один из коэффициентов A, B, C не равен нулю. Преобразуем его к виду

2.1.6. Угол между двумя прямыми

Определение 2.6. Углом между прямыми L1 и L2 называется угол, на который надо повернуть прямую L1 против хода часовой стрелки до ее совпадения с прямой L2. Угол между параллельными прямыми считается равным нулю.

Рассмотрим две прямые: L1 и L2. Пусть уравнение прямой L1 имеет вид y = k1x + b1, где k1 = tg α1, а уравнение прямой L2 — вид

1 + k1k2

Пример 2.7. Прямые заданы уравнениями: y = 3x + 2, y = −2x + 3.

Найти угол между этими прямыми.